MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrsumbnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pntrsumbnd 24404
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    m, a, n    m, c, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3451 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  RR )
3 1red 9658 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4 fzfid 12186 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  RR )  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
5 elfznn 11828 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  ->  n  e.  NN )
65adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  n  e.  NN )
7 nnrp 11311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
8 pntrval.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
98pntrf 24401 . . . . . . . . . 10  |-  R : RR+
--> RR
109ffvelrni 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
117, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
12 peano2nn 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
13 nnmulcl 10632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1412, 13mpdan 674 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1511, 14nndivred 10658 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
1615recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
176, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
184, 17fsumcl 13799 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  RR )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
198pntrsumo1 24403 . . . . 5  |-  ( m  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( m  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
21 fzfid 12186 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
22 elfznn 11828 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2322adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2423, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2524abscld 13498 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2621, 25fsumrecl 13800 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2718adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2827abscld 13498 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
29 fzfid 12186 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
3017adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3130abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3229, 31fsumrecl 13800 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3326ad2ant2r 753 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3429, 30fsumabs 13861 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
35 fzfid 12186 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
3622adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
3736, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3837abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3937absge0d 13506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
40 simplr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  e.  RR )
41 simprll 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
42 simprr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <  x )
4340, 41, 42ltled 9783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <_  x )
44 flword2 12048 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  m  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
4540, 41, 43, 44syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
46 fzss2 11838 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
4745, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
4835, 38, 39, 47fsumless 13856 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
4928, 32, 33, 34, 48letrd 9792 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
502, 3, 18, 20, 26, 49o1bddrp 13606 . . 3  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)
5150trud 1453 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
52 zre 10941 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
5352imim1i 60 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
54 flid 12044 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( |_ `  m )  =  m )
5554oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  =  ( 1 ... m
) )
5655sumeq1d 13767 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
5756fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
5857breq1d 4412 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
5953, 58mpbidi 220 . . . 4  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
6059ralimi2 2778 . . 3  |-  ( A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
c )
6160reximi 2855 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
6251, 61ax-mp 5 1  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784   |_cfl 12026   abscabs 13297   O(1)co1 13550   sum_csu 13752  ψcchp 24019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-o1 13554  df-lo1 13555  df-sum 13753  df-ef 14121  df-e 14122  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-pc 14787  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-em 23918  df-cht 24023  df-vma 24024  df-chp 24025  df-ppi 24026
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  24405
  Copyright terms: Public domain W3C validator