MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem2 22658
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 13869 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 10584 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 11830 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 10485 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 6200 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5cn 10502 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
9 ax-1cn 9441 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
10 pncan 9717 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5 )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
127, 11eqtri 2480 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1312oveq2i 6201 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
145, 13syl6eleq 2549 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
15 6re 10503 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1615leidi 9975 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
17 noel 3739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1817pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
19 5lt6 10599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
203nnzi 10771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
21 5nn 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
2221nnzi 10771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
23 fzn 11567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2420, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2519, 24mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2618, 25eleq2s 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2816, 27pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
29 5nn0 10700 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
3021elexi 3078 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3130prid2 4082 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
32313mix3i 1162 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3328, 29, 6, 32ppiublem1 22657 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
34 4nn0 10699 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
35 df-5 10484 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
36 2z 10779 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
37 dvdsmul1 13656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3836, 36, 37mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
39 2t2e4 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4038, 39breqtri 4413 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
41403mix1i 1160 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4233, 34, 35, 41ppiublem1 22657 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
43 3nn0 10698 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
44 df-4 10483 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
45 3z 10780 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
46 iddvds 13648 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
48473mix2i 1161 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
4942, 43, 44, 48ppiublem1 22657 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
50 2nn0 10697 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
51 df-3 10482 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
52 iddvds 13648 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5336, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
54533mix1i 1160 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5549, 50, 51, 54ppiublem1 22657 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
56 1nn0 10696 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
57 df-2 10481 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
58 1ex 9482 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5958prid1 4081 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
60593mix3i 1162 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6155, 56, 57, 60ppiublem1 22657 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
62 0nn0 10695 . . . 4  |-  0  e.  NN0
63 1e0p1 10884 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
64 dvds0 13650 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6536, 64ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  ||  0
66653mix1i 1160 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6761, 62, 63, 66ppiublem1 22657 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6867simpri 462 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
6914, 68mpd 15 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3735   {cpr 3977   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   CCcc 9381   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696   NNcn 10423   2c2 10472   3c3 10473   4c4 10474   5c5 10475   6c6 10476   ZZcz 10747   ...cfz 11538    mod cmo 11809    || cdivides 13637   Primecprime 13865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-fl 11743  df-mod 11810  df-dvds 13638  df-prm 13866
This theorem is referenced by:  ppiub  22659
  Copyright terms: Public domain W3C validator