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Theorem posglbmo 16336
Description: Greatest lower bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by NM, 20-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubmo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
posglbmo  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y, z    x, B, y, z    x, K, y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem posglbmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrr 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  w  e.  B
)
2 simprlr 771 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )
3 simprrl 772 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  w  .<_  y )
4 breq1 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  .<_  y  <->  w  .<_  y ) )
54ralbidv 2804 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  w  .<_  y ) )
6 breq1 4369 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  .<_  x  <->  w  .<_  x ) )
75, 6imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  ->  w  .<_  x ) ) )
87rspcv 3121 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  ->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  ->  w  .<_  x ) ) )
91, 2, 3, 8syl3c 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  w  .<_  x )
10 simplrl 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  e.  B
)
11 simprrr 773 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) )
12 simprll 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  x  .<_  y )
13 breq1 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .<_  y  <->  x  .<_  y ) )
1413ralbidv 2804 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
15 breq1 4369 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .<_  w  <->  x  .<_  w ) )
1614, 15imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  w )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  w ) ) )
1716rspcv 3121 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  w ) ) )
1810, 11, 12, 17syl3c 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  .<_  w )
19 ancom 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  ( x  .<_  w  /\  w  .<_  x ) )
20 poslubmo.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
21 poslubmo.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
2220, 21posasymb 16141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2319, 22syl5bb 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
24233expb 1206 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
2524adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
2625adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  ( ( w 
.<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w
) )
279, 18, 26mpbi2and 929 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  =  w )
2827ex 435 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w )
)
2928ralrimivva 2786 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w ) )
30 breq1 4369 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .<_  y  <->  w  .<_  y ) )
3130ralbidv 2804 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  w  .<_  y ) )
32 breq2 4370 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  w ) )
3332imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )
3433ralbidv 2804 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )
3531, 34anbi12d 715 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )
3635rmo4 3206 . 2  |-  ( E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w ) )
3729, 36sylibr 215 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E*wrmo 2717    C_ wss 3379   class class class wbr 4366   ` cfv 5544   Basecbs 15064   lecple 15140   Posetcpo 16128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-nul 4498
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-iota 5508  df-fv 5552  df-preset 16116  df-poset 16134
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