Theorem pntrlog2bndlem6 22958

Description: Lemma for pntrlog2bnd 22959. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bnd.t	|- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
pntrlog2bndlem5.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntrlog2bndlem5.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
pntrlog2bndlem6.1	|- ( ph -> A e. RR )
pntrlog2bndlem6.2	|- ( ph -> 1 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   B, n, x, y   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y   T, n

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   B( i, a)   R( i, a)   S( i, a)   T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
2	1	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
3		1rp 11099	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
5		1red 9505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
6		eliooord 11459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
7	6	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
8	7	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
9	5, 2, 8	ltled 9626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
10	2, 4, 9	rpgecld 11166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
11		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
12	11	pntrf 22938	. . . . . . . . . . . 12 |- R : RR+ --> RR
13	12	ffvelrni 5944	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
14	10, 13	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
15	14	recnd 9516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
16	15	abscld 13033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
17	10	relogcld 22198	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
18	16, 17	remulcld 9518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
19		2re 10495	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
21	2, 8	rplogcld 22204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
22	20, 21	rerpdivcld 11158	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
23		fzfid 11905	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
24	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
25		elfznn 11588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
27	26	nnrpd 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
28	24, 27	rpdivcld 11148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
29	12	ffvelrni 5944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	30	recnd 9516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
32	31	abscld 13033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
33	27	relogcld 22198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
34	32, 33	remulcld 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
35	23, 34	fsumrecl 13322	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
36	22, 35	remulcld 9518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
37	18, 36	resubcld 9880	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
38	37	recnd 9516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
39		fzfid 11905	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
40		ssun2 3621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
41		pntsval.1	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
42		pntrlog2bnd.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
43		pntrlog2bndlem5.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR+ )
44		pntrlog2bndlem5.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
45		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR )
46		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ A )
47	41, 11, 42, 43, 44, 45, 46	pntrlog2bndlem6a 22957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
48	40, 47	syl5sseqr 3506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
49	48	sselda 3457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
50	49, 34	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
51	39, 50	fsumrecl 13322	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
52	22, 51	remulcld 9518	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
53	52	recnd 9516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
54	2	recnd 9516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
55	10	rpne0d 11136	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
56	38, 53, 54, 55	divdird 10249	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) )
57	18	recnd 9516	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
58	36	recnd 9516	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
59	57, 58, 53	subsubd 9851	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
60	22	recnd 9516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. CC )
61	35	recnd 9516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
62	51	recnd 9516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
63	60, 61, 62	subdid 9904	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
64	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
65	45, 64, 46	rpgecld 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR+ )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
67	2, 66	rerpdivcld 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR )
68		reflcl 11756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
70	69	ltp1d 10367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) )
71		fzdisj 11586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
73	34	recnd 9516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
74	72, 47, 23, 73	fsumsplit 13327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
75	74	oveq1d 6208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
76		fzfid 11905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
77		ssun1 3620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
78	77, 47	syl5sseqr 3506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
79	78	sselda 3457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
80	79, 34	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
81	76, 80	fsumrecl 13322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
82	81	recnd 9516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
83	82, 62	pncand 9824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
85	84	oveq2d 6209	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
86	63, 85	eqtr3d 2494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
87	86	oveq2d 6209	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
88	59, 87	eqtr3d 2494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
89	88	oveq1d 6208	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
90	56, 89	eqtr3d 2494	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
91	90	mpteq2dva 4479	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) )
92	37, 10	rerpdivcld 11158	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
93	52, 10	rerpdivcld 11158	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) e. RR )
94	41, 11, 42, 43, 44	pntrlog2bndlem5 22956	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
95		ioossre 11461	. . . . 5 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
96	95	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
97		1red 9505	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
98	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR )
99	43	rpred 11131	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
100	65	relogcld 22198	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
101	100, 97	readdcld 9517	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
102	99, 101	remulcld 9518	. . . . 5 |- ( ph -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
103	98, 102	remulcld 9518	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
104	51, 21	rerpdivcld 11158	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
105	99	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR )
106	66	relogcld 22198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
107	106, 5	readdcld 9517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
108	105, 107	remulcld 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
109	2, 108	remulcld 9518	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
110		2rp 11100	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR+ )
112	111	rpge0d 11135	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ 2 )
113	105, 2	remulcld 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
114	49, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
115	114	nnrecred 10471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
116	39, 115	fsumrecl 13322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
117	113, 116	remulcld 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
118	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
119	50, 118	rerpdivcld 11158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
120	105	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. RR )
121	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
122	120, 121	remulcld 9518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
123	122, 115	remulcld 9518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) e. RR )
124	49, 32	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
125	121, 114	nndivred 10474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
126	120, 125	remulcld 9518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) e. RR )
127	49, 27	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
128	127	relogcld 22198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
129	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
130	129	relogcld 22198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
131	49, 31	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
132	131	absge0d 13041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
133		elfzle2 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
134	133	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
135	114	nnzd 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
136		flge 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
137	121, 135, 136	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
138	134, 137	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
139	127, 129	logled 22202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) ) )
140	138, 139	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) )
141	128, 130, 124, 132, 140	lemul2ad 10377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) )
142	50, 124, 118	ledivmul2d 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <-> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
143	141, 142	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
144	125	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
145	49, 28	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
146	145	rpne0d 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) =/= 0 )
147	131, 144, 146	absdivd 13052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) )
148	10	rpge0d 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
149	148	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ x )
150	121, 127, 149	divge0d 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / n ) )
151	125, 150	absidd 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x / n ) ) = ( x / n ) )
152	151	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
153	147, 152	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
154	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
155		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( R ` y ) = ( R ` ( x / n ) ) )
156		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
157	155, 156	oveq12d 6211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) )
158	157	fveq2d 5796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
159	158	breq1d 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B <-> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
160	159	rspcv 3168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
161	145, 154, 160	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B )
162	153, 161	eqbrtrrd 4415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B )
163	124, 120, 145	ledivmul2d 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B <-> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) ) )
164	162, 163	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
165	119, 124, 126, 143, 164	letrd 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
166	120	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. CC )
167	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
168	114	nncnd 10442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
169	114	nnne0d 10470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
170	166, 167, 168, 169	divassd 10246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( B x. ( x / n ) ) )
171	166, 167	mulcld 9510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
172	171, 168, 169	divrecd 10214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
173	170, 172	eqtr3d 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
174	165, 173	breqtrd 4417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
175	39, 119, 123, 174	fsumle 13373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
176	17	recnd 9516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
177	49, 73	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
178	21	rpne0d 11136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
179	39, 176, 177, 178	fsumdivc 13364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) )
180	105	recnd 9516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. CC )
181	180, 54	mulcld 9510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
182	115	recnd 9516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
183	39, 181, 182	fsummulc2 13362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
184	175, 179, 183	3brtr4d 4423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
185	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR+ )
186	185	rpge0d 11135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
187	105, 2, 186, 148	mulge0d 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( B x. x ) )
188	26	nnrecred 10471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
189	23, 188	fsumrecl 13322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
190	17, 106	resubcld 9880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) e. RR )
191	17, 5	readdcld 9517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. RR )
192	79, 188	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
193	76, 192	fsumrecl 13322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
194		harmonicubnd 22529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
195	2, 9, 194	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
196	10, 66	relogdivd 22201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) = ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) )
197	10, 66	rpdivcld 11148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR+ )
198		harmoniclbnd 22528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR+ -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
199	197, 198	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
200	196, 199	eqbrtrrd 4415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
201	189, 190, 191, 193, 195, 200	le2subd 10062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) )
202	26	nncnd 10442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
203	26	nnne0d 10470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
204	202, 203	reccld 10204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
205	72, 47, 23, 204	fsumsplit 13327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
206	205	oveq1d 6208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) )
207	79, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
208	207	nnrecred 10471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
209	76, 208	fsumrecl 13322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
210	209	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. CC )
211	116	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. CC )
212	210, 211	pncan2d 9825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
213	206, 212	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
214		1cnd 9506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
215	106	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
216	176, 214, 215	pnncand 9862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( 1 + ( log ` A ) ) )
217	214, 215	addcomd 9675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( log ` A ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
218	216, 217	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
219	201, 213, 218	3brtr3d 4422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) )
220	116, 107, 113, 187, 219	lemul2ad 10377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) )
221	107	recnd 9516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
222	180, 54, 221	mulassd 9513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
223	180, 54, 221	mul12d 9682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
224	222, 223	eqtrd 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
225	220, 224	breqtrd 4417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
226	104, 117, 109, 184, 225	letrd 9632	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
227	104, 109, 20, 112, 226	lemul2ad 10377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
228		2cnd 10498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
229	228, 176, 62, 178	div32d 10234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) )
230	215, 214	addcld 9509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
231	180, 230	mulcld 9510	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. CC )
232	54, 228, 231	mul12d 9682	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
233	227, 229, 232	3brtr4d 4423	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
234	103	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
235	52, 234, 10	ledivmuld 11180	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) <-> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) ) )
236	233, 235	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
237	236	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
238	96, 93, 97, 103, 237	ello1d 13112	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
239	92, 93, 94, 238	lo1add 13215	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) e. <_O(1) )
240	91, 239	eqeltrrd 2540	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   u. cun 3427   i^i cin 3428   C_ wss 3429   (/)c0 3738   ifcif 3892   class class class wbr 4393   |-> cmpt 4451   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   +oocpnf 9519   < clt 9522   <_ cle 9523   - cmin 9699   / cdiv 10097   NNcn 10426   2c2 10475   ZZcz 10750   RR+crp 11095   (,)cioo 11404   ...cfz 11547   |_cfl 11750   abscabs 12834   <_O(1)clo1 13076   sum_csu 13274   logclog 22132  Λcvma 22555  ψcchp 22556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-o1 13079  df-lo1 13080  df-sum 13275  df-ef 13464  df-e 13465  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-prm 13875  df-pc 14015  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-cxp 22135  df-em 22512  df-cht 22560  df-vma 22561  df-chp 22562  df-ppi 22563  df-mu 22564

This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  22959