Theorem pockthg 14435

Description: The generalized Pocklington's theorem. If N - 1 = A x. B where B < A, then N is prime if and only if for every prime factor p of A, there is an x such that x ^ ( N - 1 ) = 1 ( mod N ) and gcd ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) - 1 , N ) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthg.1	|- ( ph -> A e. NN )
pockthg.2	|- ( ph -> B e. NN )
pockthg.3	|- ( ph -> B < A )
pockthg.4	|- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
pockthg.5	|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pockthg	|- ( ph -> N e. Prime )

Distinct variable groups:   x, p, N   A, p, x   ph, p, x

Allowed substitution hints:   B( x, p)

Proof of Theorem pockthg

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 |- ( ph -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
2		pockthg.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. NN )
3		pockthg.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN )
4	2, 3	nnmulcld 10604	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
5		nnuz 11141	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	syl6eleq 2555	. . . . 5 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7		eluzp1p1 11131	. . . . 5 |- ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
8	6, 7	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
9		df-2 10615	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
10	9	fveq2i 5875	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
11	8, 10	syl6eleqr 2556	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
12	1, 11	eqeltrd 2545	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
13		eluzelre 11116	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
15	14	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N e. RR )
16	2	nnred 10571	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	resqcld 12338	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. RR )
18	17	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
19		prmnn 14231	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
20	19	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN )
21	20	nnred 10571	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. RR )
22	21	resqcld 12338	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q ^ 2 ) e. RR )
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B < A )
24	3	nnred 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
25	2	nngt0d 10600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
26		ltmul2 10414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B < A <-> ( A x. B ) < ( A x. A ) ) )
28	23, 27	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A x. B ) < ( A x. A ) )
29	2, 2	nnmulcld 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. A ) e. NN )
30		nnltp1le 10940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A x. B ) e. NN /\ ( A x. A ) e. NN ) -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
31	4, 29, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A x. B ) < ( A x. A ) <-> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) ) )
32	28, 31	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. B ) + 1 ) <_ ( A x. A ) )
33	2	nncnd 10572	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
34	33	sqvald 12309	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
35	32, 1, 34	3brtr4d 4486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N <_ ( A ^ 2 ) )
36	35	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N <_ ( A ^ 2 ) )
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) )
39		prmnn 14231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
40	39	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. NN )
41	40	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. CC )
42	41	exp1d 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
43		nnge1 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p pCnt A ) e. NN -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
44	43	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 <_ ( p pCnt A ) )
45		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p e. Prime )
46	2	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ZZ )
47	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> A e. ZZ )
48		1nn0 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> 1 e. NN0 )
50		pcdvdsb 14403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( 1 <_ ( p pCnt A ) <-> ( p ^ 1 ) || A ) )
52	44, 51	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( p ^ 1 ) || A )
53	42, 52	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> p || A )
54		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ph )
55	54, 2	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> A e. NN )
56	54, 3	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B e. NN )
57	54, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> B < A )
58	54, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> N = ( ( A x. B ) + 1 ) )
59		simpl2l 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q e. Prime )
60		simpl2r 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> q || N )
61		simpl3l 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> p e. Prime )
62		simpl3r 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) e. NN )
63		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
64		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 )
65		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 )
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 14434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) /\ ( x e. ZZ /\ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
67	66	rexlimdvaa 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
68	67	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
69	53, 68	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( p pCnt A ) e. NN ) ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
70	69	expr 615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. Prime )
72		prmuz2 14246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
73		uz2m1nn 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( q - 1 ) e. NN )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. Prime -> ( q - 1 ) e. NN )
75	74	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. NN )
76		pccl 14384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. Prime /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
77	71, 75, 76	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( q - 1 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 10876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
79		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
80	78, 79	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
81	80	a1dd 46	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) = 0 -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) ) )
82		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
83	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> A e. NN )
84	82, 83	pccld 14385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt A ) e. NN0 )
85		elnn0 10818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p pCnt A ) e. NN0 <-> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
86	84, 85	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p pCnt A ) e. NN \/ ( p pCnt A ) = 0 ) )
87	70, 81, 86	mpjaod 381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
88	87	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || A -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( N - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd N ) = 1 ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
89	38, 88	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) )
90	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A e. ZZ )
91	75	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( q - 1 ) e. ZZ )
92		pc2dvds 14413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. ZZ ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
93	90, 91, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt A ) <_ ( p pCnt ( q - 1 ) ) ) )
94	89, 93	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A || ( q - 1 ) )
95		dvdsle 14042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( q - 1 ) e. NN ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
96	90, 75, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A || ( q - 1 ) -> A <_ ( q - 1 ) ) )
97	94, 96	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A <_ ( q - 1 ) )
98	2	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. NN0 )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A e. NN0 )
100	20	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> q e. NN0 )
101		nn0ltlem1 10944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN0 /\ q e. NN0 ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
102	99, 100, 101	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> A <_ ( q - 1 ) ) )
103	97, 102	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A < q )
104	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> A e. RR )
105	98	nn0ge0d 10876	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
106	105	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ A )
107	100	nn0ge0d 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> 0 <_ q )
108	104, 21, 106, 107	lt2sqd 12346	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A < q <-> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) ) )
109	103, 108	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( A ^ 2 ) < ( q ^ 2 ) )
110	15, 18, 22, 36, 109	lelttrd 9757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> N < ( q ^ 2 ) )
111	15, 22	ltnled 9749	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> ( N < ( q ^ 2 ) <-> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
112	110, 111	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( q e. Prime /\ q || N ) ) -> -. ( q ^ 2 ) <_ N )
113	112	expr 615	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( q || N -> -. ( q ^ 2 ) <_ N ) )
114	113	con2d 115	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. Prime ) -> ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
115	114	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) )
116		isprm5 14264	. 2 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. q e. Prime ( ( q ^ 2 ) <_ N -> -. q || N ) ) )
117	12, 115, 116	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> N e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   mod cmo 11998   ^cexp 12168   || cdvds 13997   gcd cgcd 14155   Primecprime 14228   pCnt cpc 14371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-odz 14306  df-phi 14307  df-pc 14372

This theorem is referenced by:  pockthi  14436