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Theorem pntrsumo1 22819
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
43simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
5 0red 9392 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
6 1red 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
7 0lt1 9867 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  <  1 )
93simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
114, 10elrpd 11030 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
1211ssriv 3365 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
14 rpssre 11006 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1513, 14syl6ss 3373 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
16 resmpt 5161 . . . . 5  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR  ->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
18 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  /  n ) )
19 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
2019fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )
2120, 19oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) )
2218, 21jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  n )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) ) )
23 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
24 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2524fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
2625, 24oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2723, 26jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
28 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
29 1div1e1 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3028, 29syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
31 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
32 1m1e0 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3331, 32syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
3433fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  0 ) )
35 2pos 10418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
36 0re 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
37 chpeq0 22552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
(ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2 ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2
)
3935, 38mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ψ ` 
0 )  =  0
4034, 39syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  0 )
4140, 33oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
42 0m0e0 10436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4341, 42syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  0 )
4430, 43jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( 1  /  m
)  =  1  /\  ( (ψ `  (
m  -  1 ) )  -  ( m  -  1 ) )  =  0 ) )
45 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
46 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
4746fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
4847, 46oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
4945, 48jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5011rprege0d 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
51 flge0nn0 11671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
53 nn0p1nn 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
55 nnuz 10901 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5654, 55syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
57 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
5958nnrecred 10372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
6059recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
6158nnred 10342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
62 peano2rem 9680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( m  - 
1 )  e.  RR )
64 chpcl 22467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  (ψ `  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6665, 63resubcld 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6766recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  CC )
6822, 27, 44, 49, 56, 60, 67fsumparts 13274 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
694flcld 11653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  ZZ )
70 fzval3 11610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7271eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
73 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
7574nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
76 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
77 pncan 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
7875, 76, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
7974nnred 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
8078, 79eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR )
81 chpcl 22467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8382recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8480recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  CC )
85 peano2rem 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
8679, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR )
87 chpcl 22467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
8988recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
90 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
9175, 90subcld 9724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  CC )
9283, 84, 89, 91sub4d 9773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1
) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) ) )
93 nnm1nn0 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9474, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  NN0 )
95 chpp1 22498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  (ψ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
97 npcan 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9875, 76, 97sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
9998, 78eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )
10099fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
10198fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  ( (
n  -  1 )  +  1 ) )  =  (Λ `  n
) )
102101oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) ) )
10396, 100, 1023eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) ) )
104103oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) ) )
105 vmacl 22461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
10674, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
107106recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  CC )
10889, 107pncan2d 9726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) )  =  (Λ `  n
) )
109104, 108eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
110 peano2cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
11175, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  CC )
112111, 75, 90nnncan2d 9759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
113 pncan2 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  n
)  =  1 )
11475, 76, 113sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  n )  =  1 )
115112, 114eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  1 )
116109, 115oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
11792, 116eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
118117oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
(Λ `  n )  - 
1 ) ) )
119 peano2rem 9680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Λ `  n )  e.  RR  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
120106, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
121120recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  CC )
12274nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
123121, 75, 122divrec2d 10116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  =  ( ( 1  /  n )  x.  ( (Λ `  n
)  -  1 ) ) )
124118, 123eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12572, 124sumeq12rdv 13189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12652nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
127 pncan 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  x ) )
128126, 76, 127sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  x
) )
129128fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  ( |_ `  x
) ) )
130 chpfl 22493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
1314, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( |_ `  x ) )  =  (ψ `  x ) )
132129, 131eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  x ) )
133132oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
134 chpcl 22467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1354, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
136135recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
13754nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  CC )
138 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  CC )
139136, 137, 138subsub3d 9754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
140133, 139eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
141140oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14254nnrecred 10372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR )
143142recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  CC )
144 peano2cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  x )  e.  CC  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
145136, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  CC )
146143, 145, 137subdid 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14754nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  =/=  0 )
148145, 137, 147divrec2d 10116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) ) )
149148eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
150137, 147recid2d 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  1 )
151149, 150oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
152141, 146, 1513eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
15376mul01i 9564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  x.  0 )  =  0 )
155152, 154oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 ) )
156 peano2re 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (ψ `  x )  e.  RR  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
157135, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
158157, 54nndivred 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
159158recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
160 subcl 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
161159, 76, 160sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  CC )
162161subid1d 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
163155, 162eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
164 peano2nn 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
165 nnmulcl 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
166164, 165mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
16774, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
168167nnrecred 10372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
169168recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
170 nnrp 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
171 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
172171pntrf 22817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R : RR+
--> RR
173172ffvelrni 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
174170, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
17574, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
176175recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
177169, 176mulneg1d 9802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -u (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  x.  ( R `  n ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
17875, 90mulcld 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  e.  CC )
17975, 111mulcld 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
180167nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  =/=  0
)
181111, 178, 179, 180divsubdird 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( n  + 
1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
18275mulid1d 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  =  n )
183182oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
184183, 114eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  1 )
185184oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
186111mulid1d 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  1 )  =  ( n  +  1 ) )
187111, 75mulcomd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  n )  =  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )
188186, 187oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
18974, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
190189nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  =/=  0
)
19190, 75, 111, 122, 190divcan5d 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( 1  /  n ) )
192188, 191eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  n ) )
19390, 111, 75, 190, 122divcan5d 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  x.  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )
194192, 193oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
195181, 185, 1943eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
196195negeqd 9609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
19774nnrecred 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
198197recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
199189nnrecred 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  RR )
200199recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  CC )
201198, 200negsubdi2d 9740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) ) )
202196, 201eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  =  -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
20374nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
20478, 203eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR+ )
205171pntrval 22816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
206204, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )
20778fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( R `  n ) )
208206, 207eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( R `
 n ) )
209202, 208oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
210176, 179, 180divrec2d 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
211210negeqd 9609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
212177, 209, 2113eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  -u (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
21372, 212sumeq12rdv 13189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
214 fzfid 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
215174, 166nndivred 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
21674, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
217216recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
218214, 217fsumneg 13259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
219213, 218eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
220163, 219oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
22168, 125, 2203eqtr3d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
222 fzfid 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
22373adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
224223, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
225222, 224fsumrecl 13216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
226225recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2274, 226syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
228161, 227subnegd 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
229221, 228eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
230229oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
231161, 227pncan2d 9726 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
232230, 231eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
233232mpteq2ia 4379 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
234 fzfid 11800 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23573adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
236235, 105syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
237236, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
238237, 235nndivred 10375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  e.  RR )
239234, 238fsumrecl 13216 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  e.  RR )
240 rpre 11002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
241240adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
242241, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
243242, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
244 rprege0 11010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
245244, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
246245adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
247246, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
248243, 247nndivred 10375 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
249 peano2rem 9680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
250248, 249syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
251 reex 9378 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
252251, 14ssexi 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  _V
253252a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
254236, 235nndivred 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
255254recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
256234, 255fsumcl 13215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
257 relogcl 22032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
258257adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
259258recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
260256, 259subcld 9724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
261235nnrecred 10372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
262234, 261fsumrecl 13216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
263262, 258resubcld 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
264 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )
265 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) ) )
266253, 260, 263, 264, 265offval2 6341 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
267261recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
268234, 255, 267fsumsub 13260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
269236recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
270 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
271235nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
272235nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
273269, 270, 271, 272divsubdird 10151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
1  /  n ) ) )
274273sumeq2dv 13185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) ) )
275262recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
276256, 275, 259nnncan2d 9759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
277268, 274, 2763eqtr4rd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
278277mpteq2dva 4383 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
279266, 278eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
280 vmadivsum 22736 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1)
28114a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
282263recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
283 1red 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
284 harmoniclbnd 22407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
285284adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
286258, 262, 285abssubge0d 12923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
287286adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
288240ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
289 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
290 harmonicubnd 22408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
291288, 289, 290syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
292 1red 9406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
293262, 258, 292lesubadd2d 9943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) )  <_  1  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
294293adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
295291, 294mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1 )
296287, 295eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
297281, 282, 283, 283, 296elo1d 13019 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
298 o1sub 13098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
299280, 297, 298sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
300279, 299eqeltrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )  e.  O(1) )
301248recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
302 1cnd 9407 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
303242recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
304 rpcnne0 11013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
305304adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
306 divdir 10022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
307303, 302, 305, 306syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
308307mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
309 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
310242, 309rerpdivcld 11059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
311 rpreccl 11019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
312311adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
313 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
314 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
315253, 310, 312, 313, 314offval2 6341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) ) )
316 chpo1ub 22734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)
317 divrcnv 13320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
31876, 317ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
319 rlimo1 13099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )
320318, 319mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O(1) )
321 o1add 13096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
322316, 320, 321sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
323315, 322eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
324308, 323eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  O(1) )
325243, 309rerpdivcld 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR )
326 chpge0 22469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
327241, 326syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
328242, 327ge0p1rpd 11058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
329328rprege0d 11039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
330247nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
331330rpregt0d 11038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
332 divge0 10203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
333329, 331, 332syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
334248, 333absidd 12914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
335325recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
336335abscld 12927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  RR )
337 fllep1 11656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
338241, 337syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )
339 rpregt0 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
340339adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
341328rpregt0d 11038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
342 lediv2 10227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
343340, 331, 341, 342syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
344338, 343mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) )
345325leabsd 12906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
346248, 325, 336, 344, 345letrd 9533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
347334, 346eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
348347adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
349283, 324, 325, 301, 348o1le 13135 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
350 o1const 13102 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
35114, 76, 350mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)
352351a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
353301, 302, 349, 352o1sub2 13108 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  O(1) )
354239, 250, 300, 353o1sub2 13108 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
35513, 354o1res2 13046 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
356233, 355syl5eqelr 2528 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
35717, 356eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  e.  O(1) )
358 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
359358, 226fmpti 5871 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) : RR --> CC
360359a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) : RR --> CC )
361 ssid 3380 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
362361a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  RR )
363360, 362, 283o1resb 13049 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
364357, 363mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
365364trud 1378 1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2611   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   +oocpnf 9420    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   [,)cico 11307   ...cfz 11442  ..^cfzo 11553   |_cfl 11645   abscabs 12728    ~~> r crli 12968   O(1)co1 12969   sum_csu 13168   logclog 22011  Λcvma 22434  ψcchp 22435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-o1 12973  df-lo1 12974  df-sum 13169  df-ef 13358  df-e 13359  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-pc 13909  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014  df-em 22391  df-cht 22439  df-vma 22440  df-chp 22441  df-ppi 22442
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  22820
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