Theorem posdif 10106

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
posdif	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 9937	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
2	1	ancoms 454	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
3		simpl 458	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4		ltaddpos 10103	. . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 665	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
6		recn 9628	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
7		recn 9628	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		pncan3 9882	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
9	6, 7, 8	syl2an 479	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
10	9	breq2d 4438	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( A + ( B - A ) ) <-> A < B ) )
11	5, 10	bitr2d 257	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   + caddc 9541   < clt 9674   - cmin 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-sub 9861  df-neg 9862

This theorem is referenced by:  posdifi  10163  posdifd  10199  nnsub  10648  nn0sub  10920  znnsub  10983  rpnnen1lem5  11294  difrp  11337  qbtwnre  11492  eluzgtdifelfzo  11973  expnbnd  12398  expmulnbnd  12401  swrdccatin12lem3  12831  eflt  14149  cos01gt0  14223  ndvdsadd  14364  nn0seqcvgd  14500  prmgaplem7  14990  cshwshashlem2  15030  dvcvx  22849  abelthlem7  23258  sinq12gt0  23327  cosq14gt0  23330  cosne0  23344  tanregt0  23353  logdivlti  23434  logcnlem4  23455  scvxcvx  23776  perfectlem2  24021  rplogsumlem2  24186  dchrisum0flblem1  24209  numclwwlkovf2ex  25659  mblfinlem3  31682  mblfinlem4  31683  dvasin  31731  geomcau  31791  bfp  31859  perfectALTVlem2  38233