Theorem posglbmo 15651

Description: Greatest lower bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by NM, 20-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubmo.l	|- .<_ = ( le ` K )
poslubmo.b	|- B = ( Base ` K )

Assertion

Ref	Expression
posglbmo	|- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .<_ , y, z   x, B, y, z   x, K, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem posglbmo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 760	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> w e. B )
2		simprlr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) )
3		simprrl 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. y e. S w .<_ y )
4		breq1 4456	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z .<_ y <-> w .<_ y ) )
5	4	ralbidv 2906	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( A. y e. S z .<_ y <-> A. y e. S w .<_ y ) )
6		breq1 4456	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z .<_ x <-> w .<_ x ) )
7	5, 6	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S w .<_ y -> w .<_ x ) ) )
8	7	rspcv 3215	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) -> ( A. y e. S w .<_ y -> w .<_ x ) ) )
9	1, 2, 3, 8	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> w .<_ x )
10		simplrl 759	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x e. B )
11		simprrr 764	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) )
12		simprll 761	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. y e. S x .<_ y )
13		breq1 4456	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z .<_ y <-> x .<_ y ) )
14	13	ralbidv 2906	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( A. y e. S z .<_ y <-> A. y e. S x .<_ y ) )
15		breq1 4456	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( z .<_ w <-> x .<_ w ) )
16	14, 15	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) <-> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ w ) ) )
17	16	rspcv 3215	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) -> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ w ) ) )
18	10, 11, 12, 17	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x .<_ w )
19		ancom 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> ( x .<_ w /\ w .<_ x ) )
20		poslubmo.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
21		poslubmo.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
22	20, 21	posasymb 15456	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ w e. B ) -> ( ( x .<_ w /\ w .<_ x ) <-> x = w ) )
23	19, 22	syl5bb 257	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ w e. B ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
24	23	3expb 1197	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
25	24	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
26	25	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
27	9, 18, 26	mpbi2and 919	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x = w )
28	27	ex 434	. . 3 |- ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
29	28	ralrimivva 2888	. 2 |- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
30		breq1 4456	. . . . 5 |- ( x = w -> ( x .<_ y <-> w .<_ y ) )
31	30	ralbidv 2906	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. S x .<_ y <-> A. y e. S w .<_ y ) )
32		breq2 4457	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( z .<_ x <-> z .<_ w ) )
33	32	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( x = w -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) )
34	33	ralbidv 2906	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) )
35	31, 34	anbi12d 710	. . 3 |- ( x = w -> ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) )
36	35	rmo4 3301	. 2 |- ( E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
37	29, 36	sylibr 212	1 |- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   E*wrmo 2820   C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   Basecbs 14507   lecple 14579   Posetcpo 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-poset 15450

This theorem is referenced by: (None)