MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem6a Structured version   Unicode version

Theorem pntrlog2bndlem6a 24283
Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 24284. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bnd.t  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
pntrlog2bndlem5.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem5.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
pntrlog2bndlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
pntrlog2bndlem6.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, a, x, y, A    x, B, y    ph, x    x, S, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    B( i, a)    R( i, a)    S( i, a)    T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a
StepHypRef Expression
1 elioore 11666 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 11306 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
54rpred 11341 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 11694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
76adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
87simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9782 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 11377 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
11 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
123a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
13 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
1411, 12, 13rpgecld 11377 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1514adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
1610, 15rpdivcld 11358 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR+ )
1716rprege0d 11348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( x  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  A ) ) )
18 flge0nn0 12051 . . . 4  |-  ( ( ( x  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  A ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  A ) )  e.  NN0 )
19 nn0p1nn 10909 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
2017, 18, 193syl 18 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
21 nnuz 11194 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2527 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
2316rpred 11341 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR )
2410rpge0d 11345 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  x )
2513adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  A )
264, 15, 2, 24, 25lediv2ad 11363 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  <_  ( x  / 
1 ) )
272recnd 9668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
2827div1d 10374 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  1 )  =  x )
2926, 28breqtrd 4450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  <_  x )
30 flword2 12045 . . 3  |-  ( ( ( x  /  A
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  /  A )  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )
3123, 2, 29, 30syl3anc 1264 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) )
32 fzsplit2 11822 . 2  |-  ( ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ) )
3322, 31, 32syl2anc 665 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    u. cun 3440   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   ...cfz 11782   |_cfl 12023   abscabs 13276   sum_csu 13730   logclog 23369  Λcvma 23881  ψcchp 23882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-fz 11783  df-fl 12025
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  24284
  Copyright terms: Public domain W3C validator