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Theorem poslubmo 16392
Description: Least upper bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubmo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
poslubmo  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y, z    x, B, y, z    x, K, y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem poslubmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrr 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  w  e.  B
)
2 simprlr 771 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )
3 simprrl 772 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  y  .<_  w )
4 breq2 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
y  .<_  z  <->  y  .<_  w ) )
54ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  w ) )
6 breq2 4427 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
x  .<_  z  <->  x  .<_  w ) )
75, 6imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
87rspcv 3178 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
91, 2, 3, 8syl3c 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  .<_  w )
10 simplrl 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  e.  B
)
11 simprrr 773 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) )
12 simprll 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  y  .<_  x )
13 breq2 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .<_  z  <->  y  .<_  x ) )
1413ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
15 breq2 4427 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
w  .<_  z  <->  w  .<_  x ) )
1614, 15imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  ->  w  .<_  x ) ) )
1716rspcv 3178 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  ->  w  .<_  x ) ) )
1810, 11, 12, 17syl3c 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  w  .<_  x )
19 poslubmo.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 poslubmo.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
2119, 20posasymb 16198 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
22213expb 1206 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2322adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2423adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  ( ( x 
.<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w
) )
259, 18, 24mpbi2and 929 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  =  w )
2625ex 435 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w )
)
2726ralrimivva 2843 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w ) )
28 breq2 4427 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  w ) )
2928ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  w ) )
30 breq1 4426 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .<_  z  <->  w  .<_  z ) )
3130imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )
3231ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )
3329, 32anbi12d 715 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )
3433rmo4 3263 . 2  |-  ( E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w ) )
3527, 34sylibr 215 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E*wrmo 2774    C_ wss 3436   class class class wbr 4423   ` cfv 5601   Basecbs 15121   lecple 15197   Posetcpo 16185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-nul 4555
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-iota 5565  df-fv 5609  df-preset 16173  df-poset 16191
This theorem is referenced by:  poslubd  16394
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