Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubclN Structured version   Unicode version

Theorem polsubclN 33902
Description: A polarity is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubcl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
polsubcl.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
polsubcl.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
polsubclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  C )

Proof of Theorem polsubclN
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
3 polsubcl.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 eqid 2451 . . 3  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
5 polsubcl.p . . 3  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 33856 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
7 hlop 33313 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  OP )
9 hlclat 33309 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
10 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1110, 3atssbase 33241 . . . . . 6  |-  A  C_  ( Base `  K )
12 sstr 3462 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  A  /\  A  C_  ( Base `  K
) )  ->  X  C_  ( Base `  K
) )
1311, 12mpan2 671 . . . . 5  |-  ( X 
C_  A  ->  X  C_  ( Base `  K
) )
1410, 1clatlubcl 15384 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
159, 13, 14syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
1610, 2opoccl 33145 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
178, 15, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K ) )
18 polsubcl.c . . . 4  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
1910, 4, 18pmapsubclN 33896 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )  e.  C
)
2017, 19syldan 470 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )  e.  C
)
216, 20eqeltrd 2539 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3426   ` cfv 5516   Basecbs 14276   occoc 14348   lubclub 15214   CLatccla 15379   OPcops 33123   Atomscatm 33214   HLchlt 33301   pmapcpmap 33447   _|_PcpolN 33852   PSubClcpscN 33884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-riotaBAD 32910
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-undef 6892  df-poset 15218  df-plt 15230  df-lub 15246  df-glb 15247  df-join 15248  df-meet 15249  df-p0 15311  df-p1 15312  df-lat 15318  df-clat 15380  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-atl 33249  df-cvlat 33273  df-hlat 33302  df-pmap 33454  df-polarityN 33853  df-psubclN 33885
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  33914  pexmidN  33919
  Copyright terms: Public domain W3C validator