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Theorem posglbmo 15651
Description: Greatest lower bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by NM, 20-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubmo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
posglbmo  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y, z    x, B, y, z    x, K, y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem posglbmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  w  e.  B
)
2 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )
3 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  w  .<_  y )
4 breq1 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  .<_  y  <->  w  .<_  y ) )
54ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  w  .<_  y ) )
6 breq1 4456 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  .<_  x  <->  w  .<_  x ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  ->  w  .<_  x ) ) )
87rspcv 3215 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  ->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  ->  w  .<_  x ) ) )
91, 2, 3, 8syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  w  .<_  x )
10 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  e.  B
)
11 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) )
12 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  x  .<_  y )
13 breq1 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .<_  y  <->  x  .<_  y ) )
1413ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
15 breq1 4456 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .<_  w  <->  x  .<_  w ) )
1614, 15imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  w )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  w ) ) )
1716rspcv 3215 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  w ) ) )
1810, 11, 12, 17syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  .<_  w )
19 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  ( x  .<_  w  /\  w  .<_  x ) )
20 poslubmo.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
21 poslubmo.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
2220, 21posasymb 15456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2319, 22syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
24233expb 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
2524adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
2625adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  ( ( w 
.<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w
) )
279, 18, 26mpbi2and 919 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  =  w )
2827ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w )
)
2928ralrimivva 2888 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w ) )
30 breq1 4456 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .<_  y  <->  w  .<_  y ) )
3130ralbidv 2906 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  w  .<_  y ) )
32 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  w ) )
3332imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )
3433ralbidv 2906 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )
3531, 34anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )
3635rmo4 3301 . 2  |-  ( E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w ) )
3729, 36sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E*wrmo 2820    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   Basecbs 14507   lecple 14579   Posetcpo 15444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-poset 15450
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