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Theorem pospropd 15304
Description: Posethood is determined only by structure components and only by the value of the relation within the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospropd.kv  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
pospropd.lv  |-  ( ph  ->  L  e.  W )
pospropd.kb  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
pospropd.lb  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
pospropd.xy  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
pospropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Poset  <->  L  e.  Poset ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    ph, x, y    x, K, y    x, L, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem pospropd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospropd.xy . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y ) )
21ralrimivva 2808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y ) )
3 simp1 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  a  e.  B )
43, 3jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( a  e.  B  /\  a  e.  B
) )
5 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) y ) )
6 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) y ) )
75, 6bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y ) ) )
8 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
a ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) a ) )
9 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
a ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) a ) )
108, 9bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  (
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) a  <-> 
a ( le `  L ) a ) ) )
117, 10rspc2va 3080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) a  <->  a ( le `  L ) a ) )
124, 11sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) a  <->  a ( le `  L ) a ) )
13 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) b ) )
14 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) b ) )
1513, 14bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) b  <-> 
a ( le `  L ) b ) ) )
167, 15rspc2va 3080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) b  <->  a ( le `  L ) b ) )
17163adantl3 1146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) b  <->  a ( le `  L ) b ) )
18 3simpb 986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  B  /\  c  e.  B  /\  a  e.  B )  ->  ( b  e.  B  /\  a  e.  B
) )
19183comr 1195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( b  e.  B  /\  a  e.  B
) )
20 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  b ( le `  K ) y ) )
21 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ( le `  L ) y  <->  b ( le `  L ) y ) )
2220, 21bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y )  <-> 
( b ( le
`  K ) y  <-> 
b ( le `  L ) y ) ) )
23 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  (
b ( le `  K ) y  <->  b ( le `  K ) a ) )
24 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  (
b ( le `  L ) y  <->  b ( le `  L ) a ) )
2523, 24bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  a  ->  (
( b ( le
`  K ) y  <-> 
b ( le `  L ) y )  <-> 
( b ( le
`  K ) a  <-> 
b ( le `  L ) a ) ) )
2622, 25rspc2va 3080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) a  <->  b ( le `  L ) a ) )
2719, 26sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) a  <->  b ( le `  L ) a ) )
2817, 27anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) a )  <->  ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a ) ) )
2928imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  <->  ( (
a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b ) ) )
30 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  c  ->  (
b ( le `  K ) y  <->  b ( le `  K ) c ) )
31 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  c  ->  (
b ( le `  L ) y  <->  b ( le `  L ) c ) )
3230, 31bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  c  ->  (
( b ( le
`  K ) y  <-> 
b ( le `  L ) y )  <-> 
( b ( le
`  K ) c  <-> 
b ( le `  L ) c ) ) )
3322, 32rspc2va 3080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) c  <->  b ( le `  L ) c ) )
34333adantl1 1144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) c  <->  b ( le `  L ) c ) )
3517, 34anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) c )  <->  ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c ) ) )
36 3simpb 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( a  e.  B  /\  c  e.  B
) )
37 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  c  ->  (
a ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) c ) )
38 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  c  ->  (
a ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) c ) )
3937, 38bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  (
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) c  <-> 
a ( le `  L ) c ) ) )
407, 39rspc2va 3080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) c  <->  a ( le `  L ) c ) )
4136, 40sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) c  <->  a ( le `  L ) c ) )
4235, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c )  <->  ( (
a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) )
4312, 29, 423anbi123d 1289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( a ( le
`  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) a )  -> 
a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) c )  -> 
a ( le `  K ) c ) )  <->  ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
442, 43sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  ph )  -> 
( ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
4544ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B ) )  -> 
( ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
46453exp2 1205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  ( b  e.  B  ->  ( c  e.  B  ->  ( ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) ) ) ) )
4746imp42 594 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  c  e.  B )  ->  (
( a ( le
`  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) a )  -> 
a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) c )  -> 
a ( le `  K ) c ) )  <->  ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
4847ralbidva 2731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( A. c  e.  B  ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. c  e.  B  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
49482ralbidva 2755 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
50 pospropd.kb . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
51 raleq 2917 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. c  e.  B  (
a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) )  <->  A. c  e.  ( Base `  K ) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) ) ) )
5251raleqbi1dv 2925 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) )  <->  A. b  e.  ( Base `  K ) A. c  e.  ( Base `  K ) ( a ( le `  K
) a  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) c )  ->  a ( le `  K ) c ) ) ) )
5352raleqbi1dv 2925 . . . . 5  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  K ) A. b  e.  ( Base `  K ) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) ) )
5450, 53syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) ) )
55 pospropd.lb . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
56 raleq 2917 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. c  e.  B  (
a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) )  <->  A. c  e.  ( Base `  L ) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) ) ) )
5756raleqbi1dv 2925 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) )  <->  A. b  e.  ( Base `  L ) A. c  e.  ( Base `  L ) ( a ( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
5857raleqbi1dv 2925 . . . . 5  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  L ) A. b  e.  ( Base `  L ) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
5955, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
6049, 54, 593bitr3d 283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
61 pospropd.kv . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
62 elex 2981 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
6361, 62syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
6463biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( K  e.  _V  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) ) ) )
65 pospropd.lv . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  W )
66 elex 2981 . . . . 5  |-  ( L  e.  W  ->  L  e.  _V )
6765, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
6867biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) )  <->  ( L  e.  _V  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) ) )
6960, 64, 683bitr3d 283 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
_V  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) )  <->  ( L  e.  _V  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) ) )
70 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
71 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7270, 71ispos 15117 . 2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. a  e.  (
Base `  K ) A. b  e.  ( Base `  K ) A. c  e.  ( Base `  K ) ( a ( le `  K
) a  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) c )  ->  a ( le `  K ) c ) ) ) )
73 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
74 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  L )  =  ( le `  L
)
7573, 74ispos 15117 . 2  |-  ( L  e.  Poset 
<->  ( L  e.  _V  /\ 
A. a  e.  (
Base `  L ) A. b  e.  ( Base `  L ) A. c  e.  ( Base `  L ) ( a ( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
7669, 72, 753bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Poset  <->  L  e.  Poset ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   Basecbs 14174   lecple 14245   Posetcpo 15110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-iota 5381  df-fv 5426  df-poset 15116
This theorem is referenced by:  oduposb  15306
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