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Theorem pntrsumbnd 23479
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    m, a, n    m, c, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3523 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  RR )
3 1red 9607 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
4 fzfid 12047 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  RR )  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
5 elfznn 11710 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  ->  n  e.  NN )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  n  e.  NN )
7 nnrp 11225 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
8 pntrval.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
98pntrf 23476 . . . . . . . . . 10  |-  R : RR+
--> RR
109ffvelrni 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
117, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
12 peano2nn 10544 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
13 nnmulcl 10555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1412, 13mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1511, 14nndivred 10580 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
1615recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
176, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
184, 17fsumcl 13514 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  m  e.  RR )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
198pntrsumo1 23478 . . . . 5  |-  ( m  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O(1)
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( m  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O(1) )
21 fzfid 12047 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
22 elfznn 11710 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2423, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2524abscld 13226 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2621, 25fsumrecl 13515 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2718adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2827abscld 13226 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
29 fzfid 12047 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
3017adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3130abscld 13226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3229, 31fsumrecl 13515 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3326ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3429, 30fsumabs 13574 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
35 fzfid 12047 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
3622adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
3736, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3837abscld 13226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3937absge0d 13234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
40 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  e.  RR )
41 simprll 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
42 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <  x )
4340, 41, 42ltled 9728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <_  x )
44 flword2 11913 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  m  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
4540, 41, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
46 fzss2 11719 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
4835, 38, 39, 47fsumless 13569 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
4928, 32, 33, 34, 48letrd 9734 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
502, 3, 18, 20, 26, 49o1bddrp 13324 . . 3  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)
5150trud 1388 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
52 zre 10864 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
5352imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
54 flid 11909 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( |_ `  m )  =  m )
5554oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  =  ( 1 ... m
) )
5655sumeq1d 13482 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
5756fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
5857breq1d 4457 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
5953, 58mpbidi 216 . . . 4  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
6059ralimi2 2854 . . 3  |-  ( A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
c )
6160reximi 2932 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
6251, 61ax-mp 5 1  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668   |_cfl 11891   abscabs 13026   O(1)co1 13268   sum_csu 13467  ψcchp 23094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-o1 13272  df-lo1 13273  df-sum 13468  df-ef 13661  df-e 13662  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673  df-em 23050  df-cht 23098  df-vma 23099  df-chp 23100  df-ppi 23101
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  23480
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