Theorem ppiublem1 23993

Description: Lemma for ppiub 23995. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppiublem1.1	|- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
ppiublem1.2	|- M e. NN0
ppiublem1.3	|- N = ( M + 1 )
ppiublem1.4	|- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )

Assertion

Ref	Expression
ppiublem1	|- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Proof of Theorem ppiublem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiublem1.1	. . . . . 6 |- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
2	1	simpli 459	. . . . 5 |- N <_ 6
3		ppiublem1.3	. . . . 5 |- N = ( M + 1 )
4		df-6 10672	. . . . 5 |- 6 = ( 5 + 1 )
5	2, 3, 4	3brtr3i 4453	. . . 4 |- ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 )
6		ppiublem1.2	. . . . . 6 |- M e. NN0
7	6	nn0rei 10880	. . . . 5 |- M e. RR
8		5re 10688	. . . . 5 |- 5 e. RR
9		1re 9641	. . . . 5 |- 1 e. RR
10	7, 8, 9	leadd1i 10168	. . . 4 |- ( M <_ 5 <-> ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 ) )
11	5, 10	mpbir 212	. . 3 |- M <_ 5
12		6re 10690	. . . 4 |- 6 e. RR
13		5lt6 10786	. . . 4 |- 5 < 6
14	8, 12, 13	ltleii 9756	. . 3 |- 5 <_ 6
15	7, 8, 12	letri 9762	. . 3 |- ( ( M <_ 5 /\ 5 <_ 6 ) -> M <_ 6 )
16	11, 14, 15	mp2an 676	. 2 |- M <_ 6
17	6	nn0zi 10962	. . . . 5 |- M e. ZZ
18		5nn 10770	. . . . . 6 |- 5 e. NN
19	18	nnzi 10961	. . . . 5 |- 5 e. ZZ
20		eluz2 11165	. . . . 5 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ M <_ 5 ) )
21	17, 19, 11, 20	mpbir3an 1187	. . . 4 |- 5 e. ( ZZ>= ` M )
22		elfzp12 11871	. . . 4 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) )
24		ppiublem1.4	. . . . 5 |- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )
25		prmz 14597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
26	25	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. ZZ )
27		2nn 10767	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
28		6nn 10771	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. NN
29		3z 10970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. ZZ
30		2z 10969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
31		dvdsmul2 14303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 3 x. 2 ) )
32	29, 30, 31	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 || ( 3 x. 2 )
33		3t2e6 10761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 2 ) = 6
34	32, 33	breqtri 4449	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 || 6
35		dvdsmod 14340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 2 || 6 ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
36	34, 35	mpan2 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
37	27, 28, 36	mp3an12 1350	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
39		uzid 11173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
41		simpl 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. Prime )
42		dvdsprm 14618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
43	40, 41, 42	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
44	38, 43	bitrd 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 = P ) )
45		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> 4 <_ P )
46		breq2 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = P -> ( 4 <_ 2 <-> 4 <_ P ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> 4 <_ 2 ) )
48		2lt4 10780	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 4
49		2re 10679	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
50		4re 10686	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
51	49, 50	ltnlei 9754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 < 4 <-> -. 4 <_ 2 )
52	48, 51	mpbi 211	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 2
53	52	pm2.21i 134	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 2 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
54	47, 53	syl6 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
55	44, 54	sylbid 218	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
56		breq2 4430	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || M ) )
57	56	imbi1d 318	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
58	55, 57	syl5ibcom 223	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
59	58	com3r 82	. . . . . 6 |- ( 2 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
60		3nn 10768	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN
61		dvdsmul1 14302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 3 || ( 3 x. 2 ) )
62	29, 30, 61	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 || ( 3 x. 2 )
63	62, 33	breqtri 4449	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 || 6
64		dvdsmod 14340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 3 || 6 ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
65	63, 64	mpan2 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
66	60, 28, 65	mp3an12 1350	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
67	26, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
68		df-3 10669	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
69		peano2uz 11212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
70	40, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 )
71	68, 70	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		dvdsprm 14618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
73	71, 41, 72	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
74	67, 73	bitrd 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 = P ) )
75		breq2 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = P -> ( 4 <_ 3 <-> 4 <_ P ) )
76	45, 75	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> 4 <_ 3 ) )
77		3lt4 10779	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < 4
78		3re 10683	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
79	78, 50	ltnlei 9754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 )
80	77, 79	mpbi 211	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 3
81	80	pm2.21i 134	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 3 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
82	76, 81	syl6 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
83	74, 82	sylbid 218	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
84		breq2 4430	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || M ) )
85	84	imbi1d 318	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
86	83, 85	syl5ibcom 223	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
87	86	com3r 82	. . . . . 6 |- ( 3 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
88		eleq1a 2512	. . . . . . 7 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
89	88	a1d 26	. . . . . 6 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
90	59, 87, 89	3jaoi 1327	. . . . 5 |- ( ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } ) -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
91	24, 90	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
92	3	oveq1i 6315	. . . . . 6 |- ( N ... 5 ) = ( ( M + 1 ) ... 5 )
93	92	eleq2i 2507	. . . . 5 |- ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) <-> ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) )
94	1	simpri 463	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
95	93, 94	syl5bir 221	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
96	91, 95	jaod 381	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
97	23, 96	syl5bi 220	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
98	16, 97	pm3.2i 456	1 |- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   \/ w3o 981   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   {cpr 4004   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   < clt 9674   <_ cle 9675   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   mod cmo 12093   || cdvds 14283   Primecprime 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-dvds 14284  df-prm 14594

This theorem is referenced by:  ppiublem2  23994