Theorem posn 3603

Description: Partial ordering of a singleton.

Assertion

Ref	Expression
posn	|- (R Po {x} <-> -. <.x, x>. e. R)

Proof of Theorem posn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 3591	. 2 |- (R Po {x} <-> A.y e. {x}A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)))
2		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
3		sbcsng 3086	. . . . . . 7 |- (x e. _V -> ([x / z]A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw))))
4	3	bicomd 580	. . . . . 6 |- (x e. _V -> (A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / z]A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw))))
5	2, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / z]A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)))
6		sbcsng 3086	. . . . . . . . 9 |- (x e. _V -> ([x / w](-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw))))
7	6	bicomd 580	. . . . . . . 8 |- (x e. _V -> (A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / w](-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw))))
8	2, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / w](-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)))
9		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- ((-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx)) -> A.w(-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx)))
10		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (w = x -> (zRw <-> zRx))
11	10	anbi2d 678	. . . . . . . . . 10 |- (w = x -> ((yRz /\ zRw) <-> (yRz /\ zRx)))
12		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (w = x -> (yRw <-> yRx))
13	11, 12	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (((yRz /\ zRw) -> yRw) <-> ((yRz /\ zRx) -> yRx)))
14	13	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (w = x -> ((-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> (-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx))))
15	9, 14	sbie 1565	. . . . . . 7 |- ([x / w](-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> (-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx)))
16	8, 15	bitri 190	. . . . . 6 |- (A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> (-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx)))
17	16	sbbii 1538	. . . . 5 |- ([x / z]A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / z](-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx)))
18		ax-17 1317	. . . . . 6 |- ((-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)) -> A.z(-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)))
19		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (yRz <-> yRx))
20		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (zRx <-> xRx))
21	19, 20	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (z = x -> ((yRz /\ zRx) <-> (yRx /\ xRx)))
22	21	imbi1d 675	. . . . . . 7 |- (z = x -> (((yRz /\ zRx) -> yRx) <-> ((yRx /\ xRx) -> yRx)))
23	22	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (z = x -> ((-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx)) <-> (-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx))))
24	18, 23	sbie 1565	. . . . 5 |- ([x / z](-. yRy /\ ((yRz /\ zRx) -> yRx)) <-> (-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)))
25	5, 17, 24	3bitri 194	. . . 4 |- (A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> (-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)))
26	25	sbbii 1538	. . 3 |- ([x / y]A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / y](-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)))
27		sbcsng 3086	. . . . 5 |- (x e. _V -> ([x / y]A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> A.y e. {x}A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw))))
28	27	bicomd 580	. . . 4 |- (x e. _V -> (A.y e. {x}A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / y]A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw))))
29	2, 28	ax-mp 7	. . 3 |- (A.y e. {x}A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)) <-> [x / y]A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)))
30		simpl 346	. . . . 5 |- ((xRx /\ xRx) -> xRx)
31	30	biantru 793	. . . 4 |- (-. xRx <-> (-. xRx /\ ((xRx /\ xRx) -> xRx)))
32		ax-17 1317	. . . . 5 |- ((-. xRx /\ ((xRx /\ xRx) -> xRx)) -> A.y(-. xRx /\ ((xRx /\ xRx) -> xRx)))
33		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (yRy <-> xRy))
34		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (xRy <-> xRx))
35	33, 34	bitrd 587	. . . . . . 7 |- (y = x -> (yRy <-> xRx))
36	35	notbid 673	. . . . . 6 |- (y = x -> (-. yRy <-> -. xRx))
37		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (yRx <-> xRx))
38	37	anbi1d 679	. . . . . . 7 |- (y = x -> ((yRx /\ xRx) <-> (xRx /\ xRx)))
39	38, 37	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (y = x -> (((yRx /\ xRx) -> yRx) <-> ((xRx /\ xRx) -> xRx)))
40	36, 39	anbi12d 690	. . . . 5 |- (y = x -> ((-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)) <-> (-. xRx /\ ((xRx /\ xRx) -> xRx))))
41	32, 40	sbie 1565	. . . 4 |- ([x / y](-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)) <-> (-. xRx /\ ((xRx /\ xRx) -> xRx)))
42	31, 41	bitr4i 193	. . 3 |- (-. xRx <-> [x / y](-. yRy /\ ((yRx /\ xRx) -> yRx)))
43	26, 29, 42	3bitr4ri 201	. 2 |- (-. xRx <-> A.y e. {x}A.z e. {x}A.w e. {x} (-. yRy /\ ((yRz /\ zRw) -> yRw)))
44		df-br 3339	. . 3 |- (xRx <-> <.x, x>. e. R)
45	44	notbii 204	. 2 |- (-. xRx <-> -. <.x, x>. e. R)
46	1, 43, 45	3bitr2i 196	1 |- (R Po {x} <-> -. <.x, x>. e. R)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046   class class class wbr 3338   Po wpo 3589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-v 2294  df-sbc 2454  df-un 2600  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-po 3591

Copyright terms: Public domain