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Theorem pospo 16297
Description: Write a poset structure in terms of the proper-class poset predicate (strict less than version). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pospo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pospo.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pospo  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )

Proof of Theorem pospo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospo.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
21pltirr 16287 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  .<  x )
3 pospo.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
43, 1plttr 16294 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z ) )
52, 4ispod 4768 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  .<  Po  B
)
6 relres 5138 . . . . 5  |-  Rel  (  _I  |`  B )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  Rel  (  _I  |`  B ) )
8 opabresid 5164 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  B )
98eleq2i 2541 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  B ) )
10 opabid 4708 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) )
119, 10bitr3i 259 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  B )  <-> 
( x  e.  B  /\  y  =  x
) )
12 pospo.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
133, 12posref 16274 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B )  ->  x  .<_  x )
14 df-br 4396 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.<_  y  <->  <. x ,  y
>.  e.  .<_  )
15 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
x  .<_  y  <->  x  .<_  x ) )
1614, 15syl5bbr 267 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( <. x ,  y >.  e.  .<_ 
<->  x  .<_  x )
)
1713, 16syl5ibrcom 230 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B )  ->  (
y  =  x  ->  <. x ,  y >.  e.  .<_  ) )
1817expimpd 614 . . . . 5  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
x  e.  B  /\  y  =  x )  -> 
<. x ,  y >.  e.  .<_  ) )
1911, 18syl5bi 225 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  B )  -> 
<. x ,  y >.  e.  .<_  ) )
207, 19relssdv 4932 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )
215, 20jca 541 . 2  |-  ( K  e.  Poset  ->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) )
22 elex 3040 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
2322adantr 472 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  K  e.  _V )
243a1i 11 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2512a1i 11 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
26 equid 1863 . . . . . 6  |-  x  =  x
27 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
28 resieq 5121 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( x (  _I  |`  B ) x  <->  x  =  x ) )
2927, 27, 28syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( x (  _I  |`  B ) x  <->  x  =  x ) )
3026, 29mpbiri 241 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  x (  _I  |`  B ) x )
31 simplrr 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )
3231ssbrd 4437 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( x (  _I  |`  B ) x  ->  x  .<_  x ) )
3330, 32mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  .<_  x )
343, 12, 1pleval2i 16288 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .<_  y  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y
) ) )
35343adant1 1048 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .<_  y  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y
) ) )
363, 12, 1pleval2i 16288 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( y  .<_  x  -> 
( y  .<  x  \/  y  =  x
) ) )
3736ancoms 460 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( y  .<_  x  -> 
( y  .<  x  \/  y  =  x
) ) )
38373adant1 1048 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( y  .<_  x  -> 
( y  .<  x  \/  y  =  x
) ) )
39 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  .<  Po  B )
40 po2nr 4773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.<  Po  B  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  (
x  .<  y  /\  y  .<  x ) )
41403impb 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.<  Po  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  -.  ( x  .<  y  /\  y  .<  x ) )
4239, 41syl3an1 1325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  -.  ( x  .<  y  /\  y  .<  x
) )
4342pm2.21d 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<  y  /\  y  .<  x
)  ->  x  =  y ) )
44 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  .<  x )  ->  x  =  y )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =  y  /\  y  .<  x )  ->  x  =  y ) )
46 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  .<  y  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
4746eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y )
4847a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y ) )
49 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y ) )
5143, 45, 48, 50ccased 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( x 
.<  y  \/  x  =  y )  /\  ( y  .<  x  \/  y  =  x
) )  ->  x  =  y ) )
5235, 38, 51syl2and 491 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
53 simpr1 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
54 simpr2 1037 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
5553, 54, 34syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  .<_  y  ->  (
x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
56 simpr3 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  z  e.  B )
573, 12, 1pleval2i 16288 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y  .<_  z  -> 
( y  .<  z  \/  y  =  z
) ) )
5854, 56, 57syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y  .<_  z  ->  (
y  .<  z  \/  y  =  z ) ) )
59 potr 4772 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.<  Po  B  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z ) )
6039, 59sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z
) )
61 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  K  e.  V )
6212, 1pltle 16285 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  V  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( x  .<  z  ->  x  .<_  z )
)
6361, 53, 56, 62syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  .<  z  ->  x  .<_  z ) )
6460, 63syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<_  z ) )
65 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .<  z  <->  y  .<  z ) )
6665biimpar 493 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z )
6766, 63syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  =  y  /\  y  .<  z
)  ->  x  .<_  z ) )
68 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
x  .<  y  <->  x  .<  z ) )
6968biimpac 494 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  /\  y  =  z )  ->  x  .<  z )
7069, 63syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<  y  /\  y  =  z
)  ->  x  .<_  z ) )
7153, 33syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  x  .<_  x )
72 eqtr 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  x  =  z )
7372breq2d 4407 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  ( x  .<_  x  <->  x  .<_  z ) )
7471, 73syl5ibcom 228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  x  .<_  z ) )
7564, 67, 70, 74ccased 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  .<  y  \/  x  =  y )  /\  ( y 
.<  z  \/  y  =  z ) )  ->  x  .<_  z ) )
7655, 58, 75syl2and 491 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
7723, 24, 25, 33, 52, 76isposd 16279 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  K  e.  Poset )
7877ex 441 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  (
(  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )  ->  K  e.  Poset ) )
7921, 78impbid2 209 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453    _I cid 4749    Po wpo 4758    |` cres 4841   Rel wrel 4844   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275   Posetcpo 16263   ltcplt 16264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282
This theorem is referenced by:  tosso  16360
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