Theorem ppiublem1 23455

Description: Lemma for ppiub 23457. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppiublem1.1	|- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
ppiublem1.2	|- M e. NN0
ppiublem1.3	|- N = ( M + 1 )
ppiublem1.4	|- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )

Assertion

Ref	Expression
ppiublem1	|- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Proof of Theorem ppiublem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiublem1.1	. . . . . 6 |- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
2	1	simpli 458	. . . . 5 |- N <_ 6
3		ppiublem1.3	. . . . 5 |- N = ( M + 1 )
4		df-6 10605	. . . . 5 |- 6 = ( 5 + 1 )
5	2, 3, 4	3brtr3i 4464	. . . 4 |- ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 )
6		ppiublem1.2	. . . . . 6 |- M e. NN0
7	6	nn0rei 10813	. . . . 5 |- M e. RR
8		5re 10621	. . . . 5 |- 5 e. RR
9		1re 9598	. . . . 5 |- 1 e. RR
10	7, 8, 9	leadd1i 10115	. . . 4 |- ( M <_ 5 <-> ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 ) )
11	5, 10	mpbir 209	. . 3 |- M <_ 5
12		6re 10623	. . . 4 |- 6 e. RR
13		5lt6 10719	. . . 4 |- 5 < 6
14	8, 12, 13	ltleii 9710	. . 3 |- 5 <_ 6
15	7, 8, 12	letri 9716	. . 3 |- ( ( M <_ 5 /\ 5 <_ 6 ) -> M <_ 6 )
16	11, 14, 15	mp2an 672	. 2 |- M <_ 6
17	6	nn0zi 10896	. . . . 5 |- M e. ZZ
18		5nn 10703	. . . . . 6 |- 5 e. NN
19	18	nnzi 10895	. . . . 5 |- 5 e. ZZ
20		eluz2 11098	. . . . 5 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ M <_ 5 ) )
21	17, 19, 11, 20	mpbir3an 1179	. . . 4 |- 5 e. ( ZZ>= ` M )
22		elfzp12 11768	. . . 4 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) )
24		ppiublem1.4	. . . . 5 |- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )
25		prmz 14203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. ZZ )
27		2nn 10700	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
28		6nn 10704	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. NN
29		3z 10904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
30		2z 10903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
31		dvdsmul2 13988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 3 x. 2 ) )
32	29, 30, 31	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 || ( 3 x. 2 )
33		3t2e6 10694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 2 ) = 6
34	32, 33	breqtri 4460	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 || 6
35		dvdsmod 14025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 2 || 6 ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
36	34, 35	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
37	27, 28, 36	mp3an12 1315	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
38	26, 37	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
39		uzid 11106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
41		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. Prime )
42		dvdsprm 14222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
43	40, 41, 42	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
44	38, 43	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 = P ) )
45		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> 4 <_ P )
46		breq2 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = P -> ( 4 <_ 2 <-> 4 <_ P ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> 4 <_ 2 ) )
48		2lt4 10713	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 4
49		2re 10612	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
50		4re 10619	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
51	49, 50	ltnlei 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 < 4 <-> -. 4 <_ 2 )
52	48, 51	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 2
53	52	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 2 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
54	47, 53	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
55	44, 54	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
56		breq2 4441	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || M ) )
57	56	imbi1d 317	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
58	55, 57	syl5ibcom 220	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
59	58	com3r 79	. . . . . 6 |- ( 2 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
60		3nn 10701	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN
61		dvdsmul1 13987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 3 || ( 3 x. 2 ) )
62	29, 30, 61	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 || ( 3 x. 2 )
63	62, 33	breqtri 4460	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 || 6
64		dvdsmod 14025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 3 || 6 ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
65	63, 64	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
66	60, 28, 65	mp3an12 1315	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
67	26, 66	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
68		df-3 10602	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
69		peano2uz 11145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
70	40, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 )
71	68, 70	eqeltri 2527	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		dvdsprm 14222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
73	71, 41, 72	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
74	67, 73	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 = P ) )
75		breq2 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = P -> ( 4 <_ 3 <-> 4 <_ P ) )
76	45, 75	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> 4 <_ 3 ) )
77		3lt4 10712	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < 4
78		3re 10616	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
79	78, 50	ltnlei 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 )
80	77, 79	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 3
81	80	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 3 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
82	76, 81	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
83	74, 82	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
84		breq2 4441	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || M ) )
85	84	imbi1d 317	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
86	83, 85	syl5ibcom 220	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
87	86	com3r 79	. . . . . 6 |- ( 3 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
88		eleq1a 2526	. . . . . . 7 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
89	88	a1d 25	. . . . . 6 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
90	59, 87, 89	3jaoi 1292	. . . . 5 |- ( ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } ) -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
91	24, 90	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
92	3	oveq1i 6291	. . . . . 6 |- ( N ... 5 ) = ( ( M + 1 ) ... 5 )
93	92	eleq2i 2521	. . . . 5 |- ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) <-> ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) )
94	1	simpri 462	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
95	93, 94	syl5bir 218	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
96	91, 95	jaod 380	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
97	23, 96	syl5bi 217	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
98	16, 97	pm3.2i 455	1 |- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 973   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   {cpr 4016   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   < clt 9631   <_ cle 9632   NNcn 10543   2c2 10592   3c3 10593   4c4 10594   5c5 10595   6c6 10596   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683   mod cmo 11978   || cdvds 13968   Primecprime 14199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fl 11911  df-mod 11979  df-dvds 13969  df-prm 14200

This theorem is referenced by:  ppiublem2  23456