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Theorem poslubmo 15902
Description: Least upper bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubmo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
poslubmo  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y, z    x, B, y, z    x, K, y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem poslubmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  w  e.  B
)
2 simprlr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )
3 simprrl 765 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  y  .<_  w )
4 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
y  .<_  z  <->  y  .<_  w ) )
54ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  w ) )
6 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
x  .<_  z  <->  x  .<_  w ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
87rspcv 3206 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
91, 2, 3, 8syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  .<_  w )
10 simplrl 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  e.  B
)
11 simprrr 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) )
12 simprll 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  y  .<_  x )
13 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .<_  z  <->  y  .<_  x ) )
1413ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
15 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
w  .<_  z  <->  w  .<_  x ) )
1614, 15imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  ->  w  .<_  x ) ) )
1716rspcv 3206 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  ->  w  .<_  x ) ) )
1810, 11, 12, 17syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  w  .<_  x )
19 poslubmo.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 poslubmo.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
2119, 20posasymb 15708 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
22213expb 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2322adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  ( ( x 
.<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w
) )
259, 18, 24mpbi2and 921 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  =  w )
2625ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w )
)
2726ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w ) )
28 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  w ) )
2928ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  w ) )
30 breq1 4459 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .<_  z  <->  w  .<_  z ) )
3130imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )
3231ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )
3329, 32anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )
3433rmo4 3292 . 2  |-  ( E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w ) )
3527, 34sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E*wrmo 2810    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   Basecbs 14643   lecple 14718   Posetcpo 15695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-preset 15683  df-poset 15701
This theorem is referenced by:  poslubd  15904
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