Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polcon2bN Structured version   Unicode version

Theorem polcon2bN 33562
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
polcon2bN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  (  ._|_  `  Y
)  <->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem polcon2bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  A )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
4 2polss.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 2polss.p . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
64, 5polcon2N 33561 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y
) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
8 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  K  e.  HL )
9 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  X  C_  A )
10 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )
114, 5polcon2N 33561 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  X
) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
137, 12impbida 828 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  (  ._|_  `  Y
)  <->  Y  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3327   ` cfv 5417   Atomscatm 32906   HLchlt 32993   _|_PcpolN 33544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-riotaBAD 32602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-undef 6791  df-poset 15115  df-plt 15127  df-lub 15143  df-glb 15144  df-join 15145  df-meet 15146  df-p0 15208  df-p1 15209  df-lat 15215  df-clat 15277  df-oposet 32819  df-ol 32821  df-oml 32822  df-covers 32909  df-ats 32910  df-atl 32941  df-cvlat 32965  df-hlat 32994  df-psubsp 33145  df-pmap 33146  df-polarityN 33545
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator