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Theorem pockthg 14069
Description: The generalized Pocklington's theorem. If  N  -  1  =  A  x.  B where  B  <  A, then  N is prime if and only if for every prime factor  p of  A, there is an  x such that  x ^ ( N  -  1 )  =  1 (  mod 
N ) and  gcd  ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p )  -  1 ,  N )  =  1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
pockthg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
pockthg.3  |-  ( ph  ->  B  <  A )
pockthg.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
pockthg.5  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
pockthg  |-  ( ph  ->  N  e.  Prime )
Distinct variable groups:    x, p, N    A, p, x    ph, p, x
Allowed substitution hints:    B( x, p)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
2 pockthg.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3 pockthg.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
42, 3nnmulcld 10470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
5 nnuz 10997 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5syl6eleq 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
7 eluzp1p1 10987 . . . . 5  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
9 df-2 10481 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
109fveq2i 5792 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
118, 10syl6eleqr 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
121, 11eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
13 eluzelre 10972 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  N  e.  RR )
162nnred 10438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1716resqcld 12135 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  RR )
19 prmnn 13868 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
q  e.  NN )
2120nnred 10438 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
q  e.  RR )
2221resqcld 12135 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( q ^ 2 )  e.  RR )
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  <  A )
243nnred 10438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
252nngt0d 10466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
26 ltmul2 10281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( B  <  A  <->  ( A  x.  B )  <  ( A  x.  A ) ) )
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  <  A  <->  ( A  x.  B )  <  ( A  x.  A ) ) )
2823, 27mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  <  ( A  x.  A ) )
292, 2nnmulcld 10470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  A
)  e.  NN )
30 nnltp1le 10801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  NN  /\  ( A  x.  A
)  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  B )  < 
( A  x.  A
)  <->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  <_  ( A  x.  A )
) )
314, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  <  ( A  x.  A )  <->  ( ( A  x.  B
)  +  1 )  <_  ( A  x.  A ) ) )
3228, 31mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  <_  ( A  x.  A ) )
332nncnd 10439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3433sqvald 12106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
3532, 1, 343brtr4d 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  <_  ( A ^ 2 ) )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  N  <_  ( A ^
2 ) )
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
39 prmnn 13868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  e.  NN )
4140nncnd 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  e.  CC )
4241exp1d 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( p ^ 1 )  =  p )
43 nnge1 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  pCnt  A )  e.  NN  ->  1  <_  ( p  pCnt  A )
)
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  1  <_  ( p  pCnt  A )
)
45 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  e.  Prime )
462nnzd 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  A  e.  ZZ )
48 1nn0 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  1  e.  NN0 )
50 pcdvdsb 14037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  1  e. 
NN0 )  ->  (
1  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
5145, 47, 49, 50syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( 1  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^
1 )  ||  A
) )
5244, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )
5342, 52eqbrtrrd 4412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  ||  A
)
54 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  ph )
5554, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  A  e.  NN )
5654, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  B  e.  NN )
5754, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  B  <  A )
5854, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
59 simpl2l 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
q  e.  Prime )
60 simpl2r 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
q  ||  N )
61 simpl3l 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  p  e.  Prime )
62 simpl3r 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
64 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( ( x ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
65 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 14068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) )
6766rexlimdvaa 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ (
( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
68673expa 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  (
( ( x ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )  ->  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
6953, 68embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( (
p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  (
( ( x ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 ) )  ->  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
7069expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  e.  NN  ->  ( ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) ) )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
72 prmuz2 13883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
73 uz2m1nn 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( q  -  1 )  e.  NN )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( q  -  1 )  e.  NN )
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( q  -  1 )  e.  NN )
76 pccl 14018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
q  -  1 )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
q  -  1 ) )  e.  NN0 )
7771, 75, 76syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
q  -  1 ) )  e.  NN0 )
7877nn0ge0d 10740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) )
79 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  pCnt  A )  =  0  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) )  <->  0  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
8078, 79syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  =  0  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
8180a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  =  0  -> 
( ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) ) )
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
832ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  NN )
8482, 83pccld 14019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
85 elnn0 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  pCnt  A )  e.  NN0  <->  ( ( p 
pCnt  A )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  A
)  =  0 ) )
8684, 85sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  A )  =  0 ) )
8770, 81, 86mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
8887ralimdva 2824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) )
9046adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  e.  ZZ )
9175nnzd 10847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( q  -  1 )  e.  ZZ )
92 pc2dvds 14047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( q  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( q  -  1 )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
9390, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  ||  (
q  -  1 )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
9489, 93mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  ||  ( q  - 
1 ) )
95 dvdsle 13680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( q  -  1 )  e.  NN )  ->  ( A  ||  ( q  -  1 )  ->  A  <_  ( q  -  1 ) ) )
9690, 75, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  ||  (
q  -  1 )  ->  A  <_  (
q  -  1 ) ) )
9794, 96mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  <_  ( q  - 
1 ) )
982nnnn0d 10737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
9998adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  e.  NN0 )
10020nnnn0d 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
q  e.  NN0 )
101 nn0ltlem1 10805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  q  e.  NN0 )  -> 
( A  <  q  <->  A  <_  ( q  - 
1 ) ) )
10299, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  <  q  <->  A  <_  ( q  - 
1 ) ) )
10397, 102mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  <  q )
10416adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  e.  RR )
10598nn0ge0d 10740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
106105adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
0  <_  A )
107100nn0ge0d 10740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
0  <_  q )
108104, 21, 106, 107lt2sqd 12143 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  <  q  <->  ( A ^ 2 )  <  ( q ^
2 ) ) )
109103, 108mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A ^ 2 )  <  ( q ^ 2 ) )
11015, 18, 22, 36, 109lelttrd 9630 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  N  <  ( q ^
2 ) )
11115, 22ltnled 9622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( N  <  (
q ^ 2 )  <->  -.  ( q ^ 2 )  <_  N )
)
112110, 111mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  -.  ( q ^ 2 )  <_  N )
113112expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  ||  N  ->  -.  (
q ^ 2 )  <_  N ) )
114113con2d 115 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Prime )  ->  ( (
q ^ 2 )  <_  N  ->  -.  q  ||  N ) )
115114ralrimiva 2822 . 2  |-  ( ph  ->  A. q  e.  Prime  ( ( q ^ 2 )  <_  N  ->  -.  q  ||  N ) )
116 isprm5 13900 . 2  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. q  e.  Prime  ( ( q ^ 2 )  <_  N  ->  -.  q  ||  N ) ) )
11712, 115, 116sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  N  e.  Prime )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696    / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962    mod cmo 11809   ^cexp 11966    || cdivides 13637    gcd cgcd 13792   Primecprime 13865    pCnt cpc 14005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-dvds 13638  df-gcd 13793  df-prm 13866  df-odz 13942  df-phi 13943  df-pc 14006
This theorem is referenced by:  pockthi  14070
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