Theorem polat 17341

Description: The polarity of the singleton of an atom (i.e. a point).

Hypotheses

Ref	Expression
polat.o	|- O = (oc` K)
polat.a	|- A = (AtomsNEW` K)
polat.m	|- M = (pmap` K)
polat.p	|- P = (_|_P` K)

Assertion

Ref	Expression
polat	|- ((K e. OL /\ Q e. A) -> (P` {Q}) = (M` (O` Q)))

Proof of Theorem polat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polat.o	. . . 4 |- O = (oc` K)
2		polat.a	. . . 4 |- A = (AtomsNEW` K)
3		polat.m	. . . 4 |- M = (pmap` K)
4		polat.p	. . . 4 |- P = (_|_P` K)
5	1, 2, 3, 4	polval 17318	. . 3 |- ((K e. OL /\ {Q} C_ A) -> (P` {Q}) = (A i^i |^|_p e. {Q} (M` (O` p))))
6		snssi 3129	. . 3 |- (Q e. A -> {Q} C_ A)
7	5, 6	sylan2 500	. 2 |- ((K e. OL /\ Q e. A) -> (P` {Q}) = (A i^i |^|_p e. {Q} (M` (O` p))))
8		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (p = Q -> (O` p) = (O` Q))
9	8	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (p = Q -> (M` (O` p)) = (M` (O` Q)))
10	9	iinxsng 3325	. . . 4 |- (Q e. A -> |^|_p e. {Q} (M` (O` p)) = (M` (O` Q)))
11	10	adantl 424	. . 3 |- ((K e. OL /\ Q e. A) -> |^|_p e. {Q} (M` (O` p)) = (M` (O` Q)))
12	11	ineq2d 2796	. 2 |- ((K e. OL /\ Q e. A) -> (A i^i |^|_p e. {Q} (M` (O` p))) = (A i^i (M` (O` Q))))
13		eqid 1884	. . . . . 6 |- (base` K) = (base` K)
14	13, 1	opoccl 16921	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ Q e. (base` K)) -> (O` Q) e. (base` K))
15		olop 16941	. . . . 5 |- (K e. OL -> K e. OP)
16	13, 2	atombase 17003	. . . . 5 |- (Q e. A -> Q e. (base` K))
17	14, 15, 16	syl2an 503	. . . 4 |- ((K e. OL /\ Q e. A) -> (O` Q) e. (base` K))
18	13, 2, 3	pmapssat 17239	. . . 4 |- ((K e. OL /\ (O` Q) e. (base` K)) -> (M` (O` Q)) C_ A)
19	17, 18	syldan 516	. . 3 |- ((K e. OL /\ Q e. A) -> (M` (O` Q)) C_ A)
20		sseqin2 2811	. . 3 |- ((M` (O` Q)) C_ A <-> (A i^i (M` (O` Q))) = (M` (O` Q)))
21	19, 20	sylib 215	. 2 |- ((K e. OL /\ Q e. A) -> (A i^i (M` (O` Q))) = (M` (O` Q)))
22	7, 12, 21	3eqtrd 1929	1 |- ((K e. OL /\ Q e. A) -> (P` {Q}) = (M` (O` Q)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  {csn 3044  |^|_ciin 3256  ` cfv 3998  basecbs 16758  occoc 16836  OPcops 16837  OLcol 16839  AtomsNEWcatm 16981  pmapcpmap 17214  _|_Pcpol 17315

This theorem is referenced by:  2polat 17342

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-struct 16708  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-atoms 16985  df-pmap 17218  df-polarity 17316

Copyright terms: Public domain