Theorem ppiublem1 23678

Description: Lemma for ppiub 23680. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppiublem1.1	|- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
ppiublem1.2	|- M e. NN0
ppiublem1.3	|- N = ( M + 1 )
ppiublem1.4	|- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )

Assertion

Ref	Expression
ppiublem1	|- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Proof of Theorem ppiublem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiublem1.1	. . . . . 6 |- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
2	1	simpli 456	. . . . 5 |- N <_ 6
3		ppiublem1.3	. . . . 5 |- N = ( M + 1 )
4		df-6 10594	. . . . 5 |- 6 = ( 5 + 1 )
5	2, 3, 4	3brtr3i 4466	. . . 4 |- ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 )
6		ppiublem1.2	. . . . . 6 |- M e. NN0
7	6	nn0rei 10802	. . . . 5 |- M e. RR
8		5re 10610	. . . . 5 |- 5 e. RR
9		1re 9584	. . . . 5 |- 1 e. RR
10	7, 8, 9	leadd1i 10104	. . . 4 |- ( M <_ 5 <-> ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 ) )
11	5, 10	mpbir 209	. . 3 |- M <_ 5
12		6re 10612	. . . 4 |- 6 e. RR
13		5lt6 10708	. . . 4 |- 5 < 6
14	8, 12, 13	ltleii 9696	. . 3 |- 5 <_ 6
15	7, 8, 12	letri 9702	. . 3 |- ( ( M <_ 5 /\ 5 <_ 6 ) -> M <_ 6 )
16	11, 14, 15	mp2an 670	. 2 |- M <_ 6
17	6	nn0zi 10885	. . . . 5 |- M e. ZZ
18		5nn 10692	. . . . . 6 |- 5 e. NN
19	18	nnzi 10884	. . . . 5 |- 5 e. ZZ
20		eluz2 11088	. . . . 5 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ M <_ 5 ) )
21	17, 19, 11, 20	mpbir3an 1176	. . . 4 |- 5 e. ( ZZ>= ` M )
22		elfzp12 11761	. . . 4 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) )
24		ppiublem1.4	. . . . 5 |- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )
25		prmz 14308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
26	25	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. ZZ )
27		2nn 10689	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
28		6nn 10693	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. NN
29		3z 10893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
30		2z 10892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
31		dvdsmul2 14093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 3 x. 2 ) )
32	29, 30, 31	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 || ( 3 x. 2 )
33		3t2e6 10683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 2 ) = 6
34	32, 33	breqtri 4462	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 || 6
35		dvdsmod 14130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 2 || 6 ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
36	34, 35	mpan2 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
37	27, 28, 36	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
38	26, 37	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
39		uzid 11096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
41		simpl 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. Prime )
42		dvdsprm 14327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
43	40, 41, 42	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
44	38, 43	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 = P ) )
45		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> 4 <_ P )
46		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = P -> ( 4 <_ 2 <-> 4 <_ P ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> 4 <_ 2 ) )
48		2lt4 10702	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 4
49		2re 10601	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
50		4re 10608	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
51	49, 50	ltnlei 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 < 4 <-> -. 4 <_ 2 )
52	48, 51	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 2
53	52	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 2 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
54	47, 53	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
55	44, 54	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
56		breq2 4443	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || M ) )
57	56	imbi1d 315	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
58	55, 57	syl5ibcom 220	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
59	58	com3r 79	. . . . . 6 |- ( 2 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
60		3nn 10690	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN
61		dvdsmul1 14092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 3 || ( 3 x. 2 ) )
62	29, 30, 61	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 || ( 3 x. 2 )
63	62, 33	breqtri 4462	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 || 6
64		dvdsmod 14130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 3 || 6 ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
65	63, 64	mpan2 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
66	60, 28, 65	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
67	26, 66	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
68		df-3 10591	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
69		peano2uz 11135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
70	40, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 )
71	68, 70	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		dvdsprm 14327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
73	71, 41, 72	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
74	67, 73	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 = P ) )
75		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = P -> ( 4 <_ 3 <-> 4 <_ P ) )
76	45, 75	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> 4 <_ 3 ) )
77		3lt4 10701	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < 4
78		3re 10605	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
79	78, 50	ltnlei 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 )
80	77, 79	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 3
81	80	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 3 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
82	76, 81	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
83	74, 82	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
84		breq2 4443	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || M ) )
85	84	imbi1d 315	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
86	83, 85	syl5ibcom 220	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
87	86	com3r 79	. . . . . 6 |- ( 3 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
88		eleq1a 2537	. . . . . . 7 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
89	88	a1d 25	. . . . . 6 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
90	59, 87, 89	3jaoi 1289	. . . . 5 |- ( ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } ) -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
91	24, 90	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
92	3	oveq1i 6280	. . . . . 6 |- ( N ... 5 ) = ( ( M + 1 ) ... 5 )
93	92	eleq2i 2532	. . . . 5 |- ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) <-> ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) )
94	1	simpri 460	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
95	93, 94	syl5bir 218	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
96	91, 95	jaod 378	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
97	23, 96	syl5bi 217	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
98	16, 97	pm3.2i 453	1 |- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   \/ w3o 970   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cpr 4018   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   6c6 10585   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   mod cmo 11978   || cdvds 14073   Primecprime 14304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-dvds 14074  df-prm 14305

This theorem is referenced by:  ppiublem2  23679