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Theorem pntrlog2bndlem6 23894
Description: Lemma for pntrlog2bnd 23895. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bnd.t  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
pntrlog2bndlem5.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem5.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
pntrlog2bndlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
pntrlog2bndlem6.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    B, n, x, y    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y    T, n
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    B( i, a)    R( i, a)    S( i, a)    T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
StepHypRef Expression
1 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 11249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
5 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 11609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
87simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 11316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
11 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1211pntrf 23874 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
1312ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1514recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1615abscld 13279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
1710relogcld 23134 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
19 2re 10626 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
212, 8rplogcld 23140 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2220, 21rerpdivcld 11308 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
23 fzfid 12086 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2410adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
25 elfznn 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2824, 27rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2912ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3130recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3231abscld 13279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3327relogcld 23134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3432, 33remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3523, 34fsumrecl 13568 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3622, 35remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3718, 36resubcld 10008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
39 fzfid 12086 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
40 ssun2 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
41 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
42 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
43 pntrlog2bndlem5.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
44 pntrlog2bndlem5.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
45 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
46 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
4741, 11, 42, 43, 44, 45, 46pntrlog2bndlem6a 23893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
4840, 47syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
4948sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
5049, 34syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5139, 50fsumrecl 13568 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5222, 51remulcld 9641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
5352recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
542recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
5510rpne0d 11286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
5638, 53, 54, 55divdird 10379 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )
5718recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
5836recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5957, 58, 53subsubd 9978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
6022recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6135recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6251recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6360, 61, 62subdid 10033 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
643a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6545, 64, 46rpgecld 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
672, 66rerpdivcld 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR )
68 reflcl 11936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
7069ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) )
71 fzdisj 11737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  <  ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7334recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7472, 47, 23, 73fsumsplit 13574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
7574oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
76 fzfid 12086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
77 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
7877, 47syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7978sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
8079, 34syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8176, 80fsumrecl 13568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8281recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
8382, 62pncand 9951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8475, 83eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8584oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8663, 85eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8786oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8859, 87eqtr3d 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8988oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9056, 89eqtr3d 2500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9190mpteq2dva 4543 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) ) )
9237, 10rerpdivcld 11308 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
9352, 10rerpdivcld 11308 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  e.  RR )
9441, 11, 42, 43, 44pntrlog2bndlem5 23892 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
95 ioossre 11611 . . . . 5  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR )
97 1red 9628 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9819a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9943rpred 11281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10065relogcld 23134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
101100, 97readdcld 9640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
10299, 101remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) )  e.  RR )
10398, 102remulcld 9641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
10451, 21rerpdivcld 11308 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
10599adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  RR )
10666relogcld 23134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
107106, 5readdcld 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
108105, 107remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
1092, 108remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
110 2rp 11250 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
111110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR+ )
112111rpge0d 11285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  2 )
113105, 2remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
11449, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
115114nnrecred 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11639, 115fsumrecl 13568 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
117113, 116remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
11821adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
11950, 118rerpdivcld 11308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
120105adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
1212adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
122120, 121remulcld 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
123122, 115remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12449, 32syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
125121, 114nndivred 10605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
126120, 125remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  e.  RR )
12749, 27syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
128127relogcld 23134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
12910adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
130129relogcld 23134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
13149, 31syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
132131absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
133 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  <_  ( |_ `  x
) )
134133adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  x ) )
135114nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
136 flge 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_ `  x ) ) )
137121, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_
`  x ) ) )
138134, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
139127, 129logled 23138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  ( log `  n
)  <_  ( log `  x ) ) )
140138, 139mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  <_  ( log `  x ) )
141128, 130, 124, 132, 140lemul2ad 10506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) )
14250, 124, 118ledivmul2d 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) ) )
143141, 142mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )
144125recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
14549, 28syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
146145rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  =/=  0
)
147131, 144, 146absdivd 13298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( abs `  (
x  /  n ) ) ) )
14810rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  x )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  x )
150121, 127, 149divge0d 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( x  /  n ) )
151125, 150absidd 13266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  /  n
) )  =  ( x  /  n ) )
152151oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( abs `  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
153147, 152eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
15444ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B )
155 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  ( x  /  n
) ) )
156 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  y  =  ( x  /  n ) )
157155, 156oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( R `  y
)  /  y )  =  ( ( R `
 ( x  /  n ) )  / 
( x  /  n
) ) )
158157fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  =  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) ) )
159158breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
) )
160159rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) )  <_  B )
)
161145, 154, 160sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
)
162153, 161eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( x  /  n
) )  <_  B
)
163124, 120, 145ledivmul2d 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) )  <_  B 
<->  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) ) )
164162, 163mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
165119, 124, 126, 143, 164letrd 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) )
166120recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  CC )
16754adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
168114nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
169114nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
170166, 167, 168, 169divassd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
171166, 167mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
172171, 168, 169divrecd 10344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
173170, 172eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
174165, 173breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) ) )
17539, 119, 123, 174fsumle 13625 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( B  x.  x )  x.  (
1  /  n ) ) )
17617recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
17749, 73syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
17821rpne0d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
17939, 176, 177, 178fsumdivc 13613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )
180105recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  CC )
181180, 54mulcld 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
182115recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
18339, 181, 182fsummulc2 13611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n ) ) )
184175, 179, 1833brtr4d 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
18543adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  RR+ )
186185rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  B )
187105, 2, 186, 148mulge0d 10150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( B  x.  x
) )
18826nnrecred 10602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
18923, 188fsumrecl 13568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
19017, 106resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
19117, 5readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  +  1 )  e.  RR )
19279, 188syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
19376, 192fsumrecl 13568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
194 harmonicubnd 23465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
1952, 9, 194syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
19610, 66relogdivd 23137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( log `  A ) ) )
19710, 66rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR+ )
198 harmoniclbnd 23464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  A
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )
199197, 198syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
200196, 199eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
201189, 190, 191, 193, 195, 200le2subd 10192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) ) )
20226nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
20326nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
204202, 203reccld 10334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
20572, 47, 23, 204fsumsplit 13574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
206205oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
20779, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
208207nnrecred 10602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
20976, 208fsumrecl 13568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
210209recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
211116recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
212210, 211pncan2d 9952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) )
213206, 212eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n ) )
214 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
215106recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
216176, 214, 215pnncand 9989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( 1  +  ( log `  A
) ) )
217214, 215addcomd 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  +  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  1 ) )
218216, 217eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( log `  A )  +  1 ) )
219201, 213, 2183brtr3d 4485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
220116, 107, 113, 187, 219lemul2ad 10506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )
221107recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
222180, 54, 221mulassd 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( B  x.  ( x  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
223180, 54, 221mul12d 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( x  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
224222, 223eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
225220, 224breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
226104, 117, 109, 184, 225letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
227104, 109, 20, 112, 226lemul2ad 10506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( 2  x.  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) ) )
228 2cnd 10629 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
229228, 176, 62, 178div32d 10364 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
230215, 214addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
231180, 230mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
23254, 228, 231mul12d 9806 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
233227, 229, 2323brtr4d 4486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
234103adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
23552, 234, 10ledivmuld 11330 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  <->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) ) )
236233, 235mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
237236adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
23896, 93, 97, 103, 237ello1d 13358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  e. 
<_O(1) )
23992, 93, 94, 238lo1add 13461 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_O(1) )
24091, 239eqeltrrd 2546 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   ...cfz 11697   |_cfl 11930   abscabs 13079   <_O(1)clo1 13322   sum_csu 13520   logclog 23068  Λcvma 23491  ψcchp 23492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-em 23448  df-cht 23496  df-vma 23497  df-chp 23498  df-ppi 23499  df-mu 23500
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  23895
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