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Theorem poimirlem1 31934
Description: Lemma for poimir 31966- the vertices on either side of a skipped vertex differ in at least two dimensions. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
poimirlem2.1  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  |->  [_ if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) ) )
poimirlem2.2  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> ZZ )
poimirlem2.3  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
poimirlem1.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
poimirlem1  |-  ( ph  ->  -.  E* n  e.  ( 1 ... N
) ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )
)
Distinct variable groups:    j, n, y, ph    j, F, n, y    j, M, n, y    j, N, n, y    T, j, n, y    U, j, n, y

Proof of Theorem poimirlem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimirlem2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
2 f1of 5812 . . . . 5  |-  ( U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  ->  U :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... N ) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... N ) )
4 poimir.0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
54nncnd 10622 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6 npcan1 10041 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
75, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
84nnzd 11036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9 peano2zm 10977 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
10 uzid 11170 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
11 peano2uz 11209 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
128, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) ) )
137, 12eqeltrrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) ) )
14 fzss2 11835 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... N
) )
1513, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 1 ... N ) )
16 poimirlem1.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
1715, 16sseldd 3432 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
183, 17ffvelrnd 6021 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  M
)  e.  ( 1 ... N ) )
19 fzp1elp1 11846 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( 1 ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )
2016, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( 1 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
217oveq2d 6304 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
2220, 21eleqtrd 2530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
233, 22ffvelrnd 6021 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  ( M  +  1 ) )  e.  ( 1 ... N ) )
24 imassrn 5178 . . . . . . . . . 10  |-  ( U
" ( M ... ( M  +  1
) ) )  C_  ran  U
25 frn 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... N )  ->  ran  U  C_  ( 1 ... N ) )
261, 2, 253syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  (
1 ... N ) )
2724, 26syl5ss 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ( 1 ... N ) )
2827sselda 3431 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... N
) )
29 poimirlem2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> ZZ )
3029ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T `  n )  e.  ZZ )
3130zred 11037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T `  n )  e.  RR )
3231ltp1d 10534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T `  n )  <  ( ( T `  n )  +  1 ) )
3331, 32ltned 9768 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T `  n )  =/=  ( ( T `  n )  +  1 ) )
3428, 33syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( T `  n )  =/=  (
( T `  n
)  +  1 ) )
35 poimirlem2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  |->  [_ if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) ) )
36 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  <  M  <->  ( M  -  1 )  < 
M ) )
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  y  =  ( M  - 
1 ) )
3836, 37ifbieq1d 3903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  =  if ( ( M  -  1 )  <  M , 
( M  -  1 ) ,  ( y  +  1 ) ) )
39 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  M  e.  ZZ )
4016, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4140zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4241ltm1d 10536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <  M )
4342iftrued 3888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( M  -  1 )  < 
M ,  ( M  -  1 ) ,  ( y  +  1 ) )  =  ( M  -  1 ) )
4438, 43sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  =  ( M  -  1
) )  ->  if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  =  ( M  -  1 ) )
4544csbeq1d 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  =  ( M  -  1
) )  ->  [_ if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )  = 
[_ ( M  - 
1 )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) )
468, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
47 elfzm1b 11869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) ) )
4840, 46, 47syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
4916, 48mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) )
50 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( M  - 
1 )  ->  (
1 ... j )  =  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )
5150imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( M  - 
1 )  ->  ( U " ( 1 ... j ) )  =  ( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) ) )
5251xpeq1d 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( U " (
1 ... j ) )  X.  { 1 } )  =  ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } ) )
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  =  ( M  -  1
) )  ->  (
( U " (
1 ... j ) )  X.  { 1 } )  =  ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } ) )
54 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  ( M  - 
1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
5540zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
56 npcan1 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
5854, 57sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  =  ( M  -  1
) )  ->  (
j  +  1 )  =  M )
5958oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  =  ( M  -  1
) )  ->  (
( j  +  1 ) ... N )  =  ( M ... N ) )
6059imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  =  ( M  -  1
) )  ->  ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  =  ( U " ( M ... N ) ) )
6160xpeq1d 4856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  =  ( M  -  1
) )  ->  (
( U " (
( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } )  =  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) )
6253, 61uneq12d 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  =  ( M  -  1
) )  ->  (
( ( U "
( 1 ... j
) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( j  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) )  =  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )
6362oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  =  ( M  -  1
) )  ->  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... j
) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( j  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) ) )
6449, 63csbied 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  [_ ( M  - 
1 )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) )
6564adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  =  ( M  -  1
) )  ->  [_ ( M  -  1 )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... j
) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( j  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) ) )
6645, 65eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  =  ( M  -  1
) )  ->  [_ if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) )
6746zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
68 npcan1 10041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  1 )  e.  CC  ->  (
( ( N  - 
1 )  -  1 )  +  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( N  -  1 ) )
70 peano2zm 10977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
71 uzid 11170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  -  1 )  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )
72 peano2uz 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  -  1 )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  1 )  -  1 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )
7346, 70, 71, 724syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  -  1 ) ) )
7469, 73eqeltrrd 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  -  1 ) ) )
75 fzss2 11835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  1 )  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
7776, 49sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
78 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )  e. 
_V )
8035, 66, 77, 79fvmptd 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  ( M  -  1 ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) ) )
8180fveq1d 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =  ( ( T  oF  +  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) ) ) `  n
) )
8281adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 n )  =  ( ( T  oF  +  ( (
( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) `  n ) )
83 ffn 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T : ( 1 ... N ) --> ZZ  ->  T  Fn  ( 1 ... N ) )
8429, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  Fn  ( 1 ... N ) )
8584adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  T  Fn  ( 1 ... N
) )
86 1ex 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
87 fnconstg 5769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  Fn  ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  Fn  ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )
89 c0ex 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
90 fnconstg 5769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  _V  ->  (
( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } )  Fn  ( U
" ( M ... N ) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } )  Fn  ( U
" ( M ... N ) )
9288, 91pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  Fn  ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  /\  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } )  Fn  ( U " ( M ... N ) ) )
93 dff1o3 5818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  <->  ( U :
( 1 ... N
) -onto-> ( 1 ... N )  /\  Fun  `' U ) )
9493simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  ->  Fun  `' U
)
95 imain 5657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' U  ->  ( U
" ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  i^i  ( M ... N
) ) )  =  ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  i^i  ( U " ( M ... N ) ) ) )
961, 94, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U " (
( 1 ... ( M  -  1 ) )  i^i  ( M ... N ) ) )  =  ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  i^i  ( U "
( M ... N
) ) ) )
97 fzdisj 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  -  1 )  <  M  ->  (
( 1 ... ( M  -  1 ) )  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )
9842, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )
9998imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U " (
( 1 ... ( M  -  1 ) )  i^i  ( M ... N ) ) )  =  ( U
" (/) ) )
100 ima0 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U
" (/) )  =  (/)
10199, 100syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U " (
( 1 ... ( M  -  1 ) )  i^i  ( M ... N ) ) )  =  (/) )
10296, 101eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  i^i  ( U " ( M ... N ) ) )  =  (/) )
103 fnun 5680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  Fn  ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  /\  (
( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } )  Fn  ( U
" ( M ... N ) ) )  /\  ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  i^i  ( U " ( M ... N ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) )  Fn  ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  u.  ( U "
( M ... N
) ) ) )
10492, 102, 103sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) )  Fn  ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  u.  ( U "
( M ... N
) ) ) )
105 elfzuz 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10616, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
10757, 106eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
108 peano2zm 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
109 uzid 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )
110 peano2uz 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( ( M  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )
11140, 108, 109, 1104syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
11257, 111eqeltrrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
113 peano2uz 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )
114 uzss 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) )  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( M  - 
1 ) ) )
115112, 113, 1143syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )
116 elfzuz3 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
117 eluzp1p1 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
11816, 116, 1173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
1197, 118eqeltrrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
120115, 119sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
121 fzsplit2 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1 ) ) )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  u.  (
( ( M  - 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
122107, 120, 121syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  u.  ( ( ( M  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
12357oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  1 )  +  1 ) ... N
)  =  ( M ... N ) )
124123uneq2d 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  u.  (
( ( M  - 
1 )  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  u.  ( M ... N ) ) )
125122, 124eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  u.  ( M ... N ) ) )
126125imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U " (
1 ... N ) )  =  ( U "
( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  u.  ( M ... N ) ) ) )
127 imaundi 5247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U
" ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  u.  ( M ... N
) ) )  =  ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  u.  ( U " ( M ... N ) ) )
128126, 127syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U " (
1 ... N ) )  =  ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  u.  ( U " ( M ... N ) ) ) )
129 f1ofo 5819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  ->  U :
( 1 ... N
) -onto-> ( 1 ... N ) )
130 foima 5796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U : ( 1 ... N ) -onto-> ( 1 ... N )  -> 
( U " (
1 ... N ) )  =  ( 1 ... N ) )
1311, 129, 1303syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U " (
1 ... N ) )  =  ( 1 ... N ) )
132128, 131eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  u.  ( U " ( M ... N ) ) )  =  ( 1 ... N ) )
133132fneq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) )  Fn  (
( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) )  u.  ( U "
( M ... N
) ) )  <->  ( (
( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) )  Fn  (
1 ... N ) ) )
134104, 133mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) )  Fn  ( 1 ... N ) )
135134adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) )  Fn  (
1 ... N ) )
136 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( 1 ... N )  e. 
_V )
138 inidm 3640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( 1 ... N
)
139 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T `  n )  =  ( T `  n ) )
140102adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( U " ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  i^i  ( U " ( M ... N ) ) )  =  (/) )
141 fzss2 11835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M ... ( M  +  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
142 imass2 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ... ( M  +  1 ) ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( U " ( M ... ( M  +  1
) ) )  C_  ( U " ( M ... N ) ) )
143119, 141, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ( U "
( M ... N
) ) )
144143sselda 3431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( U " ( M ... N ) ) )
145 fvun2 5935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  Fn  ( U " (
1 ... ( M  - 
1 ) ) )  /\  ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( U "
( M ... N
) )  /\  (
( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  i^i  ( U " ( M ... N ) ) )  =  (/)  /\  n  e.  ( U " ( M ... N ) ) ) )  ->  (
( ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) ) `  n )  =  ( ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) `  n ) )
14688, 91, 145mp3an12 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  i^i  ( U " ( M ... N ) ) )  =  (/)  /\  n  e.  ( U " ( M ... N ) ) )  ->  ( (
( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) `
 n )  =  ( ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) `
 n ) )
147140, 144, 146syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) `
 n )  =  ( ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) `
 n ) )
14889fvconst2 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( U "
( M ... N
) )  ->  (
( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) `  n )  =  0 )
149144, 148syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) `  n )  =  0 )
150147, 149eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) `
 n )  =  0 )
151150adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( U
" ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( M ... N ) )  X. 
{ 0 } ) ) `  n )  =  0 )
15285, 135, 137, 137, 138, 139, 151ofval 6537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( M ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) `  n )  =  ( ( T `  n
)  +  0 ) )
15328, 152mpdan 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( M ... N
) )  X.  {
0 } ) ) ) `  n )  =  ( ( T `
 n )  +  0 ) )
15430zcnd 11038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T `  n )  e.  CC )
155154addid1d 9830 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( T `  n
)  +  0 )  =  ( T `  n ) )
15628, 155syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( T `  n )  +  0 )  =  ( T `  n
) )
15782, 153, 1563eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 n )  =  ( T `  n
) )
158 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  M  ->  (
y  <  M  <->  M  <  M ) )
159 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  M  ->  (
y  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
160158, 159ifbieq2d 3905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  M  ->  if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  =  if ( M  <  M , 
y ,  ( M  +  1 ) ) )
16141ltnrd 9766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  M  <  M
)
162161iffalsed 3891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( M  < 
M ,  y ,  ( M  +  1 ) )  =  ( M  +  1 ) )
163160, 162sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  =  M )  ->  if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  =  ( M  +  1 ) )
164163csbeq1d 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  =  M )  ->  [_ if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )  = 
[_ ( M  + 
1 )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) )
165 ovex 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  +  1 )  e. 
_V
166 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
1 ... j )  =  ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )
167166imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  ( U " ( 1 ... j ) )  =  ( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) ) )
168167xpeq1d 4856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( U " (
1 ... j ) )  X.  { 1 } )  =  ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } ) )
169 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( M  +  1 )  +  1 ) )
170169oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( j  +  1 ) ... N )  =  ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )
171170imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  =  ( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
172171xpeq1d 4856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( U " (
( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } )  =  ( ( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) )
173168, 172uneq12d 3588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ( U "
( 1 ... j
) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( j  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) )  =  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )
174173oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... j
) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( j  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) ) )
175165, 174csbie 3388 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ ( M  +  1 )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... j
) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( j  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) )
176164, 175syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  =  M )  ->  [_ if ( y  <  M ,  y ,  ( y  +  1 ) )  /  j ]_ ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... j ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( j  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) )
177 1eluzge0 11199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
178 fzss1 11834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
179177, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
180179, 16sseldi 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
181 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
182181a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) )  e. 
_V )
18335, 176, 180, 182fvmptd 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) ) )
184183fveq1d 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) `  n
)  =  ( ( T  oF  +  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X. 
{ 0 } ) ) ) `  n
) )
185184adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  M ) `  n )  =  ( ( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) `  n ) )
186 fnconstg 5769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  Fn  ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) ) )
18786, 186ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  Fn  ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )
188 fnconstg 5769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  _V  ->  (
( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } )  Fn  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
18989, 188ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } )  Fn  ( U
" ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )
190187, 189pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  Fn  ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  /\  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } )  Fn  ( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
191 imain 5657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun  `' U  ->  ( U
" ( ( 1 ... ( M  + 
1 ) )  i^i  ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) ) )  =  ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  i^i  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) ) )
1921, 94, 1913syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U " (
( 1 ... ( M  +  1 ) )  i^i  ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  i^i  ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) ) ) )
193 peano2re 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
19441, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
195194ltp1d 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  <  ( ( M  +  1 )  +  1 ) )
196 fzdisj 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  +  1 )  <  ( ( M  +  1 )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( M  +  1 ) )  i^i  ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
197195, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( M  +  1 ) )  i^i  (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
198197imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U " (
( 1 ... ( M  +  1 ) )  i^i  ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  ( U
" (/) ) )
199192, 198eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  i^i  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  ( U " (/) ) )
200199, 100syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  i^i  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  (/) )
201 fnun 5680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  Fn  ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  /\  (
( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } )  Fn  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  i^i  ( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) )  Fn  (
( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  u.  ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) ) ) )
202190, 200, 201sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X. 
{ 0 } ) )  Fn  ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  u.  ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) ) ) )
203 fzsplit 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( M  +  1 ) )  u.  (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
20422, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( ( 1 ... ( M  +  1 ) )  u.  ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
205204imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U " (
1 ... N ) )  =  ( U "
( ( 1 ... ( M  +  1 ) )  u.  (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ) ) )
206 imaundi 5247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U
" ( ( 1 ... ( M  + 
1 ) )  u.  ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) ) )  =  ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  u.  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
207205, 206syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U " (
1 ... N ) )  =  ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  u.  ( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ) ) )
208207, 131eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  u.  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  ( 1 ... N ) )
209208fneq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) )  Fn  (
( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  u.  ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) ) )  <->  ( (
( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) )  Fn  (
1 ... N ) ) )
210202, 209mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X. 
{ 0 } ) )  Fn  ( 1 ... N ) )
211210adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) )  Fn  (
1 ... N ) )
212200adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( U " ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  i^i  ( U " (
( ( M  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  (/) )
213 fzss1 11834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( M ... ( M  +  1 ) )  C_  (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )
214 imass2 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ... ( M  +  1 ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  1 ) )  ->  ( U " ( M ... ( M  +  1
) ) )  C_  ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) ) )
215106, 213, 2143syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) ) )
216215sselda 3431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) ) )
217 fvun1 5934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  Fn  ( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  /\  ( ( U
" ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  /\  (
( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  i^i  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  (/)  /\  n  e.  ( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) ) ) )  ->  (
( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X. 
{ 0 } ) ) `  n )  =  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } ) `  n ) )
218187, 189, 217mp3an12 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  i^i  ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) ) )  =  (/)  /\  n  e.  ( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) `
 n )  =  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } ) `
 n ) )
219212, 216, 218syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) `
 n )  =  ( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } ) `
 n ) )
22086fvconst2 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  ->  (
( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } ) `  n )  =  1 )
221216, 220syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( U " (
1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } ) `  n )  =  1 )
222219, 221eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) `
 n )  =  1 )
223222adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( U
" ( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X. 
{ 1 } )  u.  ( ( U
" ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X. 
{ 0 } ) ) `  n )  =  1 )
22485, 211, 137, 137, 138, 139, 223ofval 6537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( T  oF  +  ( ( ( U " ( 1 ... ( M  + 
1 ) ) )  X.  { 1 } )  u.  ( ( U " ( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  X.  { 0 } ) ) ) `  n )  =  ( ( T `  n
)  +  1 ) )
22528, 224mpdan 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( T  oF  +  ( ( ( U "
( 1 ... ( M  +  1 ) ) )  X.  {
1 } )  u.  ( ( U "
( ( ( M  +  1 )  +  1 ) ... N
) )  X.  {
0 } ) ) ) `  n )  =  ( ( T `
 n )  +  1 ) )
226185, 225eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  M ) `  n )  =  ( ( T `  n
)  +  1 ) )
22734, 157, 2263netr4d 2700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 n )  =/=  ( ( F `  M ) `  n
) )
228227ralrimiva 2801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n ) )
229 fzpr 11848 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
1 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) } )
23016, 39, 2293syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( M  +  1 ) )  =  { M ,  ( M  + 
1 ) } )
231230imaeq2d 5167 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) )  =  ( U " { M ,  ( M  +  1 ) } ) )
232 f1ofn 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  ->  U  Fn  ( 1 ... N
) )
2331, 232syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  Fn  ( 1 ... N ) )
234 fnimapr 5927 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  Fn  ( 1 ... N )  /\  M  e.  ( 1 ... N )  /\  ( M  +  1
)  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( U " { M ,  ( M  +  1 ) } )  =  { ( U `  M ) ,  ( U `  ( M  +  1
) ) } )
235233, 17, 22, 234syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U " { M ,  ( M  +  1 ) } )  =  { ( U `  M ) ,  ( U `  ( M  +  1
) ) } )
236231, 235eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) )  =  { ( U `
 M ) ,  ( U `  ( M  +  1 ) ) } )
237236raleqdv 2992 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( U " ( M ... ( M  + 
1 ) ) ) ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n )  <->  A. n  e.  { ( U `  M ) ,  ( U `  ( M  +  1 ) ) }  ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )
) )
238228, 237mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  {
( U `  M
) ,  ( U `
 ( M  + 
1 ) ) }  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n ) )
239 fvex 5873 . . . . 5  |-  ( U `
 M )  e. 
_V
240 fvex 5873 . . . . 5  |-  ( U `
 ( M  + 
1 ) )  e. 
_V
241 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( U `  M )  ->  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =  ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  M ) ) )
242 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( U `  M )  ->  (
( F `  M
) `  n )  =  ( ( F `
 M ) `  ( U `  M ) ) )
243241, 242neeq12d 2684 . . . . 5  |-  ( n  =  ( U `  M )  ->  (
( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n )  <->  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 ( U `  M ) )  =/=  ( ( F `  M ) `  ( U `  M )
) ) )
244 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =  ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) )
245 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( F `  M
) `  n )  =  ( ( F `
 M ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) )
246244, 245neeq12d 2684 . . . . 5  |-  ( n  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n )  <->  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 ( U `  ( M  +  1
) ) )  =/=  ( ( F `  M ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
247239, 240, 243, 246ralpr 4024 . . . 4  |-  ( A. n  e.  { ( U `  M ) ,  ( U `  ( M  +  1
) ) }  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  <->  ( (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  ( U `
 M ) )  =/=  ( ( F `
 M ) `  ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 ( U `  ( M  +  1
) ) )  =/=  ( ( F `  M ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
248238, 247sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  M ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  ( M  +  1
) ) ) ) )
24941ltp1d 10534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
25041, 249ltned 9768 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =/=  ( M  +  1 ) )
251 f1of1 5811 . . . . . . 7  |-  ( U : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
)  ->  U :
( 1 ... N
) -1-1-> ( 1 ... N ) )
2521, 251syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... N ) -1-1-> ( 1 ... N ) )
253 f1veqaeq 6159 . . . . . 6  |-  ( ( U : ( 1 ... N ) -1-1-> ( 1 ... N )  /\  ( M  e.  ( 1 ... N
)  /\  ( M  +  1 )  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( U `  M )  =  ( U `  ( M  +  1 ) )  ->  M  =  ( M  +  1 ) ) )
254252, 17, 22, 253syl12anc 1265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U `  M )  =  ( U `  ( M  +  1 ) )  ->  M  =  ( M  +  1 ) ) )
255254necon3d 2644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  =/=  ( M  +  1 )  ->  ( U `  M )  =/=  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) )
256250, 255mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  M
)  =/=  ( U `
 ( M  + 
1 ) ) )
257243anbi1d 710 . . . . 5  |-  ( n  =  ( U `  M )  ->  (
( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  <-> 
( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  M ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) ) ) )
258 neeq1 2685 . . . . 5  |-  ( n  =  ( U `  M )  ->  (
n  =/=  m  <->  ( U `  M )  =/=  m
) )
259257, 258anbi12d 716 . . . 4  |-  ( n  =  ( U `  M )  ->  (
( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 n )  =/=  ( ( F `  M ) `  n
)  /\  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 m )  =/=  ( ( F `  M ) `  m
) )  /\  n  =/=  m )  <->  ( (
( ( F `  ( M  -  1
) ) `  ( U `  M )
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  /\  ( U `  M )  =/=  m
) ) )
260 fveq2 5863 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =  ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) )
261 fveq2 5863 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( F `  M
) `  m )  =  ( ( F `
 M ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) )
262260, 261neeq12d 2684 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m )  <->  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 ( U `  ( M  +  1
) ) )  =/=  ( ( F `  M ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
263262anbi2d 709 . . . . 5  |-  ( m  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  M ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  <-> 
( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  M ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
264 neeq2 2686 . . . . 5  |-  ( m  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( U `  M
)  =/=  m  <->  ( U `  M )  =/=  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) )
265263, 264anbi12d 716 . . . 4  |-  ( m  =  ( U `  ( M  +  1
) )  ->  (
( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 ( U `  M ) )  =/=  ( ( F `  M ) `  ( U `  M )
)  /\  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 m )  =/=  ( ( F `  M ) `  m
) )  /\  ( U `  M )  =/=  m )  <->  ( (
( ( F `  ( M  -  1
) ) `  ( U `  M )
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  ( M  +  1
) ) ) )  /\  ( U `  M )  =/=  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
266259, 265rspc2ev 3160 . . 3  |-  ( ( ( U `  M
)  e.  ( 1 ... N )  /\  ( U `  ( M  +  1 ) )  e.  ( 1 ... N )  /\  (
( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( U `  M ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  M ) )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  ( U `  ( M  +  1 ) ) )  =/=  ( ( F `  M ) `
 ( U `  ( M  +  1
) ) ) )  /\  ( U `  M )  =/=  ( U `  ( M  +  1 ) ) ) )  ->  E. n  e.  ( 1 ... N
) E. m  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  /\  n  =/=  m ) )
26718, 23, 248, 256, 266syl112anc 1271 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  ( 1 ... N ) E. m  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 n )  =/=  ( ( F `  M ) `  n
)  /\  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 m )  =/=  ( ( F `  M ) `  m
) )  /\  n  =/=  m ) )
268 dfrex2 2837 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( 1 ... N ) E. m  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  /\  n  =/=  m
)  <->  -.  A. n  e.  ( 1 ... N
)  -.  E. m  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  /\  n  =/=  m ) )
269 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =  ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  m ) )
270 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  M
) `  n )  =  ( ( F `
 M ) `  m ) )
271269, 270neeq12d 2684 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n )  <->  ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `
 m )  =/=  ( ( F `  M ) `  m
) ) )
272271rmo4 3230 . . . 4  |-  ( E* n  e.  ( 1 ... N ) ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  <->  A. n  e.  ( 1 ... N
) A. m  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  ->  n  =  m )
)
273 dfral2 2834 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  ->  n  =  m )  <->  -.  E. m  e.  ( 1 ... N
)  -.  ( ( ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  ->  n  =  m ) )
274 df-ne 2623 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =/=  m  <->  -.  n  =  m )
275274anbi2i 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  /\  n  =/=  m
)  <->  ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  /\  -.  n  =  m
) )
276 annim 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  /\  -.  n  =  m )  <->  -.  (
( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  ->  n  =  m ) )
277275, 276bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  /\  n  =/=  m
)  <->  -.  ( (
( ( F `  ( M  -  1
) ) `  n
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  ->  n  =  m ) )
278277rexbii 2888 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  /\  n  =/=  m
)  <->  E. m  e.  ( 1 ... N )  -.  ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  ->  n  =  m )
)
279273, 278xchbinxr 313 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  ->  n  =  m )  <->  -.  E. m  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  /\  n  =/=  m ) )
280279ralbii 2818 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... N ) A. m  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  ->  n  =  m )  <->  A. n  e.  ( 1 ... N )  -.  E. m  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  /\  n  =/=  m ) )
281272, 280bitri 253 . . 3  |-  ( E* n  e.  ( 1 ... N ) ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  <->  A. n  e.  ( 1 ... N
)  -.  E. m  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( F `  ( M  -  1 ) ) `  n )  =/=  ( ( F `
 M ) `  n )  /\  (
( F `  ( M  -  1 ) ) `  m )  =/=  ( ( F `
 M ) `  m ) )  /\  n  =/=  m ) )
282268, 281xchbinxr 313 . 2  |-  ( E. n  e.  ( 1 ... N ) E. m  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )  /\  ( ( F `  ( M  -  1
) ) `  m
)  =/=  ( ( F `  M ) `
 m ) )  /\  n  =/=  m
)  <->  -.  E* n  e.  ( 1 ... N
) ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )
)
283267, 282sylib 200 1  |-  ( ph  ->  -.  E* n  e.  ( 1 ... N
) ( ( F `
 ( M  - 
1 ) ) `  n )  =/=  (
( F `  M
) `  n )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   E*wrmo 2739   _Vcvv 3044   [_csb 3362    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831   `'ccnv 4832   ran crn 4834   "cima 4836   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -onto->wfo 5579   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    oFcof 6526   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    - cmin 9857   NNcn 10606   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782
This theorem is referenced by:  poimirlem8  31941  poimirlem18  31951  poimirlem21  31954  poimirlem22  31955
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