MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem2 23456
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 14203 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 10704 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 11999 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 10605 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 6291 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5cn 10622 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
9 ax-1cn 9553 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
108, 9pncan3oi 9841 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
117, 10eqtri 2472 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1211oveq2i 6292 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
135, 12syl6eleq 2541 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
14 6re 10623 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1514leidi 10094 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
16 noel 3774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1716pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
18 5lt6 10719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
193nnzi 10895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
20 5nn 10703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
2120nnzi 10895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
22 fzn 11713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2319, 21, 22mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2418, 23mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2517, 24eleq2s 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2715, 26pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
28 5nn0 10822 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
2920elexi 3105 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3029prid2 4124 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
31303mix3i 1171 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3227, 28, 6, 31ppiublem1 23455 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
33 4nn0 10821 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
34 df-5 10604 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
35 2z 10903 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
36 dvdsmul1 13987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3735, 35, 36mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
38 2t2e4 10692 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3937, 38breqtri 4460 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
40393mix1i 1169 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4132, 33, 34, 40ppiublem1 23455 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
42 3nn0 10820 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
43 df-4 10603 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
44 3z 10904 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
45 iddvds 13979 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
47463mix2i 1170 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
4841, 42, 43, 47ppiublem1 23455 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
49 2nn0 10819 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
50 df-3 10602 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
51 iddvds 13979 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5235, 51ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
53523mix1i 1169 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5448, 49, 50, 53ppiublem1 23455 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
55 1nn0 10818 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
56 df-2 10601 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
57 1ex 9594 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5857prid1 4123 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
59583mix3i 1171 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6054, 55, 56, 59ppiublem1 23455 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
61 0nn0 10817 . . . 4  |-  0  e.  NN0
62 1e0p1 11014 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
63 dvds0 13981 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6435, 63ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  ||  0
65643mix1i 1169 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6660, 61, 62, 65ppiublem1 23455 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6766simpri 462 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
6813, 67mpd 15 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   (/)c0 3770   {cpr 4016   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10543   2c2 10592   3c3 10593   4c4 10594   5c5 10595   6c6 10596   ZZcz 10871   ...cfz 11683    mod cmo 11978    || cdvds 13968   Primecprime 14199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fl 11911  df-mod 11979  df-dvds 13969  df-prm 14200
This theorem is referenced by:  ppiub  23457
  Copyright terms: Public domain W3C validator