Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polcon2bN Structured version   Unicode version

Theorem polcon2bN 35745
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
polcon2bN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  (  ._|_  `  Y
)  <->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem polcon2bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  A )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
4 2polss.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 2polss.p . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
64, 5polcon2N 35744 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
8 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  K  e.  HL )
9 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  X  C_  A )
10 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
114, 5polcon2N 35744 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
137, 12impbida 832 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  (  ._|_  `  Y
)  <->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471   ` cfv 5594   Atomscatm 35089   HLchlt 35176   _|_PcpolN 35727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-riotaBAD 34785
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-undef 7020  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-polarityN 35728
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator