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Theorem pockthlem 14522
Description: Lemma for pockthg 14523. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
pockthg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
pockthg.3  |-  ( ph  ->  B  <  A )
pockthg.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
pockthlem.5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pockthlem.6  |-  ( ph  ->  P  ||  N )
pockthlem.7  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
pockthlem.8  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN )
pockthlem.9  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
pockthlem.10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
pockthlem.11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
pockthlem  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) ) )

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
2 pockthg.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3 pcdvds 14486 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  A
)
41, 2, 3syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  A )
52nnzd 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
6 pockthg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
76nnzd 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
8 dvdsmul1 14104 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
95, 7, 8syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
10 pockthg.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
1110oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( ( A  x.  B
)  +  1 )  -  1 ) )
122, 6nnmulcld 10542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
1312nncnd 10510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
14 ax-1cn 9498 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
15 pncan 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  1 )  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
1613, 14, 15sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  1 )  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
1711, 16eqtrd 2441 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
189, 17breqtrrd 4418 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  ||  ( N  -  1 ) )
19 prmnn 14319 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
201, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
21 pockthlem.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN )
2221nnnn0d 10811 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN0 )
2320, 22nnexpcld 12283 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  NN )
2423nnzd 10925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ )
25 1z 10853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
26 nnuz 11078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2712, 26syl6eleq 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
28 eluzp1p1 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
3010, 29eqeltrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
31 eluzp1m1 11066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3225, 30, 31sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3332, 26syl6eleqr 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
3433nnzd 10925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
35 dvdstr 14117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  A  /\  A  ||  ( N  -  1 ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 ) ) )
3624, 5, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  A  /\  A  ||  ( N  -  1 ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 ) ) )
374, 18, 36mp2and 677 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( N  - 
1 ) )
3823nnne0d 10539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  =/=  0 )
39 dvdsval2 14088 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ ) )
4024, 38, 34, 39syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ ) )
4137, 40mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
42 pockthlem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
43 prmnn 14319 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4442, 43syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
45 pockthlem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4644nnzd 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
47 gcddvds 14252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  P ) )
4845, 46, 47syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  P ) )
4948simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  C )
5048simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  P )
51 pockthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  N )
5245, 46gcdcld 14255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  NN0 )
5352nn0zd 10924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  ZZ )
54 df-2 10553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5554fveq2i 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
5630, 55syl6eleqr 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
57 eluz2b2 11115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
5958simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6059nnzd 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
61 dvdstr 14117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  gcd  P
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  gcd  P )  ||  P  /\  P  ||  N )  -> 
( C  gcd  P
)  ||  N )
)
6253, 46, 60, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  P )  ||  P  /\  P  ||  N
)  ->  ( C  gcd  P )  ||  N
) )
6350, 51, 62mp2and 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  N )
6459nnne0d 10539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
65 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
6665necon3ai 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0
) )
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) )
68 dvdslegcd 14253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  gcd  P )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0
) )  ->  (
( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  N )  -> 
( C  gcd  P
)  <_  ( C  gcd  N ) ) )
6953, 45, 60, 67, 68syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P )  ||  N )  ->  ( C  gcd  P )  <_  ( C  gcd  N ) ) )
7049, 63, 69mp2and 677 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  <_  ( C  gcd  N ) )
71 pockthlem.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
7271oveq1d 6247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( 1  gcd  N ) )
7333nnnn0d 10811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
74 zexpcl 12133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
7545, 73, 74syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
76 modgcd 14273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  gcd  N ) )
7775, 59, 76syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  gcd  N ) )
78 gcdcom 14257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  gcd  N
)  =  ( N  gcd  1 ) )
7925, 60, 78sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  gcd  N
)  =  ( N  gcd  1 ) )
80 gcd1 14269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  1 )  =  1 )
8160, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  1
)  =  1 )
8279, 81eqtrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  gcd  N
)  =  1 )
8372, 77, 823eqtr3d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  gcd  N
)  =  1 )
84 rpexp 14360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  NN )  -> 
( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  gcd 
N )  =  1  <-> 
( C  gcd  N
)  =  1 ) )
8545, 60, 33, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  gcd 
N )  =  1  <-> 
( C  gcd  N
)  =  1 ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  N
)  =  1 )
8770, 86breqtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  <_  1 )
8844nnne0d 10539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
89 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  =  0  /\  P  =  0 )  ->  P  =  0 )
9089necon3ai 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =/=  0  ->  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0
) )
9188, 90syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0 ) )
92 gcdn0cl 14251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0 ) )  ->  ( C  gcd  P )  e.  NN )
9345, 46, 91, 92syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  NN )
94 nnle1eq1 10522 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  gcd  P )  e.  NN  ->  (
( C  gcd  P
)  <_  1  <->  ( C  gcd  P )  =  1 ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  P )  <_  1  <->  ( C  gcd  P )  =  1 ) )
9687, 95mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  =  1 )
97 odzcl 14419 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  ->  (
( odZ `  P ) `  C
)  e.  NN )
9844, 45, 96, 97syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  e.  NN )
9998nnzd 10925 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  e.  ZZ )
10059nnred 10509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
10158simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
102 1mod 11978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( 1  mod  N
)  =  1 )
103100, 101, 102syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  mod  N
)  =  1 )
10471, 103eqtr4d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N ) )
105 1zzd 10854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
106 moddvds 14092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N )  <->  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
10759, 75, 105, 106syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  - 
1 ) ) )
108104, 107mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  ||  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
109 peano2zm 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
11075, 109syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
111 dvdstr 14117 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  N  /\  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
11246, 60, 110, 111syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  N  /\  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
11351, 108, 112mp2and 677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
114 odzdvds 14421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) ) )
11544, 45, 96, 73, 114syl31anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) ) )
116113, 115mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) )
11733nncnd 10510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
11823nncnd 10510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  CC )
119117, 118, 38divcan1d 10280 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  =  ( N  -  1 ) )
120116, 119breqtrrd 4418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) ) )
121 nprmdvds1 14351 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
12242, 121syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
12320nnzd 10925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
124 iddvdsexp 14106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  ( Q  pCnt  A )  e.  NN )  ->  Q  ||  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )
125123, 21, 124syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  ||  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )
126 dvdstr 14117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( Q  ||  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  /\  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1 ) )  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) ) )
127123, 24, 34, 126syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  ||  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /\  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1
) )  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) ) )
128125, 37, 127mp2and 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) )
12920nnne0d 10539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  =/=  0 )
130 dvdsval2 14088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  Q  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( Q  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ ) )
131123, 129, 34, 130syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ ) )
132128, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ )
13373nn0ge0d 10814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
13433nnred 10509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
13520nnred 10509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
13620nngt0d 10538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  Q )
137 ge0div 10368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  Q  e.  RR  /\  0  <  Q )  ->  (
0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
138134, 135, 136, 137syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
139133, 138mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) )
140 elnn0z 10836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  Q )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  1 )  /  Q )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  Q
) ) )
141132, 139, 140sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )
142 zexpcl 12133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )  ->  ( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ )
14345, 141, 142syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ )
144 peano2zm 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ  ->  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  e.  ZZ )
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  e.  ZZ )
146 dvdsgcd 14280 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( P  ||  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  /\  P  ||  N )  ->  P  ||  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
) ) )
14746, 145, 60, 146syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  /\  P  ||  N )  ->  P  ||  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
) ) )
14851, 147mpan2d 672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  gcd  N ) ) )
149 odzdvds 14421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  /\  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
15044, 45, 96, 141, 149syl31anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
15120nncnd 10510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
15221nnzd 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  ZZ )
153151, 129, 152expm1d 12272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /  Q ) )
154153oveq2d 6248 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( ( Q 
pCnt  A )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /  Q ) ) )
155134, 23nndivred 10543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  RR )
156155recnd 9570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  CC )
157156, 118, 151, 129divassd 10314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /  Q )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  /  Q
) ) )
158119oveq1d 6247 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /  Q )  =  ( ( N  -  1 )  /  Q ) )
159154, 157, 1583eqtr2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( ( Q 
pCnt  A )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  - 
1 )  /  Q
) )
160159breq2d 4404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( odZ `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) )  <->  ( ( odZ `  P ) `
 C )  ||  ( ( N  - 
1 )  /  Q
) ) )
161150, 160bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) ) )
162 pockthlem.11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
163162breq2d 4404 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  gcd  N )  <-> 
P  ||  1 ) )
164148, 161, 1633imtr3d 267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( odZ `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) )  ->  P  ||  1 ) )
165122, 164mtod 177 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( ( odZ `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) )
166 prmpwdvds 14521 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( odZ `  P ) `  C
)  e.  ZZ )  /\  ( Q  e. 
Prime  /\  ( Q  pCnt  A )  e.  NN )  /\  ( ( ( odZ `  P
) `  C )  ||  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /\  -.  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  (
( odZ `  P ) `  C
) )
16741, 99, 1, 21, 120, 165, 166syl222anc 1244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( ( odZ `  P ) `  C ) )
168 odzphi 14422 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  ->  (
( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( phi `  P ) )
16944, 45, 96, 168syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( phi `  P ) )
170 phiprm 14406 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
17142, 170syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( phi `  P
)  =  ( P  -  1 ) )
172169, 171breqtrd 4416 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( odZ `  P ) `  C
)  ||  ( P  -  1 ) )
173 prmuz2 14334 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
17442, 173syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
175174, 55syl6eleq 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
176 eluzp1m1 11066 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
17725, 175, 176sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
178177, 26syl6eleqr 2499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
179178nnzd 10925 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
180 dvdstr 14117 . . . 4  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  (
( odZ `  P ) `  C
)  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  ||  ( ( odZ `  P ) `  C
)  /\  ( ( odZ `  P ) `
 C )  ||  ( P  -  1
) )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
18124, 99, 179, 180syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  (
( odZ `  P ) `  C
)  /\  ( ( odZ `  P ) `
 C )  ||  ( P  -  1
) )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
182167, 172, 181mp2and 677 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( P  - 
1 ) )
183 pcdvdsb 14491 . . 3  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( Q  pCnt  A )  e. 
NN0 )  ->  (
( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) )  <->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
1841, 179, 22, 183syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  pCnt  A )  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) )  <->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
185182, 184mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    x. cmul 9445    < clt 9576    <_ cle 9577    - cmin 9759    / cdiv 10165   NNcn 10494   2c2 10544   NN0cn0 10754   ZZcz 10823   ZZ>=cuz 11043    mod cmo 11945   ^cexp 12118    || cdvds 14085    gcd cgcd 14243   Primecprime 14316   odZcodz 14392   phicphi 14393    pCnt cpc 14459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-dvds 14086  df-gcd 14244  df-prm 14317  df-odz 14394  df-phi 14395  df-pc 14460
This theorem is referenced by:  pockthg  14523
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