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Theorem posn 5068
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by NM, 27-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
posn  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )

Proof of Theorem posn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4800 . . 3  |-  ( R  Po  { A }  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
2 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  (
y R z  <->  y R A ) )
32anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
( x R y  /\  y R z )  <->  ( x R y  /\  y R A ) ) )
4 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
x R z  <->  x R A ) )
53, 4imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( (
x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
76ralsng 4062 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
87ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. y  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
9 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R y )
10 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
x R y  <->  x R A ) )
119, 10syl5ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )
1211biantrud 507 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  x R x  <->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
1312bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )  <->  -.  x R x ) )
1413ralsng 4062 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )  <->  -.  x R x ) )
158, 14bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  -.  x R x ) )
1615ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  { A }  -.  x R x ) )
17 breq12 4452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  x  =  A )  ->  ( x R x  <-> 
A R A ) )
1817anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x R x  <->  A R A ) )
1918notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x R x  <->  -.  A R A ) )
2019ralsng 4062 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A }  -.  x R x  <->  -.  A R A ) )
2116, 20bitrd 253 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  -.  A R A ) )
2221adantl 466 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  -.  A R A ) )
231, 22syl5bb 257 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )
24 po0 4815 . . . . 5  |-  R  Po  (/)
25 snprc 4091 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
26 poeq2 4804 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( R  Po  { A }  <->  R  Po  (/) ) )
2725, 26sylbi 195 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( R  Po  { A } 
<->  R  Po  (/) ) )
2824, 27mpbiri 233 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  R  Po  { A }
)
2928adantl 466 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  R  Po  { A } )
30 brrelex 5038 . . . . 5  |-  ( ( Rel  R  /\  A R A )  ->  A  e.  _V )
3130ex 434 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( A R A  ->  A  e. 
_V ) )
3231con3dimp 441 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  A R A )
3329, 322thd 240 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )
3423, 33pm2.61dan 789 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    Po wpo 4798   Rel wrel 5004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-po 4800  df-xp 5005  df-rel 5006
This theorem is referenced by:  sosn  5069
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