Theorem pntrlog2bndlem6 24500

Description: Lemma for pntrlog2bnd 24501. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bnd.t	|- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
pntrlog2bndlem5.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntrlog2bndlem5.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
pntrlog2bndlem6.1	|- ( ph -> A e. RR )
pntrlog2bndlem6.2	|- ( ph -> 1 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   B, n, x, y   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y   T, n

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   B( i, a)   R( i, a)   S( i, a)   T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
2	1	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
3		1rp 11329	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
5		1red 9676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
6		eliooord 11719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
7	6	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
8	7	simpld 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
9	5, 2, 8	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
10	2, 4, 9	rpgecld 11400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
11		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
12	11	pntrf 24480	. . . . . . . . . . . 12 |- R : RR+ --> RR
13	12	ffvelrni 6036	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
15	14	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
16	15	abscld 13575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
17	10	relogcld 23651	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
18	16, 17	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
19		2re 10701	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
21	2, 8	rplogcld 23657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
22	20, 21	rerpdivcld 11392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
23		fzfid 12224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
24	10	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
25		elfznn 11854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
26	25	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
27	26	nnrpd 11362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
28	24, 27	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
29	12	ffvelrni 6036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	30	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
32	31	abscld 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
33	27	relogcld 23651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
34	32, 33	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
35	23, 34	fsumrecl 13877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
36	22, 35	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
37	18, 36	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
38	37	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
39		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
40		ssun2 3589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
41		pntsval.1	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
42		pntrlog2bnd.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
43		pntrlog2bndlem5.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR+ )
44		pntrlog2bndlem5.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
45		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR )
46		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ A )
47	41, 11, 42, 43, 44, 45, 46	pntrlog2bndlem6a 24499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
48	40, 47	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
49	48	sselda 3418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
50	49, 34	syldan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
51	39, 50	fsumrecl 13877	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
52	22, 51	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
53	52	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
54	2	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
55	10	rpne0d 11369	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
56	38, 53, 54, 55	divdird 10443	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) )
57	18	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
58	36	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
59	57, 58, 53	subsubd 10033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
60	22	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. CC )
61	35	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
62	51	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
63	60, 61, 62	subdid 10095	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
64	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
65	45, 64, 46	rpgecld 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR+ )
66	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
67	2, 66	rerpdivcld 11392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR )
68		reflcl 12065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
70	69	ltp1d 10559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) )
71		fzdisj 11852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
73	34	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
74	72, 47, 23, 73	fsumsplit 13883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
75	74	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
76		fzfid 12224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
77		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
78	77, 47	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
79	78	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
80	79, 34	syldan 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
81	76, 80	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
82	81	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
83	82, 62	pncand 10006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
85	84	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
86	63, 85	eqtr3d 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
87	86	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
88	59, 87	eqtr3d 2507	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
89	88	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
90	56, 89	eqtr3d 2507	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
91	90	mpteq2dva 4482	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) )
92	37, 10	rerpdivcld 11392	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
93	52, 10	rerpdivcld 11392	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) e. RR )
94	41, 11, 42, 43, 44	pntrlog2bndlem5 24498	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
95		ioossre 11721	. . . . 5 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
96	95	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
97		1red 9676	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
98	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR )
99	43	rpred 11364	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
100	65	relogcld 23651	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
101	100, 97	readdcld 9688	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
102	99, 101	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
103	98, 102	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
104	51, 21	rerpdivcld 11392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
105	99	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR )
106	66	relogcld 23651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
107	106, 5	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
108	105, 107	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
109	2, 108	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
110		2rp 11330	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR+ )
112	111	rpge0d 11368	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ 2 )
113	105, 2	remulcld 9689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
114	49, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
115	114	nnrecred 10677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
116	39, 115	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
117	113, 116	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
118	21	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
119	50, 118	rerpdivcld 11392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
120	105	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. RR )
121	2	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
122	120, 121	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
123	122, 115	remulcld 9689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) e. RR )
124	49, 32	syldan 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
125	121, 114	nndivred 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
126	120, 125	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) e. RR )
127	49, 27	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
128	127	relogcld 23651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
129	10	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
130	129	relogcld 23651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
131	49, 31	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
132	131	absge0d 13583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
133		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
134	133	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
135	114	nnzd 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
136		flge 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
137	121, 135, 136	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
138	134, 137	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
139	127, 129	logled 23655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) ) )
140	138, 139	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) )
141	128, 130, 124, 132, 140	lemul2ad 10569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) )
142	50, 124, 118	ledivmul2d 11415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <-> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
143	141, 142	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
144	125	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
145	49, 28	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
146	145	rpne0d 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) =/= 0 )
147	131, 144, 146	absdivd 13594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) )
148	10	rpge0d 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
149	148	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ x )
150	121, 127, 149	divge0d 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / n ) )
151	125, 150	absidd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x / n ) ) = ( x / n ) )
152	151	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
153	147, 152	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
154	44	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
155		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( R ` y ) = ( R ` ( x / n ) ) )
156		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
157	155, 156	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) )
158	157	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
159	158	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B <-> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
160	159	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
161	145, 154, 160	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B )
162	153, 161	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B )
163	124, 120, 145	ledivmul2d 11415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B <-> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) ) )
164	162, 163	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
165	119, 124, 126, 143, 164	letrd 9809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
166	120	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. CC )
167	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
168	114	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
169	114	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
170	166, 167, 168, 169	divassd 10440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( B x. ( x / n ) ) )
171	166, 167	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
172	171, 168, 169	divrecd 10408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
173	170, 172	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
174	165, 173	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
175	39, 119, 123, 174	fsumle 13936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
176	17	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
177	49, 73	syldan 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
178	21	rpne0d 11369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
179	39, 176, 177, 178	fsumdivc 13924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) )
180	105	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. CC )
181	180, 54	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
182	115	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
183	39, 181, 182	fsummulc2 13922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
184	175, 179, 183	3brtr4d 4426	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
185	43	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR+ )
186	185	rpge0d 11368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
187	105, 2, 186, 148	mulge0d 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( B x. x ) )
188	26	nnrecred 10677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
189	23, 188	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
190	17, 106	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) e. RR )
191	17, 5	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. RR )
192	79, 188	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
193	76, 192	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
194		harmonicubnd 24014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
195	2, 9, 194	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
196	10, 66	relogdivd 23654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) = ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) )
197	10, 66	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR+ )
198		harmoniclbnd 24013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR+ -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
200	196, 199	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
201	189, 190, 191, 193, 195, 200	le2subd 10254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) )
202	26	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
203	26	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
204	202, 203	reccld 10398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
205	72, 47, 23, 204	fsumsplit 13883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
206	205	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) )
207	79, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
208	207	nnrecred 10677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
209	76, 208	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
210	209	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. CC )
211	116	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. CC )
212	210, 211	pncan2d 10007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
213	206, 212	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
214		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
215	106	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
216	176, 214, 215	pnncand 10044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( 1 + ( log ` A ) ) )
217	214, 215	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( log ` A ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
218	216, 217	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
219	201, 213, 218	3brtr3d 4425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) )
220	116, 107, 113, 187, 219	lemul2ad 10569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) )
221	107	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
222	180, 54, 221	mulassd 9684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
223	180, 54, 221	mul12d 9860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
224	222, 223	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
225	220, 224	breqtrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
226	104, 117, 109, 184, 225	letrd 9809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
227	104, 109, 20, 112, 226	lemul2ad 10569	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
228		2cnd 10704	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
229	228, 176, 62, 178	div32d 10428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) )
230	215, 214	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
231	180, 230	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. CC )
232	54, 228, 231	mul12d 9860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
233	227, 229, 232	3brtr4d 4426	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
234	103	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
235	52, 234, 10	ledivmuld 11414	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) <-> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) ) )
236	233, 235	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
237	236	adantrr 731	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
238	96, 93, 97, 103, 237	ello1d 13664	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
239	92, 93, 94, 238	lo1add 13767	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) e. <_O(1) )
240	91, 239	eqeltrrd 2550	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   |_cfl 12059   abscabs 13374   <_O(1)clo1 13628   sum_csu 13829   logclog 23583  Λcvma 24097  ψcchp 24098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105  df-mu 24106

This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  24501