Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polssatN Structured version   Unicode version

Theorem polssatN 33891
Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
polssat.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
polssatN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )

Proof of Theorem polssatN
StepHypRef Expression
1 polssat.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
3 polssat.p . . 3  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
41, 2, 3polsubN 33890 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)
51, 2psubssat 33737 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  A
)
64, 5syldan 470 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3437   ` cfv 5527   Atomscatm 33247   HLchlt 33334   PSubSpcpsubsp 33479   _|_PcpolN 33885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-riotaBAD 32943
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-undef 6903  df-poset 15236  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-p1 15330  df-lat 15336  df-clat 15398  df-oposet 33160  df-ol 33162  df-oml 33163  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-psubsp 33486  df-pmap 33487  df-polarityN 33886
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  33901  polcon2N  33902  pclss2polN  33904  2pmaplubN  33909  paddunN  33910  ispsubcl2N  33930  poml5N  33937  osumcllem1N  33939  osumcllem2N  33940  osumcllem3N  33941  osumcllem9N  33947  osumcllem11N  33949  pexmidN  33952  pexmidlem2N  33954  pexmidlem3N  33955  pexmidlem7N  33959  pexmidlem8N  33960
  Copyright terms: Public domain W3C validator