MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem2 23203
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 14073 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 10693 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 11980 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 10594 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 6292 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5cn 10611 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
9 ax-1cn 9546 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
10 pncan 9822 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5 )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
127, 11eqtri 2496 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1312oveq2i 6293 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
145, 13syl6eleq 2565 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
15 6re 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1615leidi 10083 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
17 noel 3789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1817pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
19 5lt6 10708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
203nnzi 10884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
21 5nn 10692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
2221nnzi 10884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
23 fzn 11698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2420, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2519, 24mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2618, 25eleq2s 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2816, 27pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
29 5nn0 10811 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
3021elexi 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3130prid2 4136 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
32313mix3i 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3328, 29, 6, 32ppiublem1 23202 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
34 4nn0 10810 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
35 df-5 10593 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
36 2z 10892 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
37 dvdsmul1 13859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3836, 36, 37mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
39 2t2e4 10681 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4038, 39breqtri 4470 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
41403mix1i 1168 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4233, 34, 35, 41ppiublem1 23202 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
43 3nn0 10809 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
44 df-4 10592 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
45 3z 10893 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
46 iddvds 13851 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
48473mix2i 1169 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
4942, 43, 44, 48ppiublem1 23202 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
50 2nn0 10808 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
51 df-3 10591 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
52 iddvds 13851 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5336, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
54533mix1i 1168 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5549, 50, 51, 54ppiublem1 23202 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
56 1nn0 10807 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
57 df-2 10590 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
58 1ex 9587 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5958prid1 4135 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
60593mix3i 1170 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6155, 56, 57, 60ppiublem1 23202 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
62 0nn0 10806 . . . 4  |-  0  e.  NN0
63 1e0p1 11000 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
64 dvds0 13853 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6536, 64ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  ||  0
66653mix1i 1168 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6761, 62, 63, 66ppiublem1 23202 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6867simpri 462 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
6914, 68mpd 15 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3785   {cpr 4029   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   6c6 10585   ZZcz 10860   ...cfz 11668    mod cmo 11959    || cdivides 13840   Primecprime 14069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fl 11893  df-mod 11960  df-dvds 13841  df-prm 14070
This theorem is referenced by:  ppiub  23204
  Copyright terms: Public domain W3C validator