Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  polid2i Unicode version

Theorem polid2i 21566
 Description: Generalized polarization identity. Generalization of Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid2.1
polid2.2
polid2.3
polid2.4
Assertion
Ref Expression
polid2i

Proof of Theorem polid2i
StepHypRef Expression
1 polid2.1 . . . 4
2 polid2.2 . . . 4
31, 2hicli 21490 . . 3
4 4cn 9700 . . 3
5 4re 9699 . . . 4
6 4pos 9712 . . . 4
75, 6gt0ne0ii 9189 . . 3
83, 4, 7divcan3i 9386 . 2
9 2cn 9696 . . . . 5
10 polid2.3 . . . . . . 7
11 polid2.4 . . . . . . 7
1210, 11hicli 21490 . . . . . 6
133, 12addcli 8721 . . . . 5
143, 12subcli 9002 . . . . 5
159, 13, 14adddii 8727 . . . 4
16 ppncan 8969 . . . . . . . 8
173, 12, 3, 16mp3an 1282 . . . . . . 7
1832timesi 9724 . . . . . . 7
1917, 18eqtr4i 2276 . . . . . 6
2019oveq2i 5721 . . . . 5
219, 9, 3mulassi 8726 . . . . 5
22 2t2e4 9750 . . . . . 6
2322oveq1i 5720 . . . . 5
2420, 21, 233eqtr2ri 2280 . . . 4
251, 11hicli 21490 . . . . . . . 8
2610, 2hicli 21490 . . . . . . . 8
2725, 26addcli 8721 . . . . . . 7
2827, 13, 13pnncani 9021 . . . . . 6
291, 10, 11, 2normlem8 21526 . . . . . . 7
301, 10, 11, 2normlem9 21527 . . . . . . 7
3129, 30oveq12i 5722 . . . . . 6
32132timesi 9724 . . . . . 6
3328, 31, 323eqtr4i 2283 . . . . 5
34 ax-icn 8676 . . . . . . . . . . 11
3534, 10hvmulcli 21424 . . . . . . . . . 10
3634, 2hvmulcli 21424 . . . . . . . . . 10
371, 35, 11, 36normlem8 21526 . . . . . . . . 9
381, 35, 11, 36normlem9 21527 . . . . . . . . 9
3937, 38oveq12i 5722 . . . . . . . 8
4035, 36hicli 21490 . . . . . . . . . 10
4125, 40addcli 8721 . . . . . . . . 9
421, 36hicli 21490 . . . . . . . . . 10
4335, 11hicli 21490 . . . . . . . . . 10
4442, 43addcli 8721 . . . . . . . . 9
4541, 44, 44pnncani 9021 . . . . . . . 8
46442timesi 9724 . . . . . . . . 9
47 his5 21495 . . . . . . . . . . . . 13
4834, 1, 2, 47mp3an 1282 . . . . . . . . . . . 12
49 cji 11521 . . . . . . . . . . . . 13
5049oveq1i 5720 . . . . . . . . . . . 12
5148, 50eqtri 2273 . . . . . . . . . . 11
52 ax-his3 21493 . . . . . . . . . . . 12
5334, 10, 11, 52mp3an 1282 . . . . . . . . . . 11
5451, 53oveq12i 5722 . . . . . . . . . 10
5554oveq2i 5721 . . . . . . . . 9
5646, 55eqtr3i 2275 . . . . . . . 8
5739, 45, 563eqtri 2277 . . . . . . 7
5857oveq2i 5721 . . . . . 6
5934negcli 8994 . . . . . . . . 9
6059, 3mulcli 8722 . . . . . . . 8
6134, 12mulcli 8722 . . . . . . . 8
6260, 61addcli 8721 . . . . . . 7
639, 34, 62mul12i 8887 . . . . . 6
6434, 60, 61adddii 8727 . . . . . . . 8
6534, 34mulneg2i 9106 . . . . . . . . . . . 12
66 ixi 9277 . . . . . . . . . . . . 13
6766negeqi 8925 . . . . . . . . . . . 12
68 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . 13
6968negnegi 8996 . . . . . . . . . . . 12
7065, 67, 693eqtri 2277 . . . . . . . . . . 11
7170oveq1i 5720 . . . . . . . . . 10
7234, 59, 3mulassi 8726 . . . . . . . . . 10
733mulid2i 8720 . . . . . . . . . 10
7471, 72, 733eqtr3i 2281 . . . . . . . . 9
7566oveq1i 5720 . . . . . . . . . 10
7634, 34, 12mulassi 8726 . . . . . . . . . 10
7712mulm1i 9104 . . . . . . . . . 10
7875, 76, 773eqtr3i 2281 . . . . . . . . 9
7974, 78oveq12i 5722 . . . . . . . 8
803, 12negsubi 9004 . . . . . . . 8
8164, 79, 803eqtri 2277 . . . . . . 7
8281oveq2i 5721 . . . . . 6
8358, 63, 823eqtr2i 2279 . . . . 5
8433, 83oveq12i 5722 . . . 4
8515, 24, 843eqtr4i 2283 . . 3
8685oveq1i 5720 . 2
878, 86eqtr3i 2275 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1619   wcel 1621  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  c1 8618  ci 8619   caddc 8620   cmul 8622   cmin 8917  cneg 8918   cdiv 9303  c2 9675  c4 9677  ccj 11458  chil 21329   cva 21330   csm 21331   csp 21332   cmv 21335 This theorem is referenced by:  polidi  21567  lnopeq0lem1  22415  lnophmlem2  22427 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-hfvadd 21410  ax-hfvmul 21415  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-hvsub 21381
 Copyright terms: Public domain W3C validator