MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem1 23455
Description: Lemma for ppiub 23457. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1  |-  ( N  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( N ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
ppiublem1.2  |-  M  e. 
NN0
ppiublem1.3  |-  N  =  ( M  +  1 )
ppiublem1.4  |-  ( 2 
||  M  \/  3 
||  M  \/  M  e.  { 1 ,  5 } )
Assertion
Ref Expression
ppiublem1  |-  ( M  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6  |-  ( N  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( N ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
21simpli 458 . . . . 5  |-  N  <_ 
6
3 ppiublem1.3 . . . . 5  |-  N  =  ( M  +  1 )
4 df-6 10605 . . . . 5  |-  6  =  ( 5  +  1 )
52, 3, 43brtr3i 4464 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  <_ 
( 5  +  1 )
6 ppiublem1.2 . . . . . 6  |-  M  e. 
NN0
76nn0rei 10813 . . . . 5  |-  M  e.  RR
8 5re 10621 . . . . 5  |-  5  e.  RR
9 1re 9598 . . . . 5  |-  1  e.  RR
107, 8, 9leadd1i 10115 . . . 4  |-  ( M  <_  5  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( 5  +  1 ) )
115, 10mpbir 209 . . 3  |-  M  <_ 
5
12 6re 10623 . . . 4  |-  6  e.  RR
13 5lt6 10719 . . . 4  |-  5  <  6
148, 12, 13ltleii 9710 . . 3  |-  5  <_  6
157, 8, 12letri 9716 . . 3  |-  ( ( M  <_  5  /\  5  <_  6 )  ->  M  <_  6 )
1611, 14, 15mp2an 672 . 2  |-  M  <_ 
6
176nn0zi 10896 . . . . 5  |-  M  e.  ZZ
18 5nn 10703 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
1918nnzi 10895 . . . . 5  |-  5  e.  ZZ
20 eluz2 11098 . . . . 5  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ  /\  M  <_ 
5 ) )
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1179 . . . 4  |-  5  e.  ( ZZ>= `  M )
22 elfzp12 11768 . . . 4  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5
)  <->  ( ( P  mod  6 )  =  M  \/  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... 5
) ) ) )
2321, 22ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5 )  <->  ( ( P  mod  6 )  =  M  \/  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... 5
) ) )
24 ppiublem1.4 . . . . 5  |-  ( 2 
||  M  \/  3 
||  M  \/  M  e.  { 1 ,  5 } )
25 prmz 14203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
27 2nn 10700 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
28 6nn 10704 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
29 3z 10904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
30 2z 10903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
31 dvdsmul2 13988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 3  x.  2 ) )
3229, 30, 31mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  ||  ( 3  x.  2 )
33 3t2e6 10694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3432, 33breqtri 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  ||  6
35 dvdsmod 14025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  /\  2  ||  6 )  ->  ( 2  ||  ( P  mod  6
)  <->  2  ||  P
) )
3634, 35mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  P ) )
3727, 28, 36mp3an12 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  P ) )
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  P ) )
39 uzid 11106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
41 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  Prime )
42 dvdsprm 14222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  (
2  ||  P  <->  2  =  P ) )
4340, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  P  <->  2  =  P ) )
4438, 43bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  =  P ) )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  4  <_  P )
46 breq2 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  =  P  ->  (
4  <_  2  <->  4  <_  P ) )
4745, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  =  P  -> 
4  <_  2 ) )
48 2lt4 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  4
49 2re 10612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
50 4re 10619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
5149, 50ltnlei 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  4  <->  -.  4  <_  2 )
5248, 51mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  4  <_  2
5352pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  <_  2  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
5447, 53syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  =  P  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
5544, 54sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } ) )
56 breq2 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  M ) )
5756imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
( 2  ||  ( P  mod  6 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } )  <-> 
( 2  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
5855, 57syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( 2  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
5958com3r 79 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  M  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
60 3nn 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  NN
61 dvdsmul1 13987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  3  ||  ( 3  x.  2 ) )
6229, 30, 61mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  ||  ( 3  x.  2 )
6362, 33breqtri 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  ||  6
64 dvdsmod 14025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  /\  3  ||  6 )  ->  ( 3  ||  ( P  mod  6
)  <->  3  ||  P
) )
6563, 64mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  P ) )
6660, 28, 65mp3an12 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  P ) )
6726, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  P ) )
68 df-3 10602 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
69 peano2uz 11145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7040, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
7168, 70eqeltri 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
72 dvdsprm 14222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  (
3  ||  P  <->  3  =  P ) )
7371, 41, 72sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  P  <->  3  =  P ) )
7467, 73bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  =  P ) )
75 breq2 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  =  P  ->  (
4  <_  3  <->  4  <_  P ) )
7645, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  =  P  -> 
4  <_  3 ) )
77 3lt4 10712 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
78 3re 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
7978, 50ltnlei 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  <  4  <->  -.  4  <_  3 )
8077, 79mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  4  <_  3
8180pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  <_  3  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
8276, 81syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  =  P  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
8374, 82sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } ) )
84 breq2 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  M ) )
8584imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
( 3  ||  ( P  mod  6 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } )  <-> 
( 3  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
8683, 85syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( 3  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
8786com3r 79 . . . . . 6  |-  ( 3 
||  M  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
88 eleq1a 2526 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  { 1 ,  5 }  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
8988a1d 25 . . . . . 6  |-  ( M  e.  { 1 ,  5 }  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
9059, 87, 893jaoi 1292 . . . . 5  |-  ( ( 2  ||  M  \/  3  ||  M  \/  M  e.  { 1 ,  5 } )  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
9124, 90ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
923oveq1i 6291 . . . . . 6  |-  ( N ... 5 )  =  ( ( M  + 
1 ) ... 5
)
9392eleq2i 2521 . . . . 5  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( N ... 5 )  <->  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... 5 ) )
941simpri 462 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( N ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
9593, 94syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( ( M  +  1 ) ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
9691, 95jaod 380 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( ( P  mod  6 )  =  M  \/  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... 5 ) )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) )
9723, 96syl5bi 217 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( M ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
9816, 97pm3.2i 455 1  |-  ( M  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 973    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cpr 4016   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10543   2c2 10592   3c3 10593   4c4 10594   5c5 10595   6c6 10596   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683    mod cmo 11978    || cdvds 13968   Primecprime 14199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fl 11911  df-mod 11979  df-dvds 13969  df-prm 14200
This theorem is referenced by:  ppiublem2  23456
  Copyright terms: Public domain W3C validator