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Theorem pntrsumo1 24482
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
43simplbi 467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
5 0red 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
6 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
7 0lt1 10157 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  <  1 )
93simprbi 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
114, 10elrpd 11361 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
1211ssriv 3422 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
14 rpssre 11335 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1513, 14syl6ss 3430 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
1615resmptd 5162 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
17 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  /  n ) )
18 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )
2019, 18oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) )
2117, 20jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  n )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) ) )
22 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
23 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2423fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
2524, 23oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2622, 25jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
27 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
28 1div1e1 10322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
2927, 28syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
30 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
31 1m1e0 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3230, 31syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
3332fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  0 ) )
34 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
35 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
36 chpeq0 24215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
(ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2 ) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2
)
3834, 37mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ψ ` 
0 )  =  0
3933, 38syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  0 )
4039, 32oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
41 0m0e0 10741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4240, 41syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  0 )
4329, 42jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( 1  /  m
)  =  1  /\  ( (ψ `  (
m  -  1 ) )  -  ( m  -  1 ) )  =  0 ) )
44 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
45 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
4645fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
4746, 45oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
4844, 47jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
4911rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
50 flge0nn0 12087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
52 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
54 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5553, 54syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
56 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
5857nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
5958recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
6057nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
61 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( m  - 
1 )  e.  RR )
63 chpcl 24130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  (ψ `  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6564, 62resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6665recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  CC )
6721, 26, 43, 48, 55, 59, 66fsumparts 13943 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
684flcld 12067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  ZZ )
69 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7170eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
72 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
7372adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
7473nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
75 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
76 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
7774, 75, 76sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
7873nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
7977, 78eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR )
80 chpcl 24130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8281recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8379recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  CC )
84 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
8578, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR )
86 chpcl 24130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
8887recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
89 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
9074, 89subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  CC )
9182, 83, 88, 90sub4d 10054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1
) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) ) )
92 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9373, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  NN0 )
94 chpp1 24161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  (ψ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
96 npcan 9904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9774, 75, 96sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
9897, 77eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )
9998fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
10097fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  ( (
n  -  1 )  +  1 ) )  =  (Λ `  n
) )
101100oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) ) )
10295, 99, 1013eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) ) )
103102oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) ) )
104 vmacl 24124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
10573, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
106105recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  CC )
10788, 106pncan2d 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) )  =  (Λ `  n
) )
108103, 107eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
109 peano2cn 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
11074, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  CC )
111110, 74, 89nnncan2d 10040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
112 pncan2 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  n
)  =  1 )
11374, 75, 112sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  n )  =  1 )
114111, 113eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  1 )
115108, 114oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
11691, 115eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
117116oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
(Λ `  n )  - 
1 ) ) )
118 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Λ `  n )  e.  RR  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
119105, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
120119recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  CC )
12173nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
122120, 74, 121divrec2d 10409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  =  ( ( 1  /  n )  x.  ( (Λ `  n
)  -  1 ) ) )
123117, 122eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12471, 123sumeq12rdv 13850 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12551nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
126 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  x ) )
127125, 75, 126sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  x
) )
128127fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  ( |_ `  x
) ) )
129 chpfl 24156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
1304, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( |_ `  x ) )  =  (ψ `  x ) )
131128, 130eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  x ) )
132131oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
133 chpcl 24130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1344, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
135134recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
13653nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  CC )
137 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  CC )
138135, 136, 137subsub3d 10035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
139132, 138eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
140139oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14153nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR )
142141recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  CC )
143 peano2cn 9823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  x )  e.  CC  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
144135, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  CC )
145142, 144, 136subdid 10095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14653nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  =/=  0 )
147144, 136, 146divrec2d 10409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) ) )
148147eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
149136, 146recid2d 10401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  1 )
150148, 149oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
151140, 145, 1503eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
15275mul01i 9841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  x.  0 )  =  0 )
154151, 153oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 ) )
155 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (ψ `  x )  e.  RR  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
156134, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
157156, 53nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
158157recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
159 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
160158, 75, 159sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  CC )
161160subid1d 9994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
162154, 161eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
163 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
164 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
165163, 164mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
16673, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
167166nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
168167recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
169 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
170 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
171170pntrf 24480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R : RR+
--> RR
172171ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
173169, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
17473, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
175174recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
176168, 175mulneg1d 10092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -u (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  x.  ( R `  n ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
17774, 89mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  e.  CC )
17874, 110mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
179166nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  =/=  0
)
180110, 177, 178, 179divsubdird 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( n  + 
1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
18174mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  =  n )
182181oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
183182, 113eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  1 )
184183oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
185110mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  1 )  =  ( n  +  1 ) )
186110, 74mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  n )  =  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )
187185, 186oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
18873, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
189188nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  =/=  0
)
19089, 74, 110, 121, 189divcan5d 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( 1  /  n ) )
191187, 190eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  n ) )
19289, 110, 74, 189, 121divcan5d 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  x.  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )
193191, 192oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
194180, 184, 1933eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
195194negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
19673nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
197196recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
198188nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  RR )
199198recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  CC )
200197, 199negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) ) )
201195, 200eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  =  -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
20273nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
20377, 202eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR+ )
204170pntrval 24479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
205203, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )
20677fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( R `  n ) )
207205, 206eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( R `
 n ) )
208201, 207oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
209175, 178, 179divrec2d 10409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
210209negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
211176, 208, 2103eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  -u (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
21271, 211sumeq12rdv 13850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
213 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
214173, 165nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
21573, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
216215recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
217213, 216fsumneg 13925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
218212, 217eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
219162, 218oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
22067, 124, 2193eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
221 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
22272adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
223222, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
224221, 223fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
225224recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2264, 225syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
227160, 226subnegd 10012 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
228220, 227eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
229228oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
230160, 226pncan2d 10007 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
231229, 230eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
232231mpteq2ia 4478 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
233 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23472adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
235234, 104syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
236235, 118syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
237236, 234nndivred 10680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  e.  RR )
238233, 237fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  e.  RR )
239 rpre 11331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
240239adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
241240, 133syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
242241, 155syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
243 rprege0 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
244243, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
245244adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
246245, 52syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
247242, 246nndivred 10680 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
248 peano2rem 9961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
249247, 248syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
250 reex 9648 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
251250, 14ssexi 4541 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  _V
252251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
253235, 234nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
254253recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
255233, 254fsumcl 13876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
256 relogcl 23604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
257256adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
258257recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
259255, 258subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
260234nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
261233, 260fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
262261, 257resubcld 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
263 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )
264 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) ) )
265252, 259, 262, 263, 264offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
266260recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
267233, 254, 266fsumsub 13926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
268235recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
269 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
270234nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
271234nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
272268, 269, 270, 271divsubdird 10444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
1  /  n ) ) )
273272sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) ) )
274261recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
275255, 274, 258nnncan2d 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
276267, 273, 2753eqtr4rd 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
277276mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
278265, 277eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
279 vmadivsum 24399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1)
28014a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
281262recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
282 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
283 harmoniclbnd 24013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
284283adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
285257, 261, 284abssubge0d 13570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
286285adantrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
287239ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
288 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
289 harmonicubnd 24014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
290287, 288, 289syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
291 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
292261, 257, 291lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) )  <_  1  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
293292adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
294290, 293mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1 )
295286, 294eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
296280, 281, 282, 282, 295elo1d 13677 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
297 o1sub 13756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
298279, 296, 297sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
299278, 298eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )  e.  O(1) )
300247recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
301 1cnd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
302241recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
303 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
304303adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
305 divdir 10315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
306302, 301, 304, 305syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
307306mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
308 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
309241, 308rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
310 rpreccl 11349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
311310adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
312 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
313 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
314252, 309, 311, 312, 313offval2 6567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) ) )
315 chpo1ub 24397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)
316 divrcnv 13987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
31775, 316ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
318 rlimo1 13757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )
319317, 318mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O(1) )
320 o1add 13754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
321315, 319, 320sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
322314, 321eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
323307, 322eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  O(1) )
324242, 308rerpdivcld 11392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR )
325 chpge0 24132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
326240, 325syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
327241, 326ge0p1rpd 11391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
328327rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
329246nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
330329rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
331 divge0 10496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
332328, 330, 331syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
333247, 332absidd 13561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
334324recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
335334abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  RR )
336 fllep1 12070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
337240, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )
338 rpregt0 11338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
339338adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
340327rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
341 lediv2 10518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
342339, 330, 340, 341syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
343337, 342mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) )
344324leabsd 13553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
345247, 324, 335, 343, 344letrd 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
346333, 345eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
347346adantrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
348282, 323, 324, 300, 347o1le 13793 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
349 o1const 13760 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
35014, 75, 349mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)
351350a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
352300, 301, 348, 351o1sub2 13766 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  O(1) )
353238, 249, 299, 352o1sub2 13766 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
35413, 353o1res2 13704 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
355232, 354syl5eqelr 2554 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
35616, 355eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  e.  O(1) )
357 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
358357, 225fmpti 6060 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) : RR --> CC
359358a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) : RR --> CC )
360 ssid 3437 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
361360a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  RR )
362359, 361, 282o1resb 13707 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
363356, 362mpbird 240 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
364363trud 1461 1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   abscabs 13374    ~~> r crli 13626   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   logclog 23583  Λcvma 24097  ψcchp 24098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  24483
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