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Theorem poimirlem21 32025
 Description: Lemma for poimir 32037 stating that, given a face not on a back face of the cube and a simplex in which it's opposite the final point of the walk, there exists exactly one other simplex containing it. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0
poimirlem22.s ..^
poimirlem22.1
poimirlem22.2
poimirlem22.3
poimirlem21.4
Assertion
Ref Expression
poimirlem21
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,   ,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem poimirlem21
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3
2 poimirlem22.s . . 3 ..^
3 poimirlem22.1 . . 3
4 poimirlem22.2 . . 3
5 poimirlem22.3 . . 3
6 poimirlem21.4 . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6poimirlem20 32024 . 2
86adantr 472 . . . . . . . 8
91nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413, 9ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . 15
1510, 14mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
16 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16nsyl 125 . . . . . . . . . . . . 13
18 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
1918notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 19syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12
2120necon2ad 2658 . . . . . . . . . . 11
2221adantr 472 . . . . . . . . . 10
231ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
24 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2524breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2625ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2726csbeq1d 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2928fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3028fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3130imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3231xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3330imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3433xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3532, 34uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3629, 35oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3736csbeq2dv 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3827, 37eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3938mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140, 2elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
4241simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
44 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
4544, 2eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
46 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
48 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
50 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
52 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
5352ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
54 fss 5749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
5551, 53, 54sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
57 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
5847, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 f1oeq1 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6159, 60elab 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6258, 61sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
64 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
6523, 43, 56, 63, 64poimirlem1 32005 . . . . . . . . . . . . 13
661ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6867breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6968ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7069csbeq1d 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7271fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7371fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7473imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7574xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7673imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7776xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7875, 77uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7972, 78oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8079csbeq2dv 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8170, 80eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8281mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8382eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8483, 2elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
8584simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
864, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8786ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
88 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ ..^
8988, 2eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
904, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
91 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
93 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
95 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
97 fss 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
9896, 53, 97sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
100 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
10192, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103 f1oeq1 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104102, 103elab 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105101, 104sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
10990, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112111biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113110, 112sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11466, 87, 99, 106, 107, 113poimirlem2 32006 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115necon1bd 2661 . . . . . . . . . . . . . 14
117116adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
11865, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
119118neeq1d 2702 . . . . . . . . . . 11
120119exbiri 634 . . . . . . . . . 10
12122, 120mpdd 40 . . . . . . . . 9
122121necon2bd 2659 . . . . . . . 8
1238, 122mpd 15 . . . . . . 7
124 xp2nd 6843 . . . . . . . . 9 ..^
12545, 124syl 17 . . . . . . . 8
126 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12712, 126syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128 fzpred 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131130oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132131uneq2i 3576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133129, 132syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14
135134notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13
136 ioran 498 . . . . . . . . . . . . . 14
137 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . 15
138 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138elsnc 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140139orbi1i 529 . . . . . . . . . . . . . . 15
141137, 140bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14
142136, 141xchnxbir 316 . . . . . . . . . . . . 13
143135, 142syl6bb 269 . . . . . . . . . . . 12
144143anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11
145 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146145difeq1i 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 difun2 3838 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
1491nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
150 npcan1 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1521nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
153152, 126syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154151, 153eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15512nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
156 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157 peano2uz 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158155, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159151, 158eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160 fzsplit2 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161154, 159, 160syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162151oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1631nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
164 fzsn 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166162, 165eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167166uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168161, 167eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
169168difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . 14
170 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17115, 170nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . . 15
172 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
173172eqeq1i 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
174 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175 disj3 3813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176173, 174, 1753bitr3i 283 . . . . . . . . . . . . . . 15
177171, 176sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
178148, 169, 1773eqtr4a 2531 . . . . . . . . . . . . 13
179178eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12
180 eldif 3400 . . . . . . . . . . . 12
181138elsnc 3984 . . . . . . . . . . . 12
182179, 180, 1813bitr3g 295 . . . . . . . . . . 11
183144, 182bitr3d 263 . . . . . . . . . 10
184183biimpd 212 . . . . . . . . 9
185184expdimp 444 . . . . . . . 8
186125, 185sylan2 482 . . . . . . 7
187123, 186mpan2d 688 . . . . . 6
1881, 2, 3poimirlem14 32018 . . . . . . . . . 10
189 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
190189eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11
191190rmo4 3219 . . . . . . . . . 10
192188, 191sylib 201 . . . . . . . . 9
193192r19.21bi 2776 . . . . . . . 8
1944adantr 472 . . . . . . . 8
195 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
196195eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11
197196anbi2d 718 . . . . . . . . . 10
198 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10
199197, 198imbi12d 327 . . . . . . . . 9
200199rspccv 3133 . . . . . . . 8
201193, 194, 200sylc 61 . . . . . . 7
2028, 201mpan2d 688 . . . . . 6
203187, 202syld 44 . . . . 5
204203necon1ad 2660 . . . 4
205204ralrimiva 2809 . . 3
2061, 2, 3poimirlem13 32017 . . 3
207 rmoim 3227 . . 3
208205, 206, 207sylc 61 . 2
209 reu5 2994 . 2
2107, 208, 209sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  wreu 2758  wrmo 2759  crab 2760  csb 3349   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cif 3872  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840  cima 4842  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  c1st 6810  c2nd 6811   cmap 7490  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  ..^cfzo 11942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943 This theorem is referenced by:  poimirlem22  32026
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