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Theorem posn 4914
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by NM, 27-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
posn  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )

Proof of Theorem posn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4766 . . 3  |-  ( R  Po  { A }  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
2 breq2 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  (
y R z  <->  y R A ) )
32anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
( x R y  /\  y R z )  <->  ( x R y  /\  y R A ) ) )
4 breq2 4421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
x R z  <->  x R A ) )
53, 4imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( (
x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) )
65anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
76ralsng 4028 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
87ralbidv 2862 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. y  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
9 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R y )
10 breq2 4421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
x R y  <->  x R A ) )
119, 10syl5ib 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )
1211biantrud 509 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  x R x  <->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
1312bicomd 204 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )  <->  -.  x R x ) )
1413ralsng 4028 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )  <->  -.  x R x ) )
158, 14bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  -.  x R x ) )
1615ralbidv 2862 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  { A }  -.  x R x ) )
17 breq12 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  x  =  A )  ->  ( x R x  <-> 
A R A ) )
1817anidms 649 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x R x  <->  A R A ) )
1918notbid 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x R x  <->  -.  A R A ) )
2019ralsng 4028 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A }  -.  x R x  <->  -.  A R A ) )
2116, 20bitrd 256 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  -.  A R A ) )
2221adantl 467 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  -.  A R A ) )
231, 22syl5bb 260 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )
24 po0 4781 . . . . 5  |-  R  Po  (/)
25 snprc 4057 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
26 poeq2 4770 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( R  Po  { A }  <->  R  Po  (/) ) )
2725, 26sylbi 198 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( R  Po  { A } 
<->  R  Po  (/) ) )
2824, 27mpbiri 236 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  R  Po  { A }
)
2928adantl 467 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  R  Po  { A } )
30 brrelex 4884 . . . 4  |-  ( ( Rel  R  /\  A R A )  ->  A  e.  _V )
3130stoic1a 1651 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  A R A )
3229, 312thd 243 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )
3323, 32pm2.61dan 798 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078   (/)c0 3758   {csn 3993   class class class wbr 4417    Po wpo 4764   Rel wrel 4850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-br 4418  df-opab 4476  df-po 4766  df-xp 4851  df-rel 4852
This theorem is referenced by:  sosn  4915
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