Theorem posdif 10044

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
posdif	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 9882	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
2	1	ancoms 453	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
3		simpl 457	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4		ltaddpos 10041	. . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
6		recn 9581	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
7		recn 9581	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		pncan3 9827	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
9	6, 7, 8	syl2an 477	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
10	9	breq2d 4459	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( A + ( B - A ) ) <-> A < B ) )
11	5, 10	bitr2d 254	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   + caddc 9494   < clt 9627   - cmin 9804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-ltxr 9632  df-sub 9806  df-neg 9807

This theorem is referenced by:  posdifi  10102  posdifd  10138  nnsub  10573  nn0sub  10845  znnsub  10908  rpnnen1lem5  11211  difrp  11252  qbtwnre  11397  eluzgtdifelfzo  11845  expnbnd  12262  expmulnbnd  12265  swrd0  12620  swrdccatin12lem3  12677  eflt  13712  cos01gt0  13786  ndvdsadd  13924  nn0seqcvgd  14057  cshwshashlem2  14438  dvcvx  22172  abelthlem7  22583  sinq12gt0  22649  cosq14gt0  22652  cosne0  22666  tanregt0  22675  logdivlti  22749  logcnlem4  22770  scvxcvx  23059  perfectlem2  23249  rplogsumlem2  23414  dchrisum0flblem1  23437  clwlkisclwwlklem2fv2  24475  numclwwlkovf2ex  24779  mblfinlem3  29646  mblfinlem4  29647  dvasin  29696  geomcau  29871  bfp  29939  fourierdlem64  31487  fourierdlem89  31512  fourierdlem91  31514