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Mathbox for Brendan Leahy |
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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > poimirlem21 | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: Lemma for poimir 32037 stating that, given a face not on a back face of the cube and a simplex in which it's opposite the final point of the walk, there exists exactly one other simplex containing it. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| poimir.0 |
        |
| poimirlem22.s |
     ..^                       ![]_](_urbrack.gif "]_"){kind=small}      |
| poimirlem22.1 |
|
| poimirlem22.2 |
 |
| poimirlem22.3 |
![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}
     |
| poimirlem21.4 |
|
| Ref | Expression |
|---|---|
| poimirlem21 |
  |
,,,,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,, ,,,,, ,,, ,, , ,,,, , ,
,, ,,,,,,() () ()
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | poimir.0 |
. . 3
| |
| 2 | poimirlem22.s |
. . 3
..^ | |
| 3 | poimirlem22.1 |
. . 3
| |
| 4 | poimirlem22.2 |
. . 3
| |
| 5 | poimirlem22.3 |
. . 3
| |
| 6 | poimirlem21.4 |
. . 3
| |
| 7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | poimirlem20 32024 |
. 2
|
| 8 | 6 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
|
| 9 | 1 | nnred 10646 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
| 10 | 9 | ltm1d 10561 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 11 | nnm1nn0 10935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 12 | 1, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 13 | 12 | nn0red 10950 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 14 | 13, 9 | ltnled 9799 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  
|
| 15 | 10, 14 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 16 | elfzle2 11829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 17 | 15, 16 | nsyl 125 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 18 | eleq1 2537 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 19 | 18 | notbid 301 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 20 | 17, 19 | syl5ibrcom 230 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 21 | 20 | necon2ad 2658 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 22 | 21 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
|
| 23 | 1 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 24 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | 24 | breq2d 4407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 26 | 25 | ifbid 3894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 27 | 26 | csbeq1d 3356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 28 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 29 | 28 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 30 | 28 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 31 | 30 | imaeq1d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 32 | 31 | xpeq1d 4862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 33 | 30 | imaeq1d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 34 | 33 | xpeq1d 4862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 35 | 32, 34 | uneq12d 3580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 36 | 29, 35 | oveq12d 6326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 37 | 36 | csbeq2dv 3785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 38 | 27, 37 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 39 | 38 | mpteq2dv 4483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 40 | 39 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40, 2 | elrab2 3186 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 42 | 41 | simprbi 471 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 43 | 42 | ad2antlr 741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 44 | elrabi 3181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
..^ | |
| 45 | 44, 2 | eleq2s 2567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ |
| 46 | xp1st 6842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 47 | 45, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 48 | xp1st 6842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ | |
| 49 | 47, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 50 | elmapi 7511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ | |
| 51 | 49, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 52 | elfzoelz 11947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
 | |
| 53 | 52 | ssriv 3422 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^  |
| 54 | fss 5749 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
| |
| 55 | 51, 53, 54 | sylancl 675 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | 55 | ad2antlr 741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 57 | xp2nd 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ | |
| 58 | 47, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 59 | fvex 5889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 | |
| 60 | f1oeq1 5818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 61 | 59, 60 | elab 3173 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 62 | 58, 61 | sylib 201 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 63 | 62 | ad2antlr 741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 65 | 23, 43, 56, 63, 64 | poimirlem1 32005 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 66 | 1 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 67 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 68 | 67 | breq2d 4407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 69 | 68 | ifbid 3894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 70 | 69 | csbeq1d 3356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 71 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 72 | 71 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 73 | 71 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 74 | 73 | imaeq1d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 75 | 74 | xpeq1d 4862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 76 | 73 | imaeq1d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 77 | 76 | xpeq1d 4862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 78 | 75, 77 | uneq12d 3580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 79 | 72, 78 | oveq12d 6326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 80 | 79 | csbeq2dv 3785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 70, 80 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | 81 | mpteq2dv 4483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 83 | 82 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 84 | 83, 2 | elrab2 3186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 85 | 84 | simprbi 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 86 | 4, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 87 | 86 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 88 | elrabi 3181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
..^
..^ | |
| 89 | 88, 2 | eleq2s 2567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^ |
| 90 | 4, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ |
| 91 | xp1st 6842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^ | |
| 92 | 90, 91 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ |
| 93 | xp1st 6842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^ | |
| 94 | 92, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ |
| 95 | elmapi 7511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ | |
| 96 | 94, 95 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ |
| 97 | fss 5749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^
| |
| 98 | 96, 53, 97 | sylancl 675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 99 | 98 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 100 | xp2nd 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ | |
| 101 | 92, 100 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 102 | fvex 5889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 103 | f1oeq1 5818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 104 | 102, 103 | elab 3173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 105 | 101, 104 | sylib 201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 106 | 105 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 107 | simplr 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 108 | xp2nd 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ | |
| 109 | 90, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 110 | 109 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 111 | eldifsn 4088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![\](setminus.gif "\"){kind=small}
| |
| 112 | 111 | biimpri 211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | 110, 112 | sylan 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 66, 87, 99, 106, 107, 113 | poimirlem2 32006 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 114 | ex 441 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | 115 | necon1bd 2661 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 117 | 116 | adantlr 729 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 118 | 65, 117 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | neeq1d 2702 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | exbiri 634 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | 22, 120 | mpdd 40 |
. . . . . . . . 9
|
| 122 | 121 | necon2bd 2659 |
. . . . . . . 8
|
| 123 | 8, 122 | mpd 15 |
. . . . . . 7
|
| 124 | xp2nd 6843 |
. . . . . . . . 9
..^ | |
| 125 | 45, 124 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
| 126 | nn0uz 11217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 127 | 12, 126 | syl6eleq 2559 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 128 | fzpred 11870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 129 | 127, 128 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 130 | 0p1e1 10743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 131 | 130 | oveq1i 6318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 132 | 131 | uneq2i 3576 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 133 | 129, 132 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 134 | 133 | eleq2d 2534 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 135 | 134 | notbid 301 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 136 | ioran 498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 137 | elun 3565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 138 | fvex 5889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 139 | 138 | elsnc 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 140 | 139 | orbi1i 529 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 141 | 137, 140 | bitri 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 142 | 136, 141 | xchnxbir 316 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 143 | 135, 142 | syl6bb 269 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 144 | 143 | anbi2d 718 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 145 | uncom 3569 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 146 | 145 | difeq1i 3536 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 147 | difun2 3838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 148 | 146, 147 | eqtri 2493 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 149 | 1 | nncnd 10647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 |
| 150 | npcan1 10065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 151 | 149, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 152 | 1 | nnnn0d 10949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 153 | 152, 126 | syl6eleq 2559 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 154 | 151, 153 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 155 | 12 | nn0zd 11061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 156 | uzid 11197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 157 | peano2uz 11235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 158 | 155, 156, 157 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 159 | 151, 158 | eqeltrrd 2550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 160 | fzsplit2 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 161 | 154, 159, 160 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 162 | 151 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 163 | 1 | nnzd 11062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 164 | fzsn 11866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 165 | 163, 164 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 166 | 162, 165 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 167 | 166 | uneq2d 3579 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 168 | 161, 167 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 169 | 168 | difeq1d 3539 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 170 | elfzle2 11829 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 171 | 15, 170 | nsyl 125 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 172 | incom 3616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 | |
| 173 | 172 | eqeq1i 2476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
| 174 | disjsn 4023 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 175 | disj3 3813 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 176 | 173, 174, 175 | 3bitr3i 283 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 177 | 171, 176 | sylib 201 |
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|
| 178 | 148, 169, 177 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 179 | 178 | eleq2d 2534 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 180 | eldif 3400 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 181 | 138 | elsnc 3984 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 182 | 179, 180, 181 | 3bitr3g 295 |
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|
| 183 | 144, 182 | bitr3d 263 |
. . . . . . . . . 10
|
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|
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|
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|
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. . . . . 6
|
| 188 | 1, 2, 3 | poimirlem14 32018 |
. . . . . . . . . 10
|
| 189 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 190 | 189 | eqeq1d 2473 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 191 | 190 | rmo4 3219 |
. . . . . . . . . 10
|
| 192 | 188, 191 | sylib 201 |
. . . . . . . . 9
|
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. . . . . . . 8
|
| 194 | 4 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
|
| 195 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 196 | 195 | eqeq1d 2473 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 197 | 196 | anbi2d 718 |
. . . . . . . . . 10
|
| 198 | eqeq2 2482 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 199 | 197, 198 | imbi12d 327 |
. . . . . . . . 9
|
| 200 | 199 | rspccv 3133 |
. . . . . . . 8
|
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. . . . . . 7
|
| 202 | 8, 201 | mpan2d 688 |
. . . . . 6
|
| 203 | 187, 202 | syld 44 |
. . . . 5
|
| 204 | 203 | necon1ad 2660 |
. . . 4
|
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. . 3
|
| 206 | 1, 2, 3 | poimirlem13 32017 |
. . 3
|
| 207 | rmoim 3227 |
. . 3
| |
| 208 | 205, 206, 207 | sylc 61 |
. 2
|
| 209 | reu5 2994 |
. 2
| |
| 210 | 7, 208, 209 | sylanbrc 677 |
1
|
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wo 375
wa 376
wceq 1452
wcel 1904
cab 2457
wne 2641
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class class class wbr 4395 cmpt 4454 cxp 4837 crn 4840 cima 4842 wf 5585 wf1o 5588
cfv 5589
(class class class)co 6308 cof 6548
c1st 6810
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cmap 7490
cc 9555
cc0 9557
c1 9558
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-er 7381 df-map 7492 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-nn 10632 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-fz 11811 df-fzo 11943 |
| This theorem is referenced by: poimirlem22 32026 |
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