Theorem posglbmo 16441

Description: Greatest lower bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by NM, 20-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubmo.l	|- .<_ = ( le ` K )
poslubmo.b	|- B = ( Base ` K )

Assertion

Ref	Expression
posglbmo	|- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .<_ , y, z   x, B, y, z   x, K, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem posglbmo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 776	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> w e. B )
2		simprlr 778	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) )
3		simprrl 779	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. y e. S w .<_ y )
4		breq1 4418	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z .<_ y <-> w .<_ y ) )
5	4	ralbidv 2838	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( A. y e. S z .<_ y <-> A. y e. S w .<_ y ) )
6		breq1 4418	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z .<_ x <-> w .<_ x ) )
7	5, 6	imbi12d 326	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S w .<_ y -> w .<_ x ) ) )
8	7	rspcv 3157	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) -> ( A. y e. S w .<_ y -> w .<_ x ) ) )
9	1, 2, 3, 8	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> w .<_ x )
10		simplrl 775	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x e. B )
11		simprrr 780	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) )
12		simprll 777	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. y e. S x .<_ y )
13		breq1 4418	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z .<_ y <-> x .<_ y ) )
14	13	ralbidv 2838	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( A. y e. S z .<_ y <-> A. y e. S x .<_ y ) )
15		breq1 4418	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( z .<_ w <-> x .<_ w ) )
16	14, 15	imbi12d 326	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) <-> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ w ) ) )
17	16	rspcv 3157	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) -> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ w ) ) )
18	10, 11, 12, 17	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x .<_ w )
19		ancom 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> ( x .<_ w /\ w .<_ x ) )
20		poslubmo.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
21		poslubmo.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
22	20, 21	posasymb 16246	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ w e. B ) -> ( ( x .<_ w /\ w .<_ x ) <-> x = w ) )
23	19, 22	syl5bb 265	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ w e. B ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
24	23	3expb 1216	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
25	24	adantlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
26	25	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
27	9, 18, 26	mpbi2and 937	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x = w )
28	27	ex 440	. . 3 |- ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
29	28	ralrimivva 2820	. 2 |- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
30		breq1 4418	. . . . 5 |- ( x = w -> ( x .<_ y <-> w .<_ y ) )
31	30	ralbidv 2838	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. S x .<_ y <-> A. y e. S w .<_ y ) )
32		breq2 4419	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( z .<_ x <-> z .<_ w ) )
33	32	imbi2d 322	. . . . 5 |- ( x = w -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) )
34	33	ralbidv 2838	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) )
35	31, 34	anbi12d 722	. . 3 |- ( x = w -> ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) )
36	35	rmo4 3242	. 2 |- ( E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
37	29, 36	sylibr 217	1 |- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   E*wrmo 2751   C_ wss 3415   class class class wbr 4415   ` cfv 5600   Basecbs 15169   lecple 15245   Posetcpo 16233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-nul 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-iota 5564  df-fv 5608  df-preset 16221  df-poset 16239

This theorem is referenced by: (None)