MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem2 23857
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 14428 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 463 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 10737 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 12054 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 660 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 10638 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 6287 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5cn 10655 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
9 ax-1cn 9579 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
108, 9pncan3oi 9871 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
117, 10eqtri 2431 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1211oveq2i 6288 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
135, 12syl6eleq 2500 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
14 6re 10656 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1514leidi 10126 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
16 noel 3741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1716pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
18 5lt6 10752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
193nnzi 10928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
20 5nn 10736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
2120nnzi 10928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
22 fzn 11754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2319, 21, 22mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2418, 23mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2517, 24eleq2s 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2715, 26pm3.2i 453 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
28 5nn0 10855 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
2920elexi 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3029prid2 4080 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
31303mix3i 1171 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3227, 28, 6, 31ppiublem1 23856 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
33 4nn0 10854 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
34 df-5 10637 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
35 2z 10936 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
36 dvdsmul1 14212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3735, 35, 36mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
38 2t2e4 10725 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3937, 38breqtri 4417 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
40393mix1i 1169 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4132, 33, 34, 40ppiublem1 23856 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
42 3nn0 10853 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
43 df-4 10636 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
44 3z 10937 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
45 iddvds 14204 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
47463mix2i 1170 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
4841, 42, 43, 47ppiublem1 23856 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
49 2nn0 10852 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
50 df-3 10635 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
51 iddvds 14204 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5235, 51ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
53523mix1i 1169 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5448, 49, 50, 53ppiublem1 23856 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
55 1nn0 10851 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
56 df-2 10634 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
57 1ex 9620 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5857prid1 4079 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
59583mix3i 1171 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6054, 55, 56, 59ppiublem1 23856 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
61 0nn0 10850 . . . 4  |-  0  e.  NN0
62 1e0p1 11046 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
63 dvds0 14206 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6435, 63ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  ||  0
65643mix1i 1169 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6660, 61, 62, 65ppiublem1 23856 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6766simpri 460 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
6813, 67mpd 15 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   (/)c0 3737   {cpr 3973   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   2c2 10625   3c3 10626   4c4 10627   5c5 10628   6c6 10629   ZZcz 10904   ...cfz 11724    mod cmo 12032    || cdvds 14193   Primecprime 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-dvds 14194  df-prm 14425
This theorem is referenced by:  ppiub  23858
  Copyright terms: Public domain W3C validator