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Theorem pockthlem 14271
Description: Lemma for pockthg 14272. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
pockthg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
pockthg.3  |-  ( ph  ->  B  <  A )
pockthg.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
pockthlem.5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pockthlem.6  |-  ( ph  ->  P  ||  N )
pockthlem.7  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
pockthlem.8  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN )
pockthlem.9  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
pockthlem.10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
pockthlem.11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
pockthlem  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) ) )

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
2 pockthg.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3 pcdvds 14235 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  A
)
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  A )
52nnzd 10954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
6 pockthg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
76nnzd 10954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
8 dvdsmul1 13855 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
95, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
10 pockthg.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
1110oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( ( A  x.  B
)  +  1 )  -  1 ) )
122, 6nnmulcld 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
1312nncnd 10541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
14 ax-1cn 9539 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
15 pncan 9815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  1 )  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  1 )  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
1711, 16eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
189, 17breqtrrd 4466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  ||  ( N  -  1 ) )
19 prmnn 14068 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
201, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
21 pockthlem.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN )
2221nnnn0d 10841 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN0 )
2320, 22nnexpcld 12286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  NN )
2423nnzd 10954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ )
25 1z 10883 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
26 nnuz 11106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2712, 26syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
28 eluzp1p1 11096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
3010, 29eqeltrd 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
31 eluzp1m1 11094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3225, 30, 31sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3332, 26syl6eleqr 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
3433nnzd 10954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
35 dvdstr 13867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  A  /\  A  ||  ( N  -  1 ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 ) ) )
3624, 5, 34, 35syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  A  /\  A  ||  ( N  -  1 ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 ) ) )
374, 18, 36mp2and 679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( N  - 
1 ) )
3823nnne0d 10569 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  =/=  0 )
39 dvdsval2 13839 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ ) )
4024, 38, 34, 39syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ ) )
4137, 40mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
42 pockthlem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
43 prmnn 14068 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
45 pockthlem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4644nnzd 10954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
47 gcddvds 14001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  P ) )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  P ) )
4948simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  C )
5048simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  P )
51 pockthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  N )
5245, 46gcdcld 14004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  NN0 )
5352nn0zd 10953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  ZZ )
54 df-2 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5554fveq2i 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
5630, 55syl6eleqr 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
57 eluz2b2 11143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
5958simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6059nnzd 10954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
61 dvdstr 13867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  gcd  P
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  gcd  P )  ||  P  /\  P  ||  N )  -> 
( C  gcd  P
)  ||  N )
)
6253, 46, 60, 61syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  P )  ||  P  /\  P  ||  N
)  ->  ( C  gcd  P )  ||  N
) )
6350, 51, 62mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  N )
6459nnne0d 10569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
6665necon3ai 2688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0
) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) )
68 dvdslegcd 14002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  gcd  P )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0
) )  ->  (
( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  N )  -> 
( C  gcd  P
)  <_  ( C  gcd  N ) ) )
6953, 45, 60, 67, 68syl31anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P )  ||  N )  ->  ( C  gcd  P )  <_  ( C  gcd  N ) ) )
7049, 63, 69mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  <_  ( C  gcd  N ) )
71 pockthlem.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
7271oveq1d 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( 1  gcd  N ) )
7333nnnn0d 10841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
74 zexpcl 12137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
7545, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
76 modgcd 14022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  gcd  N ) )
7775, 59, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  gcd  N ) )
78 gcdcom 14006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  gcd  N
)  =  ( N  gcd  1 ) )
7925, 60, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  gcd  N
)  =  ( N  gcd  1 ) )
80 gcd1 14018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  1 )  =  1 )
8160, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  1
)  =  1 )
8279, 81eqtrd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  gcd  N
)  =  1 )
8372, 77, 823eqtr3d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  gcd  N
)  =  1 )
84 rpexp 14109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  NN )  -> 
( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  gcd 
N )  =  1  <-> 
( C  gcd  N
)  =  1 ) )
8545, 60, 33, 84syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  gcd 
N )  =  1  <-> 
( C  gcd  N
)  =  1 ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  N
)  =  1 )
8770, 86breqtrd 4464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  <_  1 )
8844nnne0d 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
89 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  =  0  /\  P  =  0 )  ->  P  =  0 )
9089necon3ai 2688 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =/=  0  ->  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0
) )
9188, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0 ) )
92 gcdn0cl 14000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0 ) )  ->  ( C  gcd  P )  e.  NN )
9345, 46, 91, 92syl21anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  NN )
94 nnle1eq1 10553 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  gcd  P )  e.  NN  ->  (
( C  gcd  P
)  <_  1  <->  ( C  gcd  P )  =  1 ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  P )  <_  1  <->  ( C  gcd  P )  =  1 ) )
9687, 95mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  =  1 )
97 odzcl 14168 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  ->  (
( odZ `  P ) `  C
)  e.  NN )
9844, 45, 96, 97syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  e.  NN )
9998nnzd 10954 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  e.  ZZ )
10059nnred 10540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
10158simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
102 1mod 11984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( 1  mod  N
)  =  1 )
103100, 101, 102syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  mod  N
)  =  1 )
10471, 103eqtr4d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N ) )
105 1zzd 10884 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
106 moddvds 13843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N )  <->  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
10759, 75, 105, 106syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  - 
1 ) ) )
108104, 107mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  ||  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
109 peano2zm 10895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
11075, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
111 dvdstr 13867 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  N  /\  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
11246, 60, 110, 111syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  N  /\  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
11351, 108, 112mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
114 odzdvds 14170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) ) )
11544, 45, 96, 73, 114syl31anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) ) )
116113, 115mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) )
11733nncnd 10541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
11823nncnd 10541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  CC )
119117, 118, 38divcan1d 10310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  =  ( N  -  1 ) )
120116, 119breqtrrd 4466 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) ) )
121 nprmdvds1 14100 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
12242, 121syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
12320nnzd 10954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
124 iddvdsexp 13857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  ( Q  pCnt  A )  e.  NN )  ->  Q  ||  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )
125123, 21, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  ||  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )
126 dvdstr 13867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( Q  ||  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  /\  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1 ) )  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) ) )
127123, 24, 34, 126syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  ||  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /\  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1
) )  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) ) )
128125, 37, 127mp2and 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) )
12920nnne0d 10569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  =/=  0 )
130 dvdsval2 13839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  Q  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( Q  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ ) )
131123, 129, 34, 130syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ ) )
132128, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ )
13373nn0ge0d 10844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
13433nnred 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
13520nnred 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
13620nngt0d 10568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  Q )
137 ge0div 10398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  Q  e.  RR  /\  0  <  Q )  ->  (
0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
138134, 135, 136, 137syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
139133, 138mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) )
140 elnn0z 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  Q )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  1 )  /  Q )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  Q
) ) )
141132, 139, 140sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )
142 zexpcl 12137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )  ->  ( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ )
14345, 141, 142syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ )
144 peano2zm 10895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ  ->  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  e.  ZZ )
145143, 144syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  e.  ZZ )
146 dvdsgcd 14029 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( P  ||  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  /\  P  ||  N )  ->  P  ||  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
) ) )
14746, 145, 60, 146syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  /\  P  ||  N )  ->  P  ||  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
) ) )
14851, 147mpan2d 674 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  gcd  N ) ) )
149 odzdvds 14170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  /\  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
15044, 45, 96, 141, 149syl31anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
15120nncnd 10541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
15221nnzd 10954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  ZZ )
153151, 129, 152expm1d 12275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /  Q ) )
154153oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( ( Q 
pCnt  A )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /  Q ) ) )
155134, 23nndivred 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  RR )
156155recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  CC )
157156, 118, 151, 129divassd 10344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /  Q )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  /  Q
) ) )
158119oveq1d 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /  Q )  =  ( ( N  -  1 )  /  Q ) )
159154, 157, 1583eqtr2d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( ( Q 
pCnt  A )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  - 
1 )  /  Q
) )
160159breq2d 4452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( odZ `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) )  <->  ( ( odZ `  P ) `
 C )  ||  ( ( N  - 
1 )  /  Q
) ) )
161150, 160bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) ) )
162 pockthlem.11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
163162breq2d 4452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  gcd  N )  <-> 
P  ||  1 ) )
164148, 161, 1633imtr3d 267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( odZ `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) )  ->  P  ||  1 ) )
165122, 164mtod 177 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( ( odZ `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) )
166 prmpwdvds 14270 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( odZ `  P ) `  C
)  e.  ZZ )  /\  ( Q  e. 
Prime  /\  ( Q  pCnt  A )  e.  NN )  /\  ( ( ( odZ `  P
) `  C )  ||  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /\  -.  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  (
( odZ `  P ) `  C
) )
16741, 99, 1, 21, 120, 165, 166syl222anc 1239 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( ( odZ `  P ) `  C ) )
168 odzphi 14171 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  ->  (
( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( phi `  P ) )
16944, 45, 96, 168syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( phi `  P ) )
170 phiprm 14155 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
17142, 170syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( phi `  P
)  =  ( P  -  1 ) )
172169, 171breqtrd 4464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( P  -  1 ) )
173 prmuz2 14083 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
17442, 173syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
175174, 55syl6eleq 2558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
176 eluzp1m1 11094 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
17725, 175, 176sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
178177, 26syl6eleqr 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
179178nnzd 10954 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
180 dvdstr 13867 . . . 4  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  (
( odZ `  P ) `  C
)  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  ||  ( ( odZ `  P ) `  C
)  /\  ( ( odZ `  P ) `
 C )  ||  ( P  -  1
) )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
18124, 99, 179, 180syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  (
( odZ `  P ) `  C
)  /\  ( ( odZ `  P ) `
 C )  ||  ( P  -  1
) )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
182167, 172, 181mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( P  - 
1 ) )
183 pcdvdsb 14240 . . 3  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( Q  pCnt  A )  e. 
NN0 )  ->  (
( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) )  <->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
1841, 179, 22, 183syl3anc 1223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  pCnt  A )  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) )  <->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
185182, 184mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071    mod cmo 11952   ^cexp 12122    || cdivides 13836    gcd cgcd 13992   Primecprime 14065   odZcodz 14141   phicphi 14142    pCnt cpc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-odz 14143  df-phi 14144  df-pc 14209
This theorem is referenced by:  pockthg  14272
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