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Theorem posi 16273
Description: Lemma for poset properties. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
posi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
posi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
posi  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )

Proof of Theorem posi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 posi.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2ispos 16270 . . 3  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
43simprbi 471 . 2  |-  ( K  e.  Poset  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
5 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
6 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( X  .<_  x  <->  X  .<_  X ) )
75, 6bitrd 261 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  x  <->  X  .<_  X ) )
8 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
9 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  X ) )
108, 9anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <->  ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X ) ) )
11 eqeq1 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  y  <->  X  =  y ) )
1210, 11imbi12d 327 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  ( ( X 
.<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y ) ) )
138anbi1d 719 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z ) ) )
14 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  z  <->  X  .<_  z ) )
1513, 14imbi12d 327 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z )  <-> 
( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) )
167, 12, 153anbi123d 1365 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y )  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) ) )
17 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<_  y  <->  X  .<_  Y ) )
18 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  X  <->  Y  .<_  X ) )
1917, 18anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X ) ) )
20 eqeq2 2482 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  =  y  <->  X  =  Y ) )
2119, 20imbi12d 327 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y )  <->  ( ( X 
.<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y ) ) )
22 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  z  <->  Y  .<_  z ) )
2317, 22anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z ) ) )
2423imbi1d 324 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z )  <-> 
( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) )
2521, 243anbi23d 1368 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y )  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) )  <-> 
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) ) )
26 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .<_  z  <->  Y  .<_  Z ) )
2726anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z ) ) )
28 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .<_  z  <->  X  .<_  Z ) )
2927, 28imbi12d 327 . . . 4  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z )  <-> 
( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
30293anbi3d 1371 . . 3  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) )  <-> 
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) )
3116, 25, 30rspc3v 3150 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  ->  ( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) )
324, 31mpan9 477 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275   Posetcpo 16263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-nul 4527
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-iota 5553  df-fv 5597  df-poset 16269
This theorem is referenced by:  posrefOLD  16275  posasymb  16276  postr  16277
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