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Theorem pntrlog2bndlem6 24500
Description: Lemma for pntrlog2bnd 24501. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bnd.t  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
pntrlog2bndlem5.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem5.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
pntrlog2bndlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
pntrlog2bndlem6.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    B, n, x, y    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y    T, n
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    B( i, a)    R( i, a)    S( i, a)    T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
StepHypRef Expression
1 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 11329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
5 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
76adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
87simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 11400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
11 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1211pntrf 24480 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
1312ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1514recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1615abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
1710relogcld 23651 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
19 2re 10701 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
212, 8rplogcld 23657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2220, 21rerpdivcld 11392 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
23 fzfid 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2410adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
25 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2824, 27rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2912ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3130recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3231abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3327relogcld 23651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3432, 33remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3523, 34fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3622, 35remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3718, 36resubcld 10068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837recnd 9687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
39 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
40 ssun2 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
41 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
42 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
43 pntrlog2bndlem5.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
44 pntrlog2bndlem5.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
45 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
46 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
4741, 11, 42, 43, 44, 45, 46pntrlog2bndlem6a 24499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
4840, 47syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
4948sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
5049, 34syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5139, 50fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5222, 51remulcld 9689 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
5352recnd 9687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
542recnd 9687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
5510rpne0d 11369 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
5638, 53, 54, 55divdird 10443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )
5718recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
5836recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5957, 58, 53subsubd 10033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
6022recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6135recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6251recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6360, 61, 62subdid 10095 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
643a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6545, 64, 46rpgecld 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
672, 66rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR )
68 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
7069ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) )
71 fzdisj 11852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  <  ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7334recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7472, 47, 23, 73fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
7574oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
76 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
77 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
7877, 47syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7978sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
8079, 34syldan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8176, 80fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8281recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
8382, 62pncand 10006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8475, 83eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8584oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8663, 85eqtr3d 2507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8786oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8859, 87eqtr3d 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8988oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9056, 89eqtr3d 2507 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9190mpteq2dva 4482 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) ) )
9237, 10rerpdivcld 11392 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
9352, 10rerpdivcld 11392 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  e.  RR )
9441, 11, 42, 43, 44pntrlog2bndlem5 24498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
95 ioossre 11721 . . . . 5  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR )
97 1red 9676 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9819a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9943rpred 11364 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10065relogcld 23651 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
101100, 97readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
10299, 101remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) )  e.  RR )
10398, 102remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
10451, 21rerpdivcld 11392 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
10599adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  RR )
10666relogcld 23651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
107106, 5readdcld 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
108105, 107remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
1092, 108remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
110 2rp 11330 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
111110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR+ )
112111rpge0d 11368 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  2 )
113105, 2remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
11449, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
115114nnrecred 10677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11639, 115fsumrecl 13877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
117113, 116remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
11821adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
11950, 118rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
120105adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
1212adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
122120, 121remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
123122, 115remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12449, 32syldan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
125121, 114nndivred 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
126120, 125remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  e.  RR )
12749, 27syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
128127relogcld 23651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
12910adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
130129relogcld 23651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
13149, 31syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
132131absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
133 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  <_  ( |_ `  x
) )
134133adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  x ) )
135114nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
136 flge 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_ `  x ) ) )
137121, 135, 136syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_
`  x ) ) )
138134, 137mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
139127, 129logled 23655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  ( log `  n
)  <_  ( log `  x ) ) )
140138, 139mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  <_  ( log `  x ) )
141128, 130, 124, 132, 140lemul2ad 10569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) )
14250, 124, 118ledivmul2d 11415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) ) )
143141, 142mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )
144125recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
14549, 28syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
146145rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  =/=  0
)
147131, 144, 146absdivd 13594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( abs `  (
x  /  n ) ) ) )
14810rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  x )
149148adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  x )
150121, 127, 149divge0d 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( x  /  n ) )
151125, 150absidd 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  /  n
) )  =  ( x  /  n ) )
152151oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( abs `  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
153147, 152eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
15444ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B )
155 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  ( x  /  n
) ) )
156 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  y  =  ( x  /  n ) )
157155, 156oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( R `  y
)  /  y )  =  ( ( R `
 ( x  /  n ) )  / 
( x  /  n
) ) )
158157fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  =  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) ) )
159158breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
) )
160159rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) )  <_  B )
)
161145, 154, 160sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
)
162153, 161eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( x  /  n
) )  <_  B
)
163124, 120, 145ledivmul2d 11415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) )  <_  B 
<->  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) ) )
164162, 163mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
165119, 124, 126, 143, 164letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) )
166120recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  CC )
16754adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
168114nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
169114nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
170166, 167, 168, 169divassd 10440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
171166, 167mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
172171, 168, 169divrecd 10408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
173170, 172eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
174165, 173breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) ) )
17539, 119, 123, 174fsumle 13936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( B  x.  x )  x.  (
1  /  n ) ) )
17617recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
17749, 73syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
17821rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
17939, 176, 177, 178fsumdivc 13924 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )
180105recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  CC )
181180, 54mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
182115recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
18339, 181, 182fsummulc2 13922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n ) ) )
184175, 179, 1833brtr4d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
18543adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  RR+ )
186185rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  B )
187105, 2, 186, 148mulge0d 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( B  x.  x
) )
18826nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
18923, 188fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
19017, 106resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
19117, 5readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  +  1 )  e.  RR )
19279, 188syldan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
19376, 192fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
194 harmonicubnd 24014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
1952, 9, 194syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
19610, 66relogdivd 23654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( log `  A ) ) )
19710, 66rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR+ )
198 harmoniclbnd 24013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  A
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
200196, 199eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
201189, 190, 191, 193, 195, 200le2subd 10254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) ) )
20226nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
20326nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
204202, 203reccld 10398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
20572, 47, 23, 204fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
206205oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
20779, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
208207nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
20976, 208fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
210209recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
211116recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
212210, 211pncan2d 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) )
213206, 212eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n ) )
214 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
215106recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
216176, 214, 215pnncand 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( 1  +  ( log `  A
) ) )
217214, 215addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  +  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  1 ) )
218216, 217eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( log `  A )  +  1 ) )
219201, 213, 2183brtr3d 4425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
220116, 107, 113, 187, 219lemul2ad 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )
221107recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
222180, 54, 221mulassd 9684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( B  x.  ( x  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
223180, 54, 221mul12d 9860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( x  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
224222, 223eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
225220, 224breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
226104, 117, 109, 184, 225letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
227104, 109, 20, 112, 226lemul2ad 10569 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( 2  x.  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) ) )
228 2cnd 10704 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
229228, 176, 62, 178div32d 10428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
230215, 214addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
231180, 230mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
23254, 228, 231mul12d 9860 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
233227, 229, 2323brtr4d 4426 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
234103adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
23552, 234, 10ledivmuld 11414 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  <->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) ) )
236233, 235mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
237236adantrr 731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
23896, 93, 97, 103, 237ello1d 13664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  e. 
<_O(1) )
23992, 93, 94, 238lo1add 13767 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_O(1) )
24091, 239eqeltrrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   |_cfl 12059   abscabs 13374   <_O(1)clo1 13628   sum_csu 13829   logclog 23583  Λcvma 24097  ψcchp 24098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105  df-mu 24106
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  24501
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