Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pospo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pospo 16297
 Description: Write a poset structure in terms of the proper-class poset predicate (strict less than version). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospo.b
pospo.l
pospo.s
Assertion
Ref Expression
pospo

Proof of Theorem pospo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospo.s . . . . 5
21pltirr 16287 . . . 4
3 pospo.b . . . . 5
43, 1plttr 16294 . . . 4
52, 4ispod 4768 . . 3
6 relres 5138 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
8 opabresid 5164 . . . . . . 7
98eleq2i 2541 . . . . . 6
10 opabid 4708 . . . . . 6
119, 10bitr3i 259 . . . . 5
12 pospo.l . . . . . . . 8
133, 12posref 16274 . . . . . . 7
14 df-br 4396 . . . . . . . 8
15 breq2 4399 . . . . . . . 8
1614, 15syl5bbr 267 . . . . . . 7
1713, 16syl5ibrcom 230 . . . . . 6
1817expimpd 614 . . . . 5
1911, 18syl5bi 225 . . . 4
207, 19relssdv 4932 . . 3
215, 20jca 541 . 2
22 elex 3040 . . . . 5
2322adantr 472 . . . 4
243a1i 11 . . . 4
2512a1i 11 . . . 4
26 equid 1863 . . . . . 6
27 simpr 468 . . . . . . 7
28 resieq 5121 . . . . . . 7
2927, 27, 28syl2anc 673 . . . . . 6
3026, 29mpbiri 241 . . . . 5
31 simplrr 779 . . . . . 6
3231ssbrd 4437 . . . . 5
3330, 32mpd 15 . . . 4
343, 12, 1pleval2i 16288 . . . . . 6
35343adant1 1048 . . . . 5
363, 12, 1pleval2i 16288 . . . . . . 7
3736ancoms 460 . . . . . 6
38373adant1 1048 . . . . 5
39 simprl 772 . . . . . . . 8
40 po2nr 4773 . . . . . . . . 9
41403impb 1227 . . . . . . . 8
4239, 41syl3an1 1325 . . . . . . 7
4342pm2.21d 109 . . . . . 6
44 simpl 464 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
46 simpr 468 . . . . . . . 8
4746eqcomd 2477 . . . . . . 7
4847a1i 11 . . . . . 6
49 simpl 464 . . . . . . 7
5049a1i 11 . . . . . 6
5143, 45, 48, 50ccased 962 . . . . 5
5235, 38, 51syl2and 491 . . . 4
53 simpr1 1036 . . . . . 6
54 simpr2 1037 . . . . . 6
5553, 54, 34syl2anc 673 . . . . 5
56 simpr3 1038 . . . . . 6
573, 12, 1pleval2i 16288 . . . . . 6
5854, 56, 57syl2anc 673 . . . . 5
59 potr 4772 . . . . . . . 8
6039, 59sylan 479 . . . . . . 7
61 simpll 768 . . . . . . . 8
6212, 1pltle 16285 . . . . . . . 8
6361, 53, 56, 62syl3anc 1292 . . . . . . 7
6460, 63syld 44 . . . . . 6
65 breq1 4398 . . . . . . . 8
6665biimpar 493 . . . . . . 7
6766, 63syl5 32 . . . . . 6
68 breq2 4399 . . . . . . . 8
6968biimpac 494 . . . . . . 7
7069, 63syl5 32 . . . . . 6
7153, 33syldan 478 . . . . . . 7
72 eqtr 2490 . . . . . . . 8
7372breq2d 4407 . . . . . . 7
7471, 73syl5ibcom 228 . . . . . 6
7564, 67, 70, 74ccased 962 . . . . 5
7655, 58, 75syl2and 491 . . . 4
7723, 24, 25, 33, 52, 76isposd 16279 . . 3
7877ex 441 . 2
7921, 78impbid2 209 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   wss 3390  cop 3965   class class class wbr 4395  copab 4453   cid 4749   wpo 4758   cres 4841   wrel 4844  cfv 5589  cbs 15199  cple 15275  cpo 16263  cplt 16264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282 This theorem is referenced by:  tosso  16360
 Copyright terms: Public domain W3C validator