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Theorem pntrsumbnd 20547
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    m, a, n    m, c, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd
StepHypRef Expression
1 ssid 3118 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
21a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  RR )
3 1re 8717 . . . . 5  |-  1  e.  RR
43a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
5 fzfid 10913 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  RR )  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 10697 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  n  e.  NN )
8 nnrp 10242 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
9 pntrval.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
109pntrf 20544 . . . . . . . . . 10  |-  R : RR+
--> RR
1110ffvelrni 5516 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
128, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
13 peano2nn 9638 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
14 nnmulcl 9649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1513, 14mpdan 652 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1612, 15nndivred 9674 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
1716recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
187, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
195, 18fsumcl 12083 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  RR )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
209pntrsumo1 20546 . . . . 5  |-  ( m  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
2120a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( m  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
22 fzfid 10913 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
23 elfznn 10697 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2524, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2625abscld 11795 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2722, 26fsumrecl 12084 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2819adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2928abscld 11795 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
30 fzfid 10913 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
3118adantlr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3231abscld 11795 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3330, 32fsumrecl 12084 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3427ad2ant2r 730 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3530, 31fsumabs 12136 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
36 fzfid 10913 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
3723adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
3837, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3938abscld 11795 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
4038absge0d 11803 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
41 simplr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  e.  RR )
42 simprll 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
43 simprr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <  x )
4441, 42, 43ltled 8847 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <_  x )
45 flword2 10821 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  m  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
4641, 42, 44, 45syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
47 fzss2 10709 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
4936, 39, 40, 48fsumless 12131 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
5029, 33, 34, 35, 49letrd 8853 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
512, 4, 19, 21, 27, 50o1bddrp 11893 . . 3  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)
5251trud 1320 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
53 zre 9907 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
5453imim1i 56 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
55 flid 10817 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( |_ `  m )  =  m )
5655oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  =  ( 1 ... m
) )
5756sumeq1d 12051 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
5857fveq2d 5381 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
5958breq1d 3930 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
6054, 59mpbidi 209 . . . 4  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
6160ralimi2 2577 . . 3  |-  ( A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
c )
6261reximi 2612 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
6352, 62ax-mp 10 1  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   RR+crp 10233   ...cfz 10660   |_cfl 10802   abscabs 11596   O ( 1 )co1 11837   sum_csu 12035  ψcchp 20162
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  20548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-cht 20166  df-vma 20167  df-chp 20168  df-ppi 20169
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