MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Structured version   Unicode version

Theorem ppieq0 22646
Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than  2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 10501 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 lenlt 9563 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
31, 2mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
4 ppinncl 22644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )
54nnne0d 10476 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  =/=  0 )
65ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  ->  (π `  A )  =/=  0
) )
73, 6sylbird 235 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <  2  ->  (π `  A )  =/=  0 ) )
87necon4bd 2673 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  ->  A  <  2 ) )
9 reflcl 11762 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  RR )
11 1red 9511 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
1  e.  RR )
12 2z 10788 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
13 fllt 11772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2 ) )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2
) )
1514biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  2 )
16 df-2 10490 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1715, 16syl6breq 4438 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  ( 1  +  1 ) )
18 flcl 11761 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
20 1z 10786 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
21 zleltp1 10805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2317, 22mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <_  1 )
24 ppiwordi 22632 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  <_ 
1 )  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  <_  (π `  1 ) )
2510, 11, 23, 24syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  <_ 
(π `  1 ) )
26 ppifl 22630 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (π `  A ) )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  =  (π `  A ) )
28 ppi1 22634 . . . . . 6  |-  (π `  1
)  =  0
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  1 )  =  0 )
3025, 27, 293brtr3d 4428 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  <_ 
0 )
31 ppicl 22601 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  e.  NN0 )
3231adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  e. 
NN0 )
33 nn0le0eq0 10718 . . . . 5  |-  ( (π `  A )  e.  NN0  ->  ( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3432, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3530, 34mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  =  0 )
3635ex 434 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  ->  (π `  A )  =  0 ) )
378, 36impbid 191 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    < clt 9528    <_ cle 9529   2c2 10481   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   |_cfl 11756  πcppi 22563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fl 11758  df-hash 12220  df-dvds 13653  df-prm 13881  df-ppi 22569
This theorem is referenced by:  ppiltx  22647
  Copyright terms: Public domain W3C validator