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Theorem posglbmo 15322
Description: Greatest lower bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by NM, 20-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubmo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
posglbmo  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y, z    x, B, y, z    x, K, y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem posglbmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  w  e.  B
)
2 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )
3 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  w  .<_  y )
4 breq1 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  .<_  y  <->  w  .<_  y ) )
54ralbidv 2740 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  w  .<_  y ) )
6 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  .<_  x  <->  w  .<_  x ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  ->  w  .<_  x ) ) )
87rspcv 3074 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  ->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  ->  w  .<_  x ) ) )
91, 2, 3, 8syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  w  .<_  x )
10 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  e.  B
)
11 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) )
12 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  x  .<_  y )
13 breq1 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .<_  y  <->  x  .<_  y ) )
1413ralbidv 2740 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
15 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .<_  w  <->  x  .<_  w ) )
1614, 15imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  w )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  w ) ) )
1716rspcv 3074 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  w ) ) )
1810, 11, 12, 17syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  .<_  w )
19 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  ( x  .<_  w  /\  w  .<_  x ) )
20 poslubmo.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
21 poslubmo.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
2220, 21posasymb 15127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2319, 22syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
24233expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
2524adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( w  .<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w ) )
2625adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  ( ( w 
.<_  x  /\  x  .<_  w )  <->  x  =  w
) )
279, 18, 26mpbi2and 912 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )  ->  x  =  w )
2827ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w )
)
2928ralrimivva 2813 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w ) )
30 breq1 4300 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .<_  y  <->  w  .<_  y ) )
3130ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  w  .<_  y ) )
32 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  w ) )
3332imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )
3433ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )
3531, 34anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) ) )
3635rmo4 3157 . 2  |-  ( E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  /\  ( A. y  e.  S  w  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  w ) ) )  ->  x  =  w ) )
3729, 36sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E*wrmo 2723    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   Basecbs 14179   lecple 14250   Posetcpo 15115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4426
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-iota 5386  df-fv 5431  df-poset 15121
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