MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubd Structured version   Unicode version

Theorem poslubd 15631
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
poslubd.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
poslubd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
poslubd.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
poslubd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
poslubd.ub  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  .<_  T )
poslubd.le  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x  .<_  y )  ->  T  .<_  y )
Assertion
Ref Expression
poslubd  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  T )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y   
x, B, y    x, K, y    x, S, y   
x, U, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem poslubd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poslubd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 poslubd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 poslubd.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 236 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) )  <->  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
5 poslubd.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
6 poslubd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6lubval 15467 . 2  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) ) )
8 poslubd.ub . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  .<_  T )
98ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  x  .<_  T )
10 poslubd.le . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x  .<_  y )  ->  T  .<_  y )
11103expia 1198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )
1211ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )
139, 12jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )
14 poslubd.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
15 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  T  ->  (
x  .<_  z  <->  x  .<_  T ) )
1615ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  T  ->  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  <->  A. x  e.  S  x  .<_  T ) )
17 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  T  ->  (
z  .<_  y  <->  T  .<_  y ) )
1817imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  T  ->  (
( A. x  e.  S  x  .<_  y  -> 
z  .<_  y )  <->  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )
1918ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  T  ->  ( A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y )  <->  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )
2016, 19anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( z  =  T  ->  (
( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) )  <->  ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) ) )
2120rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  B  /\  ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
2214, 13, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
232, 1poslubmo 15629 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
245, 6, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E* z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
25 reu5 3077 . . . . 5  |-  ( E! z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) )  <->  ( E. z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) )  /\  E* z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) ) )
2622, 24, 25sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
2720riota2 6266 . . . 4  |-  ( ( T  e.  B  /\  E! z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )  <->  ( iota_ z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  =  T ) )
2814, 26, 27syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )  <->  ( iota_ z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  =  T ) )
2913, 28mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  =  T )
307, 29eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   E*wrmo 2817    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   iota_crio 6242   Basecbs 14486   lecple 14558   Posetcpo 15423   lubclub 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-poset 15429  df-lub 15457
This theorem is referenced by:  poslubdg  15632
  Copyright terms: Public domain W3C validator