MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem2 22511
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 13759 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 10475 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 11721 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 10376 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 6096 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5cn 10393 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
9 ax-1cn 9332 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
10 pncan 9608 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5 )
118, 9, 10mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
127, 11eqtri 2457 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1312oveq2i 6097 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
145, 13syl6eleq 2527 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
15 6re 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1615leidi 9866 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
17 noel 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1817pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
19 5lt6 10490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
203nnzi 10662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
21 5nn 10474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
2221nnzi 10662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
23 fzn 11458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2420, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2519, 24mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2618, 25eleq2s 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2816, 27pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
29 5nn0 10591 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
3021elexi 2976 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3130prid2 3977 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
32313mix3i 1162 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3328, 29, 6, 32ppiublem1 22510 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
34 4nn0 10590 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
35 df-5 10375 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
36 2z 10670 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
37 dvdsmul1 13546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3836, 36, 37mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
39 2t2e4 10463 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4038, 39breqtri 4308 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
41403mix1i 1160 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4233, 34, 35, 41ppiublem1 22510 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
43 3nn0 10589 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
44 df-4 10374 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
45 3z 10671 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
46 iddvds 13538 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
48473mix2i 1161 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
4942, 43, 44, 48ppiublem1 22510 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
50 2nn0 10588 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
51 df-3 10373 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
52 iddvds 13538 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5336, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
54533mix1i 1160 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5549, 50, 51, 54ppiublem1 22510 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
56 1nn0 10587 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
57 df-2 10372 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
58 1ex 9373 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5958prid1 3976 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
60593mix3i 1162 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6155, 56, 57, 60ppiublem1 22510 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
62 0nn0 10586 . . . 4  |-  0  e.  NN0
63 1e0p1 10775 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
64 dvds0 13540 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6536, 64ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  ||  0
66653mix1i 1160 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6761, 62, 63, 66ppiublem1 22510 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6867simpri 462 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
6914, 68mpd 15 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3630   {cpr 3872   class class class wbr 4285  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   5c5 10366   6c6 10367   ZZcz 10638   ...cfz 11429    mod cmo 11700    || cdivides 13527   Primecprime 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-dvds 13528  df-prm 13756
This theorem is referenced by:  ppiub  22512
  Copyright terms: Public domain W3C validator