MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrsumo1 Structured version   Unicode version

Theorem pntrsumo1 22698
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
43simplbi 457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
5 0red 9374 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
6 1red 9388 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
7 0lt1 9849 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  <  1 )
93simprbi 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
114, 10elrpd 11012 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
1211ssriv 3348 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
14 rpssre 10988 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1513, 14syl6ss 3356 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
16 resmpt 5144 . . . . 5  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR  ->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
18 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  /  n ) )
19 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
2019fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )
2120, 19oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) )
2218, 21jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  n )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) ) )
23 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
24 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2524fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
2625, 24oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2723, 26jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
28 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
29 1div1e1 10011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3028, 29syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
31 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
32 1m1e0 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3331, 32syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
3433fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  0 ) )
35 2pos 10400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
36 0re 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
37 chpeq0 22431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
(ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2 ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2
)
3935, 38mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ψ ` 
0 )  =  0
4034, 39syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  0 )
4140, 33oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
42 0m0e0 10418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4341, 42syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  0 )
4430, 43jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( 1  /  m
)  =  1  /\  ( (ψ `  (
m  -  1 ) )  -  ( m  -  1 ) )  =  0 ) )
45 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
46 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
4746fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
4847, 46oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
4945, 48jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5011rprege0d 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
51 flge0nn0 11649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
53 nn0p1nn 10606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
55 nnuz 10883 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5654, 55syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
57 elfznn 11464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
5857adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
5958nnrecred 10354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
6059recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
6158nnred 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
62 peano2rem 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( m  - 
1 )  e.  RR )
64 chpcl 22346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  (ψ `  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6665, 63resubcld 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  RR )
6766recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( (ψ `  ( m  -  1
) )  -  (
m  -  1 ) )  e.  CC )
6822, 27, 44, 49, 56, 60, 67fsumparts 13251 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
694flcld 11631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  ZZ )
70 fzval3 11588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7271eqcomd 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
73 elfznn 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
7473adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
7574nncnd 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
76 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
77 pncan 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
7875, 76, 77sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
7974nnred 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
8078, 79eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR )
81 chpcl 22346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8382recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8480recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  CC )
85 peano2rem 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
8679, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR )
87 chpcl 22346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
8988recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
90 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
9175, 90subcld 9706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  CC )
9283, 84, 89, 91sub4d 9755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1
) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) ) )
93 nnm1nn0 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9474, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  NN0 )
95 chpp1 22377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  (ψ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
97 npcan 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9875, 76, 97sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
9998, 78eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )
10099fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
10198fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  ( (
n  -  1 )  +  1 ) )  =  (Λ `  n
) )
102101oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) ) )
10396, 100, 1023eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) ) )
104103oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) ) )
105 vmacl 22340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
10674, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
107106recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  CC )
10889, 107pncan2d 9708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) )  =  (Λ `  n
) )
109104, 108eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
110 peano2cn 9528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
11175, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  CC )
112111, 75, 90nnncan2d 9741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
113 pncan2 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  n
)  =  1 )
11475, 76, 113sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  n )  =  1 )
115112, 114eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  -  1
) )  =  1 )
116109, 115oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
11792, 116eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
118117oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
(Λ `  n )  - 
1 ) ) )
119 peano2rem 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Λ `  n )  e.  RR  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
120106, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
121120recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  CC )
12274nnne0d 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
123121, 75, 122divrec2d 10098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  =  ( ( 1  /  n )  x.  ( (Λ `  n
)  -  1 ) ) )
124118, 123eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12572, 124sumeq12rdv 13167 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12652nn0cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
127 pncan 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  x ) )
128126, 76, 127sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  x
) )
129128fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  ( |_ `  x
) ) )
130 chpfl 22372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
1314, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( |_ `  x ) )  =  (ψ `  x ) )
132129, 131eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  x ) )
133132oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
134 chpcl 22346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1354, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
136135recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
13754nncnd 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  CC )
138 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  e.  CC )
139136, 137, 138subsub3d 9736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
140133, 139eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
141140oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14254nnrecred 10354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR )
143142recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  CC )
144 peano2cn 9528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  x )  e.  CC  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
145136, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  CC )
146143, 145, 137subdid 9787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14754nnne0d 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  =/=  0 )
148145, 137, 147divrec2d 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) ) )
149148eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
150137, 147recid2d 10090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  1 )
151149, 150oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  -  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
152141, 146, 1513eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
15376mul01i 9546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1  x.  0 )  =  0 )
155152, 154oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 ) )
156 peano2re 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (ψ `  x )  e.  RR  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
157135, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
158157, 54nndivred 10357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
159158recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
160 subcl 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
161159, 76, 160sylancl 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  CC )
162161subid1d 9695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
163155, 162eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  =  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )
164 peano2nn 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
165 nnmulcl 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
166164, 165mpdan 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
16774, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
168167nnrecred 10354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
169168recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
170 nnrp 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
171 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
172171pntrf 22696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R : RR+
--> RR
173172ffvelrni 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
174170, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
17574, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
176175recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
177169, 176mulneg1d 9784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -u (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  x.  ( R `  n ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
17875, 90mulcld 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  e.  CC )
17975, 111mulcld 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
180167nnne0d 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  =/=  0
)
181111, 178, 179, 180divsubdird 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( n  + 
1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
18275mulid1d 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  =  n )
183182oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  ( ( n  +  1 )  -  n ) )
184183, 114eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1
) )  =  1 )
185184oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
186111mulid1d 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  1 )  =  ( n  +  1 ) )
187111, 75mulcomd 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  x.  n )  =  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )
188186, 187oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
18974, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
190189nnne0d 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  =/=  0
)
19190, 75, 111, 122, 190divcan5d 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  x.  1 )  / 
( ( n  + 
1 )  x.  n
) )  =  ( 1  /  n ) )
192188, 191eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  n ) )
19390, 111, 75, 190, 122divcan5d 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  x.  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )
194192, 193oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
195181, 185, 1943eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  n
)  -  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
196195negeqd 9591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
19774nnrecred 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
198197recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
199189nnrecred 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  RR )
200199recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
( n  +  1 ) )  e.  CC )
201198, 200negsubdi2d 9722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) ) )
202196, 201eqtr2d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  =  -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
20374nnrpd 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
20478, 203eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  e.  RR+ )
205171pntrval 22695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
206204, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )
20778fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( R `  n ) )
208206, 207eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( R `
 n ) )
209202, 208oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( -u ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
210176, 179, 180divrec2d 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `
 n ) ) )
211210negeqd 9591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u ( ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
212177, 209, 2113eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  -u (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
21372, 212sumeq12rdv 13167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
214 fzfid 11778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
215174, 166nndivred 10357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
21674, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
217216recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
218214, 217fsumneg 13236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
219213, 218eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
220163, 219oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
22168, 125, 2203eqtr3d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
222 fzfid 11778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
22373adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
224223, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
225222, 224fsumrecl 13194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
226225recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2274, 226syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
228161, 227subnegd 9713 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
229221, 228eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
230229oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
231161, 227pncan2d 9708 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
232230, 231eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
233232mpteq2ia 4362 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
234 fzfid 11778 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23573adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
236235, 105syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
237236, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
238237, 235nndivred 10357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  e.  RR )
239234, 238fsumrecl 13194 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  e.  RR )
240 rpre 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
241240adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
242241, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
243242, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
244 rprege0 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
245244, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
246245adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
247246, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
248243, 247nndivred 10357 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
249 peano2rem 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
250248, 249syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
251 reex 9360 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
252251, 14ssexi 4425 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  _V
253252a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
254236, 235nndivred 10357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
255254recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
256234, 255fsumcl 13193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
257 relogcl 21911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
258257adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
259258recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
260256, 259subcld 9706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
261235nnrecred 10354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
262234, 261fsumrecl 13194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
263262, 258resubcld 9763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
264 eqidd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )
265 eqidd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) ) )
266253, 260, 263, 264, 265offval2 6325 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
267261recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
268234, 255, 267fsumsub 13237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
269236recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
270 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
271235nncnd 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
272235nnne0d 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
273269, 270, 271, 272divsubdird 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
1  /  n ) ) )
274273sumeq2dv 13163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) ) )
275262recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
276256, 275, 259nnncan2d 9741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
277268, 274, 2763eqtr4rd 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
278277mpteq2dva 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
279266, 278eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
280 vmadivsum 22615 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1)
28114a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
282263recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
283 1red 9388 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
284 harmoniclbnd 22286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
285284adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
286258, 262, 285abssubge0d 12901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
287286adantrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
288240ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
289 simprr 749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
290 harmonicubnd 22287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
291288, 289, 290syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
292 1red 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
293262, 258, 292lesubadd2d 9925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) )  <_  1  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
294293adantrr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
295291, 294mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1 )
296287, 295eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
297281, 282, 283, 283, 296elo1d 12997 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
298 o1sub 13076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
299280, 297, 298sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  oF  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
300279, 299eqeltrrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )  e.  O(1) )
301248recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
302 1cnd 9389 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
303242recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
304 rpcnne0 10995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
305304adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
306 divdir 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
307303, 302, 305, 306syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
308307mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
309 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
310242, 309rerpdivcld 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
311 rpreccl 11001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
312311adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
313 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
314 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
315253, 310, 312, 313, 314offval2 6325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) ) )
316 chpo1ub 22613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O(1)
317 divrcnv 13297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
31876, 317ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
319 rlimo1 13077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )
320318, 319mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O(1) )
321 o1add 13074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
322316, 320, 321sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
323315, 322eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
324308, 323eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  O(1) )
325243, 309rerpdivcld 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR )
326 chpge0 22348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
327241, 326syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
328242, 327ge0p1rpd 11040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
329328rprege0d 11021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
330247nnrpd 11013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
331330rpregt0d 11020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
332 divge0 10185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
333329, 331, 332syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
334248, 333absidd 12892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
335325recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
336335abscld 12905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  RR )
337 fllep1 11634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
338241, 337syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )
339 rpregt0 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
340339adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
341328rpregt0d 11020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
342 lediv2 10209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
343340, 331, 341, 342syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
344338, 343mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) )
345325leabsd 12884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
346248, 325, 336, 344, 345letrd 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
347334, 346eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
348347adantrr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
349283, 324, 325, 301, 348o1le 13113 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
350 o1const 13080 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
35114, 76, 350mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)
352351a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
353301, 302, 349, 352o1sub2 13086 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  O(1) )
354239, 250, 300, 353o1sub2 13086 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
35513, 354o1res2 13024 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O(1) )
356233, 355syl5eqelr 2518 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
35717, 356eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,) +oo )
)  e.  O(1) )
358 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
359358, 226fmpti 5854 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) : RR --> CC
360359a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) : RR --> CC )
361 ssid 3363 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
362361a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  RR )
363360, 362, 283o1resb 13027 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
364357, 363mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
365364trud 1371 1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    |` cres 4829   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   +oocpnf 9402    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582   -ucneg 9583    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   [,)cico 11289   ...cfz 11423  ..^cfzo 11531   |_cfl 11623   abscabs 12706    ~~> r crli 12946   O(1)co1 12947   sum_csu 13146   logclog 21890  Λcvma 22313  ψcchp 22314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-o1 12951  df-lo1 12952  df-sum 13147  df-ef 13335  df-e 13336  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-dvds 13518  df-gcd 13673  df-prm 13746  df-pc 13886  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-cxp 21893  df-em 22270  df-cht 22318  df-vma 22319  df-chp 22320  df-ppi 22321
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  22699
  Copyright terms: Public domain W3C validator