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Theorem pntrsumo1 23478
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
43simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
5 0red 9593 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
6 1red 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
7 0lt1 10071 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  <  1 )
93simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 9737 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
114, 10elrpd 11250 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
1211ssriv 3508 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
14 rpssre 11226 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1513, 14syl6ss 3516 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
16 resmpt 5321 . . . . 5  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR  ->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
18 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  /  n ) )
19 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
2019fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )
2120, 19oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) )
2218, 21jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  n )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) ) )
23 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
24 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2524fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
2625, 24oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2723, 26jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
28 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
29 1div1e1 10233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3028, 29syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
31 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
32 1m1e0 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3331, 32syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
3433fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  0 ) )
35 2pos 10623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
36 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
37 chpeq0 23211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
(ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2 ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2
)
3935, 38mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ψ ` 
0 )  =  0
4034, 39syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  0 )
4140, 33oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
42 0m0e0 10641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4341, 42syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  0 )
4430, 43jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( 1  /  m
)  =  1  /\  ( (ψ `  (
m  -  1 ) )  -  ( m  -  1 ) )  =  0 ) )
45 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
46 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
4746fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
4847, 46oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
4945, 48jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5011rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
51 flge0nn0 11918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
53 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
55 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5654, 55syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
57 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
5958nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
6059recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
6158nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
62 peano2rem 9882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( m  - 
1 )  e.  RR )
64 chpcl 23126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  (ψ `  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6665, 63resubcld 9983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6766recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  CC )
6822, 27, 44, 49, 56, 60, 67fsumparts 13579 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
694flcld 11899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  ZZ )
70 fzval3 11849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7271eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
73 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
7574nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
76 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
77 pncan 9822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
7875, 76, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
7974nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
8078, 79eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR )
81 chpcl 23126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8382recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8480recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  CC )
85 peano2rem 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
8679, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR )
87 chpcl 23126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
8988recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
90 1cnd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
9175, 90subcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  CC )
9283, 84, 89, 91sub4d 9975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1
) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) ) )
93 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9474, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  NN0 )
95 chpp1 23157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  (ψ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
97 npcan 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9875, 76, 97sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
9998, 78eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )
10099fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
10198fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  ( (
n  -  1 )  +  1 ) )  =  (Λ `  n
) )
102101oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) ) )
10396, 100, 1023eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) ) )
104103oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) ) )
105 vmacl 23120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
10674, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
107106recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  CC )
10889, 107pncan2d 9928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) )  =  (Λ `  n
) )
109104, 108eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
110 peano2cn 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
11175, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  CC )
112111, 75, 90nnncan2d 9961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
113 pncan2 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  n
)  =  1 )
11475, 76, 113sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  n )  =  1 )
115112, 114eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  1 )
116109, 115oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
11792, 116eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
118117oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
(Λ `  n )  - 
1 ) ) )
119 peano2rem 9882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Λ `  n )  e.  RR  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
120106, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
121120recnd 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  CC )
12274nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
123121, 75, 122divrec2d 10320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  =  ( ( 1  /  n )  x.  ( (Λ `  n
)  -  1 ) ) )
124118, 123eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12572, 124sumeq12rdv 13488 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12652nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
127 pncan 9822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  x ) )
128126, 76, 127sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  x
) )
129128fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  ( |_ `  x
) ) )
130 chpfl 23152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
1314, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( |_ `  x ) )  =  (ψ `  x ) )
132129, 131eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  x ) )
133132oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
134 chpcl 23126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1354, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
136135recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
13754nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  CC )
138 1cnd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  CC )
139136, 137, 138subsub3d 9956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
140133, 139eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
141140oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14254nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR )
143142recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  CC )
144 peano2cn 9747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  x )  e.  CC  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
145136, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  CC )
146143, 145, 137subdid 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14754nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  =/=  0 )
148145, 137, 147divrec2d 10320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) ) )
149148eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
150137, 147recid2d 10312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  1 )
151149, 150oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
152141, 146, 1513eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
15376mul01i 9765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  x.  0 )  =  0 )
155152, 154oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 ) )
156 peano2re 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (ψ `  x )  e.  RR  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
157135, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
158157, 54nndivred 10580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
159158recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
160 subcl 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
161159, 76, 160sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  CC )
162161subid1d 9915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
163155, 162eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
164 peano2nn 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
165 nnmulcl 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
166164, 165mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
16774, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
168167nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
169168recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
170 nnrp 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
171 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
172171pntrf 23476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R : RR+
--> RR
173172ffvelrni 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
174170, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
17574, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
176175recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
177169, 176mulneg1d 10005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -u (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  x.  ( R `  n ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
17875, 90mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  e.  CC )
17975, 111mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
180167nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  =/=  0
)
181111, 178, 179, 180divsubdird 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( n  + 
1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
18275mulid1d 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  =  n )
183182oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
184183, 114eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  1 )
185184oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
186111mulid1d 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  1 )  =  ( n  +  1 ) )
187111, 75mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  n )  =  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )
188186, 187oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
18974, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
190189nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  =/=  0
)
19190, 75, 111, 122, 190divcan5d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( 1  /  n ) )
192188, 191eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  n ) )
19390, 111, 75, 190, 122divcan5d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  x.  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )
194192, 193oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
195181, 185, 1943eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
196195negeqd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
19774nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
198197recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
199189nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  RR )
200199recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  CC )
201198, 200negsubdi2d 9942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) ) )
202196, 201eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  =  -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
20374nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
20478, 203eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR+ )
205171pntrval 23475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
206204, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )
20778fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( R `  n ) )
208206, 207eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( R `
 n ) )
209202, 208oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
210176, 179, 180divrec2d 10320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
211210negeqd 9810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
212177, 209, 2113eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  -u (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
21372, 212sumeq12rdv 13488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
214 fzfid 12047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
215174, 166nndivred 10580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
21674, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
217216recnd 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
218214, 217fsumneg 13561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
219213, 218eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
220163, 219oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
22168, 125, 2203eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
222 fzfid 12047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
22373adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
224223, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
225222, 224fsumrecl 13515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
226225recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2274, 226syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
228161, 227subnegd 9933 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
229221, 228eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
230229oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
231161, 227pncan2d 9928 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
232230, 231eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
233232mpteq2ia 4529 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
234 fzfid 12047 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23573adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
236235, 105syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
237236, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
238237, 235nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  e.  RR )
239234, 238fsumrecl 13515 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  e.  RR )
240 rpre 11222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
241240adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
242241, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
243242, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
244 rprege0 11230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
245244, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
246245adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
247246, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
248243, 247nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
249 peano2rem 9882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
250248, 249syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
251 reex 9579 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
252251, 14ssexi 4592 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  _V
253252a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
254236, 235nndivred 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
255254recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
256234, 255fsumcl 13514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
257 relogcl 22691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
258257adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
259258recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
260256, 259subcld 9926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
261235nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
262234, 261fsumrecl 13515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
263262, 258resubcld 9983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
264 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )
265 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) ) )
266253, 260, 263, 264, 265offval2 6538 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
267261recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
268234, 255, 267fsumsub 13562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
269236recnd 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
270 1cnd 9608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
271235nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
272235nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
273269, 270, 271, 272divsubdird 10355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
1  /  n ) ) )
274273sumeq2dv 13484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) ) )
275262recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
276256, 275, 259nnncan2d 9961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
277268, 274, 2763eqtr4rd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
278277mpteq2dva 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
279266, 278eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
280 vmadivsum 23395 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1)
28114a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
282263recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
283 1red 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
284 harmoniclbnd 23066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
285284adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
286258, 262, 285abssubge0d 13222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
287286adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
288240ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
289 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
290 harmonicubnd 23067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
291288, 289, 290syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
292 1red 9607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
293262, 258, 292lesubadd2d 10147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) )  <_  1  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
294293adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
295291, 294mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1 )
296287, 295eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
297281, 282, 283, 283, 296elo1d 13318 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
298 o1sub 13397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
299280, 297, 298sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
300279, 299eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )  e.  O(1) )
301248recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
302 1cnd 9608 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
303242recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
304 rpcnne0 11233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
305304adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
306 divdir 10226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
307303, 302, 305, 306syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
308307mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
309 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
310242, 309rerpdivcld 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
311 rpreccl 11239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
312311adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
313 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
314 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
315253, 310, 312, 313, 314offval2 6538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) ) )
316 chpo1ub 23393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)
317 divrcnv 13623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
31876, 317ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
319 rlimo1 13398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )
320318, 319mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O(1) )
321 o1add 13395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
322316, 320, 321sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
323315, 322eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
324308, 323eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  O(1) )
325243, 309rerpdivcld 11279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR )
326 chpge0 23128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
327241, 326syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
328242, 327ge0p1rpd 11278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
329328rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
330247nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
331330rpregt0d 11258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
332 divge0 10407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
333329, 331, 332syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
334248, 333absidd 13213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
335325recnd 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
336335abscld 13226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  RR )
337 fllep1 11902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
338241, 337syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )
339 rpregt0 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
340339adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
341328rpregt0d 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
342 lediv2 10431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
343340, 331, 341, 342syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
344338, 343mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) )
345325leabsd 13205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
346248, 325, 336, 344, 345letrd 9734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
347334, 346eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
348347adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
349283, 324, 325, 301, 348o1le 13434 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
350 o1const 13401 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
35114, 76, 350mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)
352351a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
353301, 302, 349, 352o1sub2 13407 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  O(1) )
354239, 250, 300, 353o1sub2 13407 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
35513, 354o1res2 13345 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
356233, 355syl5eqelr 2560 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
35717, 356eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  e.  O(1) )
358 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
359358, 226fmpti 6042 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) : RR --> CC
360359a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) : RR --> CC )
361 ssid 3523 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
362361a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  RR )
363360, 362, 283o1resb 13348 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
364357, 363mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
365364trud 1388 1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   +oocpnf 9621    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   [,)cico 11527   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   |_cfl 11891   abscabs 13026    ~~> r crli 13267   O(1)co1 13268   sum_csu 13467   logclog 22670  Λcvma 23093  ψcchp 23094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-o1 13272  df-lo1 13273  df-sum 13468  df-ef 13661  df-e 13662  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673  df-em 23050  df-cht 23098  df-vma 23099  df-chp 23100  df-ppi 23101
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  23479
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