Theorem pntrlog2bndlem6 22807

Description: Lemma for pntrlog2bnd 22808. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bnd.t	|- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
pntrlog2bndlem5.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntrlog2bndlem5.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
pntrlog2bndlem6.1	|- ( ph -> A e. RR )
pntrlog2bndlem6.2	|- ( ph -> 1 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   B, n, x, y   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y   T, n

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   B( i, a)   R( i, a)   S( i, a)   T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
2	1	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
3		1rp 10987	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
5		1red 9393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
6		eliooord 11347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
7	6	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
8	7	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
9	5, 2, 8	ltled 9514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
10	2, 4, 9	rpgecld 11054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
11		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
12	11	pntrf 22787	. . . . . . . . . . . 12 |- R : RR+ --> RR
13	12	ffvelrni 5837	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
14	10, 13	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
15	14	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
16	15	abscld 12914	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
17	10	relogcld 22047	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
18	16, 17	remulcld 9406	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
19		2re 10383	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
21	2, 8	rplogcld 22053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
22	20, 21	rerpdivcld 11046	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
23		fzfid 11787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
24	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
25		elfznn 11470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
27	26	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
28	24, 27	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
29	12	ffvelrni 5837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	30	recnd 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
32	31	abscld 12914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
33	27	relogcld 22047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
34	32, 33	remulcld 9406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
35	23, 34	fsumrecl 13203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
36	22, 35	remulcld 9406	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
37	18, 36	resubcld 9768	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
38	37	recnd 9404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
39		fzfid 11787	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
40		ssun2 3515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
41		pntsval.1	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
42		pntrlog2bnd.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
43		pntrlog2bndlem5.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR+ )
44		pntrlog2bndlem5.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
45		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR )
46		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ A )
47	41, 11, 42, 43, 44, 45, 46	pntrlog2bndlem6a 22806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
48	40, 47	syl5sseqr 3400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
49	48	sselda 3351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
50	49, 34	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
51	39, 50	fsumrecl 13203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
52	22, 51	remulcld 9406	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
53	52	recnd 9404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
54	2	recnd 9404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
55	10	rpne0d 11024	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
56	38, 53, 54, 55	divdird 10137	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) )
57	18	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
58	36	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
59	57, 58, 53	subsubd 9739	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
60	22	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. CC )
61	35	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
62	51	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
63	60, 61, 62	subdid 9792	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
64	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
65	45, 64, 46	rpgecld 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR+ )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
67	2, 66	rerpdivcld 11046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR )
68		reflcl 11638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
70	69	ltp1d 10255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) )
71		fzdisj 11468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
73	34	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
74	72, 47, 23, 73	fsumsplit 13208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
75	74	oveq1d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
76		fzfid 11787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
77		ssun1 3514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
78	77, 47	syl5sseqr 3400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
79	78	sselda 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
80	79, 34	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
81	76, 80	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
82	81	recnd 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
83	82, 62	pncand 9712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
85	84	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
86	63, 85	eqtr3d 2472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
87	86	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
88	59, 87	eqtr3d 2472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
89	88	oveq1d 6101	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
90	56, 89	eqtr3d 2472	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
91	90	mpteq2dva 4373	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) )
92	37, 10	rerpdivcld 11046	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
93	52, 10	rerpdivcld 11046	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) e. RR )
94	41, 11, 42, 43, 44	pntrlog2bndlem5 22805	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
95		ioossre 11349	. . . . 5 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
96	95	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
97		1red 9393	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
98	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR )
99	43	rpred 11019	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
100	65	relogcld 22047	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
101	100, 97	readdcld 9405	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
102	99, 101	remulcld 9406	. . . . 5 |- ( ph -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
103	98, 102	remulcld 9406	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
104	51, 21	rerpdivcld 11046	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
105	99	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR )
106	66	relogcld 22047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
107	106, 5	readdcld 9405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
108	105, 107	remulcld 9406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
109	2, 108	remulcld 9406	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
110		2rp 10988	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR+ )
112	111	rpge0d 11023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ 2 )
113	105, 2	remulcld 9406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
114	49, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
115	114	nnrecred 10359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
116	39, 115	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
117	113, 116	remulcld 9406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
118	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
119	50, 118	rerpdivcld 11046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
120	105	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. RR )
121	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
122	120, 121	remulcld 9406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
123	122, 115	remulcld 9406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) e. RR )
124	49, 32	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
125	121, 114	nndivred 10362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
126	120, 125	remulcld 9406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) e. RR )
127	49, 27	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
128	127	relogcld 22047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
129	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
130	129	relogcld 22047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
131	49, 31	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
132	131	absge0d 12922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
133		elfzle2 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
134	133	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
135	114	nnzd 10738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
136		flge 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
137	121, 135, 136	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
138	134, 137	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
139	127, 129	logled 22051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) ) )
140	138, 139	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) )
141	128, 130, 124, 132, 140	lemul2ad 10265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) )
142	50, 124, 118	ledivmul2d 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <-> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
143	141, 142	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
144	125	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
145	49, 28	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
146	145	rpne0d 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) =/= 0 )
147	131, 144, 146	absdivd 12933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) )
148	10	rpge0d 11023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
149	148	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ x )
150	121, 127, 149	divge0d 11055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / n ) )
151	125, 150	absidd 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x / n ) ) = ( x / n ) )
152	151	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
153	147, 152	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
154	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
155		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( R ` y ) = ( R ` ( x / n ) ) )
156		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
157	155, 156	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) )
158	157	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
159	158	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B <-> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
160	159	rspcv 3064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
161	145, 154, 160	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B )
162	153, 161	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B )
163	124, 120, 145	ledivmul2d 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B <-> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) ) )
164	162, 163	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
165	119, 124, 126, 143, 164	letrd 9520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
166	120	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. CC )
167	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
168	114	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
169	114	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
170	166, 167, 168, 169	divassd 10134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( B x. ( x / n ) ) )
171	166, 167	mulcld 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
172	171, 168, 169	divrecd 10102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
173	170, 172	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
174	165, 173	breqtrd 4311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
175	39, 119, 123, 174	fsumle 13254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
176	17	recnd 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
177	49, 73	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
178	21	rpne0d 11024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
179	39, 176, 177, 178	fsumdivc 13245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) )
180	105	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. CC )
181	180, 54	mulcld 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
182	115	recnd 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
183	39, 181, 182	fsummulc2 13243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
184	175, 179, 183	3brtr4d 4317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
185	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR+ )
186	185	rpge0d 11023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
187	105, 2, 186, 148	mulge0d 9908	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( B x. x ) )
188	26	nnrecred 10359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
189	23, 188	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
190	17, 106	resubcld 9768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) e. RR )
191	17, 5	readdcld 9405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. RR )
192	79, 188	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
193	76, 192	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
194		harmonicubnd 22378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
195	2, 9, 194	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
196	10, 66	relogdivd 22050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) = ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) )
197	10, 66	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR+ )
198		harmoniclbnd 22377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR+ -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
199	197, 198	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
200	196, 199	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
201	189, 190, 191, 193, 195, 200	le2subd 9950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) )
202	26	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
203	26	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
204	202, 203	reccld 10092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
205	72, 47, 23, 204	fsumsplit 13208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
206	205	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) )
207	79, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
208	207	nnrecred 10359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
209	76, 208	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
210	209	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. CC )
211	116	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. CC )
212	210, 211	pncan2d 9713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
213	206, 212	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
214		1cnd 9394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
215	106	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
216	176, 214, 215	pnncand 9750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( 1 + ( log ` A ) ) )
217	214, 215	addcomd 9563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( log ` A ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
218	216, 217	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
219	201, 213, 218	3brtr3d 4316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) )
220	116, 107, 113, 187, 219	lemul2ad 10265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) )
221	107	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
222	180, 54, 221	mulassd 9401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
223	180, 54, 221	mul12d 9570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
224	222, 223	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
225	220, 224	breqtrd 4311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
226	104, 117, 109, 184, 225	letrd 9520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
227	104, 109, 20, 112, 226	lemul2ad 10265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
228		2cnd 10386	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
229	228, 176, 62, 178	div32d 10122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) )
230	215, 214	addcld 9397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
231	180, 230	mulcld 9398	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. CC )
232	54, 228, 231	mul12d 9570	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
233	227, 229, 232	3brtr4d 4317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
234	103	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
235	52, 234, 10	ledivmuld 11068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) <-> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) ) )
236	233, 235	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
237	236	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
238	96, 93, 97, 103, 237	ello1d 12993	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
239	92, 93, 94, 238	lo1add 13096	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) e. <_O(1) )
240	91, 239	eqeltrrd 2513	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   +oocpnf 9407   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   ZZcz 10638   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   ...cfz 11429   |_cfl 11632   abscabs 12715   <_O(1)clo1 12957   sum_csu 13155   logclog 21981  Λcvma 22404  ψcchp 22405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-em 22361  df-cht 22409  df-vma 22410  df-chp 22411  df-ppi 22412  df-mu 22413

This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  22808