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Theorem pockthg 13959
Description: The generalized Pocklington's theorem. If  N  -  1  =  A  x.  B where  B  <  A, then  N is prime if and only if for every prime factor  p of  A, there is an  x such that  x ^ ( N  -  1 )  =  1 (  mod 
N ) and  gcd  ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p )  -  1 ,  N )  =  1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
pockthg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
pockthg.3  |-  ( ph  ->  B  <  A )
pockthg.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
pockthg.5  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
pockthg  |-  ( ph  ->  N  e.  Prime )
Distinct variable groups:    x, p, N    A, p, x    ph, p, x
Allowed substitution hints:    B( x, p)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
2 pockthg.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3 pockthg.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
42, 3nnmulcld 10361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
5 nnuz 10888 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5syl6eleq 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
7 eluzp1p1 10878 . . . . 5  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
9 df-2 10372 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
109fveq2i 5687 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
118, 10syl6eleqr 2528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
121, 11eqeltrd 2511 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
13 eluzelre 10863 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  N  e.  RR )
162nnred 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1716resqcld 12026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  RR )
19 prmnn 13758 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
q  e.  NN )
2120nnred 10329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
q  e.  RR )
2221resqcld 12026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( q ^ 2 )  e.  RR )
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  <  A )
243nnred 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
252nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
26 ltmul2 10172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( B  <  A  <->  ( A  x.  B )  <  ( A  x.  A ) ) )
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  <  A  <->  ( A  x.  B )  <  ( A  x.  A ) ) )
2823, 27mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  <  ( A  x.  A ) )
292, 2nnmulcld 10361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  A
)  e.  NN )
30 nnltp1le 10692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  NN  /\  ( A  x.  A
)  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  B )  < 
( A  x.  A
)  <->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  <_  ( A  x.  A )
) )
314, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  <  ( A  x.  A )  <->  ( ( A  x.  B
)  +  1 )  <_  ( A  x.  A ) ) )
3228, 31mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  <_  ( A  x.  A ) )
332nncnd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3433sqvald 11997 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
3532, 1, 343brtr4d 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  <_  ( A ^ 2 ) )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  N  <_  ( A ^
2 ) )
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
39 prmnn 13758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  e.  NN )
4140nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  e.  CC )
4241exp1d 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( p ^ 1 )  =  p )
43 nnge1 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  pCnt  A )  e.  NN  ->  1  <_  ( p  pCnt  A )
)
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  1  <_  ( p  pCnt  A )
)
45 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  e.  Prime )
462nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  A  e.  ZZ )
48 1nn0 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  1  e.  NN0 )
50 pcdvdsb 13927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  1  e. 
NN0 )  ->  (
1  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
5145, 47, 49, 50syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( 1  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^
1 )  ||  A
) )
5244, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )
5342, 52eqbrtrrd 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  p  ||  A
)
54 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  ph )
5554, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  A  e.  NN )
5654, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  B  e.  NN )
5754, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  B  <  A )
5854, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
59 simpl2l 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
q  e.  Prime )
60 simpl2r 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
q  ||  N )
61 simpl3l 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  p  e.  Prime )
62 simpl3r 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
64 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( ( x ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
65 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 13958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) )
6766rexlimdvaa 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N )  /\  (
p  e.  Prime  /\  (
p  pCnt  A )  e.  NN ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ (
( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
68673expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  (
( ( x ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )  ->  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
6953, 68embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( p  pCnt  A
)  e.  NN ) )  ->  ( (
p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  (
( ( x ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 ) )  ->  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
7069expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  e.  NN  ->  ( ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) ) )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
72 prmuz2 13773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
73 uz2m1nn 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( q  -  1 )  e.  NN )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( q  -  1 )  e.  NN )
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( q  -  1 )  e.  NN )
76 pccl 13908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
q  -  1 )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
q  -  1 ) )  e.  NN0 )
7771, 75, 76syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
q  -  1 ) )  e.  NN0 )
7877nn0ge0d 10631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) )
79 breq1 4288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  pCnt  A )  =  0  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) )  <->  0  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
8078, 79syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  =  0  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
8180a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  =  0  -> 
( ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) ) )
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
832ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  A  e.  NN )
8482, 83pccld 13909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
85 elnn0 10573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  pCnt  A )  e.  NN0  <->  ( ( p 
pCnt  A )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  A
)  =  0 ) )
8684, 85sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  A )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  A )  =  0 ) )
8770, 81, 86mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
8887ralimdva 2788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  A  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( ( x ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  1  /\  ( ( ( x ^ ( ( N  -  1 )  /  p ) )  -  1 )  gcd 
N )  =  1 ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  ( q  -  1 ) ) ) )
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) )
9046adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  e.  ZZ )
9175nnzd 10738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( q  -  1 )  e.  ZZ )
92 pc2dvds 13937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( q  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( q  -  1 )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
9390, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  ||  (
q  -  1 )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  (
q  -  1 ) ) ) )
9489, 93mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  ||  ( q  - 
1 ) )
95 dvdsle 13570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( q  -  1 )  e.  NN )  ->  ( A  ||  ( q  -  1 )  ->  A  <_  ( q  -  1 ) ) )
9690, 75, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  ||  (
q  -  1 )  ->  A  <_  (
q  -  1 ) ) )
9794, 96mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  <_  ( q  - 
1 ) )
982nnnn0d 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
9998adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  e.  NN0 )
10020nnnn0d 10628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
q  e.  NN0 )
101 nn0ltlem1 10696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  q  e.  NN0 )  -> 
( A  <  q  <->  A  <_  ( q  - 
1 ) ) )
10299, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  <  q  <->  A  <_  ( q  - 
1 ) ) )
10397, 102mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  <  q )
10416adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  A  e.  RR )
10598nn0ge0d 10631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
106105adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
0  <_  A )
107100nn0ge0d 10631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
0  <_  q )
108104, 21, 106, 107lt2sqd 12034 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A  <  q  <->  ( A ^ 2 )  <  ( q ^
2 ) ) )
109103, 108mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( A ^ 2 )  <  ( q ^ 2 ) )
11015, 18, 22, 36, 109lelttrd 9521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  N  <  ( q ^
2 ) )
11115, 22ltnled 9513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  -> 
( N  <  (
q ^ 2 )  <->  -.  ( q ^ 2 )  <_  N )
)
112110, 111mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )  ->  -.  ( q ^ 2 )  <_  N )
113112expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  ||  N  ->  -.  (
q ^ 2 )  <_  N ) )
114113con2d 115 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Prime )  ->  ( (
q ^ 2 )  <_  N  ->  -.  q  ||  N ) )
115114ralrimiva 2793 . 2  |-  ( ph  ->  A. q  e.  Prime  ( ( q ^ 2 )  <_  N  ->  -.  q  ||  N ) )
116 isprm5 13790 . 2  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. q  e.  Prime  ( ( q ^ 2 )  <_  N  ->  -.  q  ||  N ) ) )
11712, 115, 116sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  N  e.  Prime )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709   E.wrex 2710   class class class wbr 4285   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    mod cmo 11700   ^cexp 11857    || cdivides 13527    gcd cgcd 13682   Primecprime 13755    pCnt cpc 13895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-odz 13832  df-phi 13833  df-pc 13896
This theorem is referenced by:  pockthi  13960
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