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Theorem pockthg 14929
 Description: The generalized Pocklington's theorem. If where , then is prime if and only if for every prime factor of , there is an such that and . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthg.5
Assertion
Ref Expression
pockthg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3
2 pockthg.1 . . . . . . 7
3 pockthg.2 . . . . . . 7
42, 3nnmulcld 10679 . . . . . 6
5 nnuz 11218 . . . . . 6
64, 5syl6eleq 2559 . . . . 5
7 eluzp1p1 11208 . . . . 5
86, 7syl 17 . . . 4
9 df-2 10690 . . . . 5
109fveq2i 5882 . . . 4
118, 10syl6eleqr 2560 . . 3
121, 11eqeltrd 2549 . 2
13 eluzelre 11193 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8
1514adantr 472 . . . . . . 7
162nnred 10646 . . . . . . . . 9
1716resqcld 12480 . . . . . . . 8
1817adantr 472 . . . . . . 7
19 prmnn 14704 . . . . . . . . . 10
2019ad2antrl 742 . . . . . . . . 9
2120nnred 10646 . . . . . . . 8
2221resqcld 12480 . . . . . . 7
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11
243nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12
252nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . 12
26 ltmul2 10478 . . . . . . . . . . . 12
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11
2823, 27mpbid 215 . . . . . . . . . 10
292, 2nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . 11
30 nnltp1le 11016 . . . . . . . . . . 11
314, 29, 30syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
3228, 31mpbid 215 . . . . . . . . 9
332nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
3433sqvald 12451 . . . . . . . . 9
3532, 1, 343brtr4d 4426 . . . . . . . 8
3635adantr 472 . . . . . . 7
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
39 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241exp1d 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
462nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4746ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 pcdvdsb 14897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5145, 47, 49, 50syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5244, 51mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5342, 52eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5654, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5754, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5854, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59 simpl2l 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 simpl2r 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 simpl3l 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 simpl3r 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 14928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68673expa 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6953, 68embantd 55 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069expr 626 . . . . . . . . . . . . . 14
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73 uz2m1nn 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7574ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 pccl 14878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7771, 75, 76syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8078, 79syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14
82 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
832ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83pccld 14879 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 elnn0 10895 . . . . . . . . . . . . . . 15
8684, 85sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
8770, 81, 86mpjaod 388 . . . . . . . . . . . . 13
8887ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . 12
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11
9046adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9175nnzd 11062 . . . . . . . . . . . 12
92 pc2dvds 14907 . . . . . . . . . . . 12
9390, 91, 92syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
9489, 93mpbird 240 . . . . . . . . . 10
95 dvdsle 14427 . . . . . . . . . . 11
9690, 75, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
9794, 96mpd 15 . . . . . . . . 9
982nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11
9998adantr 472 . . . . . . . . . 10
10020nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10
101 nn0ltlem1 11020 . . . . . . . . . 10
10299, 100, 101syl2anc 673 . . . . . . . . 9
10397, 102mpbird 240 . . . . . . . 8
10416adantr 472 . . . . . . . . 9
10598nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10
106105adantr 472 . . . . . . . . 9
107100nn0ge0d 10952 . . . . . . . . 9
108104, 21, 106, 107lt2sqd 12488 . . . . . . . 8
109103, 108mpbid 215 . . . . . . 7
11015, 18, 22, 36, 109lelttrd 9810 . . . . . 6
11115, 22ltnled 9799 . . . . . 6
112110, 111mpbid 215 . . . . 5
113112expr 626 . . . 4
114113con2d 119 . . 3
115114ralrimiva 2809 . 2
116 isprm5 14730 . 2
11712, 115, 116sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182   cmo 12129  cexp 12310   cdvds 14382   cgcd 14547  cprime 14701   cpc 14865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-odz 14791  df-phi 14793  df-pc 14866 This theorem is referenced by:  pockthi  14930  proththd  39059
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