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Theorem pntrlog2bndlem6 22807
Description: Lemma for pntrlog2bnd 22808. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bnd.t  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
pntrlog2bndlem5.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem5.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
pntrlog2bndlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
pntrlog2bndlem6.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    B, n, x, y    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y    T, n
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    B( i, a)    R( i, a)    S( i, a)    T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
StepHypRef Expression
1 elioore 11322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
5 1red 9393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
87simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 11054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
11 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1211pntrf 22787 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
1312ffvelrni 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1514recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1615abscld 12914 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
1710relogcld 22047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
19 2re 10383 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
212, 8rplogcld 22053 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2220, 21rerpdivcld 11046 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
23 fzfid 11787 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2410adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
25 elfznn 11470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nnrpd 11018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2824, 27rpdivcld 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2912ffvelrni 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3130recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3231abscld 12914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3327relogcld 22047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3432, 33remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3523, 34fsumrecl 13203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3622, 35remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3718, 36resubcld 9768 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837recnd 9404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
39 fzfid 11787 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
40 ssun2 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
41 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
42 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
43 pntrlog2bndlem5.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
44 pntrlog2bndlem5.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
45 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
46 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
4741, 11, 42, 43, 44, 45, 46pntrlog2bndlem6a 22806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
4840, 47syl5sseqr 3400 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
4948sselda 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
5049, 34syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5139, 50fsumrecl 13203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5222, 51remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
5352recnd 9404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
542recnd 9404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
5510rpne0d 11024 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
5638, 53, 54, 55divdird 10137 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )
5718recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
5836recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5957, 58, 53subsubd 9739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
6022recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6135recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6251recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6360, 61, 62subdid 9792 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
643a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6545, 64, 46rpgecld 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
672, 66rerpdivcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR )
68 reflcl 11638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
7069ltp1d 10255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) )
71 fzdisj 11468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  <  ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7334recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7472, 47, 23, 73fsumsplit 13208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
7574oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
76 fzfid 11787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
77 ssun1 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
7877, 47syl5sseqr 3400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7978sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
8079, 34syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8176, 80fsumrecl 13203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8281recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
8382, 62pncand 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8475, 83eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8584oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8663, 85eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8786oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8859, 87eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8988oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9056, 89eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9190mpteq2dva 4373 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) ) )
9237, 10rerpdivcld 11046 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
9352, 10rerpdivcld 11046 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  e.  RR )
9441, 11, 42, 43, 44pntrlog2bndlem5 22805 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
95 ioossre 11349 . . . . 5  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR )
97 1red 9393 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9819a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9943rpred 11019 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10065relogcld 22047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
101100, 97readdcld 9405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
10299, 101remulcld 9406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) )  e.  RR )
10398, 102remulcld 9406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
10451, 21rerpdivcld 11046 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
10599adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  RR )
10666relogcld 22047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
107106, 5readdcld 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
108105, 107remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
1092, 108remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
110 2rp 10988 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
111110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR+ )
112111rpge0d 11023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  2 )
113105, 2remulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
11449, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
115114nnrecred 10359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11639, 115fsumrecl 13203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
117113, 116remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
11821adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
11950, 118rerpdivcld 11046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
120105adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
1212adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
122120, 121remulcld 9406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
123122, 115remulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12449, 32syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
125121, 114nndivred 10362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
126120, 125remulcld 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  e.  RR )
12749, 27syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
128127relogcld 22047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
12910adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
130129relogcld 22047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
13149, 31syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
132131absge0d 12922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
133 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  <_  ( |_ `  x
) )
134133adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  x ) )
135114nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
136 flge 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_ `  x ) ) )
137121, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_
`  x ) ) )
138134, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
139127, 129logled 22051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  ( log `  n
)  <_  ( log `  x ) ) )
140138, 139mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  <_  ( log `  x ) )
141128, 130, 124, 132, 140lemul2ad 10265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) )
14250, 124, 118ledivmul2d 11069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) ) )
143141, 142mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )
144125recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
14549, 28syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
146145rpne0d 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  =/=  0
)
147131, 144, 146absdivd 12933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( abs `  (
x  /  n ) ) ) )
14810rpge0d 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  x )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  x )
150121, 127, 149divge0d 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( x  /  n ) )
151125, 150absidd 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  /  n
) )  =  ( x  /  n ) )
152151oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( abs `  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
153147, 152eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
15444ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B )
155 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  ( x  /  n
) ) )
156 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  y  =  ( x  /  n ) )
157155, 156oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( R `  y
)  /  y )  =  ( ( R `
 ( x  /  n ) )  / 
( x  /  n
) ) )
158157fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  =  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) ) )
159158breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
) )
160159rspcv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) )  <_  B )
)
161145, 154, 160sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
)
162153, 161eqbrtrrd 4309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( x  /  n
) )  <_  B
)
163124, 120, 145ledivmul2d 11069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) )  <_  B 
<->  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) ) )
164162, 163mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
165119, 124, 126, 143, 164letrd 9520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) )
166120recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  CC )
16754adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
168114nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
169114nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
170166, 167, 168, 169divassd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
171166, 167mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
172171, 168, 169divrecd 10102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
173170, 172eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
174165, 173breqtrd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) ) )
17539, 119, 123, 174fsumle 13254 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( B  x.  x )  x.  (
1  /  n ) ) )
17617recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
17749, 73syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
17821rpne0d 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
17939, 176, 177, 178fsumdivc 13245 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )
180105recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  CC )
181180, 54mulcld 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
182115recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
18339, 181, 182fsummulc2 13243 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n ) ) )
184175, 179, 1833brtr4d 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
18543adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  B  e.  RR+ )
186185rpge0d 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  B )
187105, 2, 186, 148mulge0d 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( B  x.  x
) )
18826nnrecred 10359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
18923, 188fsumrecl 13203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
19017, 106resubcld 9768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
19117, 5readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  +  1 )  e.  RR )
19279, 188syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
19376, 192fsumrecl 13203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
194 harmonicubnd 22378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
1952, 9, 194syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
19610, 66relogdivd 22050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( log `  A ) ) )
19710, 66rpdivcld 11036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR+ )
198 harmoniclbnd 22377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  A
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )
199197, 198syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
200196, 199eqbrtrrd 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
201189, 190, 191, 193, 195, 200le2subd 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) ) )
20226nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
20326nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
204202, 203reccld 10092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
20572, 47, 23, 204fsumsplit 13208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
206205oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
20779, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
208207nnrecred 10359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
20976, 208fsumrecl 13203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
210209recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
211116recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
212210, 211pncan2d 9713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) )
213206, 212eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n ) )
214 1cnd 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
215106recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
216176, 214, 215pnncand 9750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( 1  +  ( log `  A
) ) )
217214, 215addcomd 9563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  +  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  1 ) )
218216, 217eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( log `  A )  +  1 ) )
219201, 213, 2183brtr3d 4316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
220116, 107, 113, 187, 219lemul2ad 10265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )
221107recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
222180, 54, 221mulassd 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( B  x.  ( x  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
223180, 54, 221mul12d 9570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( x  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
224222, 223eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
225220, 224breqtrd 4311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
226104, 117, 109, 184, 225letrd 9520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
227104, 109, 20, 112, 226lemul2ad 10265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( 2  x.  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) ) )
228 2cnd 10386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
229228, 176, 62, 178div32d 10122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
230215, 214addcld 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
231180, 230mulcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
23254, 228, 231mul12d 9570 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
233227, 229, 2323brtr4d 4317 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
234103adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
23552, 234, 10ledivmuld 11068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  <->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) ) )
236233, 235mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
237236adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
23896, 93, 97, 103, 237ello1d 12993 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  e. 
<_O(1) )
23992, 93, 94, 238lo1add 13096 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_O(1) )
24091, 239eqeltrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   +oocpnf 9407    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   ZZcz 10638   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   ...cfz 11429   |_cfl 11632   abscabs 12715   <_O(1)clo1 12957   sum_csu 13155   logclog 21981  Λcvma 22404  ψcchp 22405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-em 22361  df-cht 22409  df-vma 22410  df-chp 22411  df-ppi 22412  df-mu 22413
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  22808
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