MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbd Structured version   Unicode version

Theorem posglbd 15979
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
posglbd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
posglbd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
posglbd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
posglbd.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
posglbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
posglbd.lb  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
posglbd.gt  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
Assertion
Ref Expression
posglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y   
x, B, y    x, K, y    x, S, y   
x, G, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem posglbd
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
2 posglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2oduleval 15960 . 2  |-  `'  .<_  =  ( le `  (ODual `  K ) )
4 posglbd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
61, 5odubas 15962 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (ODual `  K
) )
74, 6syl6eq 2511 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (ODual `  K )
) )
8 posglbd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
9 posglbd.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
10 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
111, 10odulub 15970 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( glb `  K )  =  ( lub `  (ODual `  K ) ) )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( glb `  K
)  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
138, 12eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
141odupos 15964 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  (ODual `  K
)  e.  Poset )
159, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e.  Poset )
16 posglbd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 posglbd.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
18 posglbd.lb . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
19 vex 3109 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 brcnvg 5172 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  T  e.  B )  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2119, 17, 20sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2221adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x `'  .<_  T  <->  T  .<_  x ) )
2318, 22mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x `'  .<_  T )
24 vex 3109 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2519, 24brcnv 5174 . . . . 5  |-  ( x `'  .<_  y  <->  y  .<_  x )
2625ralbii 2885 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  x `'  .<_  y  <->  A. x  e.  S  y  .<_  x )
27 posglbd.gt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
2826, 27syl3an3b 1264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  y  .<_  T )
29 brcnvg 5172 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  _V )  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
3017, 24, 29sylancl 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
31303ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  ( T `'  .<_  y  <->  y  .<_  T ) )
3228, 31mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  T `'  .<_  y )
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 15978 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lecple 14791   Posetcpo 15768   lubclub 15770   glbcglb 15771  ODualcodu 15957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ple 14804  df-preset 15756  df-poset 15774  df-lub 15803  df-glb 15804  df-odu 15958
This theorem is referenced by:  mrelatglb  16013  mrelatglb0  16014
  Copyright terms: Public domain W3C validator