Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elioore 11691 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
  |
2 | 1 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . 12
 
      |
3 | | 1rp 11329 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
 
      |
5 | | 1red 9676 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
      |
6 | | eliooord 11719 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
    |
7 | 6 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
    
   |
8 | 7 | simpld 466 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
      |
9 | 5, 2, 8 | ltled 9800 |
. . . . . . . . . . . 12
 
      |
10 | 2, 4, 9 | rpgecld 11400 |
. . . . . . . . . . 11
 
      |
11 | | pntrlog2bnd.r |
. . . . . . . . . . . . 13
  ψ     |
12 | 11 | pntrf 24480 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
13 | 12 | ffvelrni 6036 |
. . . . . . . . . . 11

      |
14 | 10, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
 
          |
15 | 14 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
 
          |
16 | 15 | abscld 13575 |
. . . . . . . 8
 
              |
17 | 10 | relogcld 23651 |
. . . . . . . 8
 
          |
18 | 16, 17 | remulcld 9689 |
. . . . . . 7
 
                    |
19 | | 2re 10701 |
. . . . . . . . . 10
 |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
 
      |
21 | 2, 8 | rplogcld 23657 |
. . . . . . . . 9
 
          |
22 | 20, 21 | rerpdivcld 11392 |
. . . . . . . 8
 
            |
23 | | fzfid 12224 |
. . . . . . . . 9
 
              |
24 | 10 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               
  |
25 | | elfznn 11854 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
26 | 25 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
               
  |
27 | 26 | nnrpd 11362 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               
  |
28 | 24, 27 | rpdivcld 11381 |
. . . . . . . . . . . . 13
               
    |
29 | 12 | ffvelrni 6036 |
. . . . . . . . . . . . 13
  
        |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
               
        |
31 | 30 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . 11
               
        |
32 | 31 | abscld 13575 |
. . . . . . . . . 10
               
            |
33 | 27 | relogcld 23651 |
. . . . . . . . . 10
               
      |
34 | 32, 33 | remulcld 9689 |
. . . . . . . . 9
               
       
          |
35 | 23, 34 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . 8
 
                                |
36 | 22, 35 | remulcld 9689 |
. . . . . . 7
 
                                        |
37 | 18, 36 | resubcld 10068 |
. . . . . 6
 
                                                        |
38 | 37 | recnd 9687 |
. . . . 5
 
                                                        |
39 | | fzfid 12224 |
. . . . . . . 8
 
         
            |
40 | | ssun2 3589 |
. . . . . . . . . . 11
                                
            |
41 | | pntsval.1 |
. . . . . . . . . . . 12
            Λ       ψ        |
42 | | pntrlog2bnd.t |
. . . . . . . . . . . 12
              |
43 | | pntrlog2bndlem5.1 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
44 | | pntrlog2bndlem5.2 |
. . . . . . . . . . . 12
              |
45 | | pntrlog2bndlem6.1 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
46 | | pntrlog2bndlem6.2 |
. . . . . . . . . . . 12

  |
47 | 41, 11, 42, 43, 44, 45, 46 | pntrlog2bndlem6a 24499 |
. . . . . . . . . . 11
 
                            
             |
48 | 40, 47 | syl5sseqr 3467 |
. . . . . . . . . 10
 
         
                    |
49 | 48 | sselda 3418 |
. . . . . . . . 9
                       
          |
50 | 49, 34 | syldan 478 |
. . . . . . . 8
                       
       
          |
51 | 39, 50 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . 7
 
                                        |
52 | 22, 51 | remulcld 9689 |
. . . . . 6
 
                 
                              |
53 | 52 | recnd 9687 |
. . . . 5
 
                 
                              |
54 | 2 | recnd 9687 |
. . . . 5
 
      |
55 | 10 | rpne0d 11369 |
. . . . 5
 
      |
56 | 38, 53, 54, 55 | divdird 10443 |
. . . 4
 
                                                                                                                                                                                                        |
57 | 18 | recnd 9687 |
. . . . . . 7
 
                    |
58 | 36 | recnd 9687 |
. . . . . . 7
 
                                        |
59 | 57, 58, 53 | subsubd 10033 |
. . . . . 6
 
                                                                                                                                                                                                  |
60 | 22 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
 
            |
61 | 35 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
 
                                |
62 | 51 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
 
                                        |
63 | 60, 61, 62 | subdid 10095 |
. . . . . . . 8
 
                                                                                  
                                                                       |
64 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
65 | 45, 64, 46 | rpgecld 11400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   |
66 | 65 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
      |
67 | 2, 66 | rerpdivcld 11392 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
        |
68 | | reflcl 12065 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
           |
69 | 67, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
            |
70 | 69 | ltp1d 10559 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
              
     |
71 | | fzdisj 11852 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                             |
72 | 70, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                                  |
73 | 34 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . 12
               
       
          |
74 | 72, 47, 23, 73 | fsumsplit 13883 |
. . . . . . . . . . 11
 
                               
      
                                                         |
75 | 74 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . . . 10
 
                                                                                                                                                                        |
76 | | fzfid 12224 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
          
     |
77 | | ssun1 3588 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
      
                   
            |
78 | 77, 47 | syl5sseqr 3467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
          
             |
79 | 78 | sselda 3418 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                 
          |
80 | 79, 34 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . . 13
                 
       
          |
81 | 76, 80 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                                  |
82 | 81 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . 11
 
                                  |
83 | 82, 62 | pncand 10006 |
. . . . . . . . . 10
 
                                                                                                        
      
                      |
84 | 75, 83 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . 9
 
                                                                  
      
                      |
85 | 84 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . 8
 
                                                                                                                |
86 | 63, 85 | eqtr3d 2507 |
. . . . . . 7
 
                                                                                                                        |
87 | 86 | oveq2d 6324 |
. . . . . 6
 
                                                                                                                                                        |
88 | 59, 87 | eqtr3d 2507 |
. . . . 5
 
                                                                                                                                                        |
89 | 88 | oveq1d 6323 |
. . . 4
 
                                                                                                                                                            |
90 | 56, 89 | eqtr3d 2507 |
. . 3
 
                                                                                                                                                              |
91 | 90 | mpteq2dva 4482 |
. 2
                                                                                                                                                                     |
92 | 37, 10 | rerpdivcld 11392 |
. . 3
 
                                                          |
93 | 52, 10 | rerpdivcld 11392 |
. . 3
 
                                                  |
94 | 41, 11, 42, 43, 44 | pntrlog2bndlem5 24498 |
. . 3
                                                                |
95 | | ioossre 11721 |
. . . . 5
    |
96 | 95 | a1i 11 |
. . . 4
      |
97 | | 1red 9676 |
. . . 4
   |
98 | 19 | a1i 11 |
. . . . 5
   |
99 | 43 | rpred 11364 |
. . . . . 6
   |
100 | 65 | relogcld 23651 |
. . . . . . 7
       |
101 | 100, 97 | readdcld 9688 |
. . . . . 6
         |
102 | 99, 101 | remulcld 9689 |
. . . . 5
           |
103 | 98, 102 | remulcld 9689 |
. . . 4
  
          |
104 | 51, 21 | rerpdivcld 11392 |
. . . . . . . 8
 
                                              |
105 | 99 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
      |
106 | 66 | relogcld 23651 |
. . . . . . . . . . 11
 
          |
107 | 106, 5 | readdcld 9688 |
. . . . . . . . . 10
 
            |
108 | 105, 107 | remulcld 9689 |
. . . . . . . . 9
 
    
         |
109 | 2, 108 | remulcld 9689 |
. . . . . . . 8
 
                |
110 | | 2rp 11330 |
. . . . . . . . . 10
 |
111 | 110 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
 
      |
112 | 111 | rpge0d 11368 |
. . . . . . . 8
 
      |
113 | 105, 2 | remulcld 9689 |
. . . . . . . . . 10
 
    
   |
114 | 49, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
                       
  |
115 | 114 | nnrecred 10677 |
. . . . . . . . . . 11
                       
    |
116 | 39, 115 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . . . 10
 
                          |
117 | 113, 116 | remulcld 9689 |
. . . . . . . . 9
 
                              |
118 | 21 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
                       
      |
119 | 50, 118 | rerpdivcld 11392 |
. . . . . . . . . . 11
                       
                        |
120 | 105 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
  |
121 | 2 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
  |
122 | 120, 121 | remulcld 9689 |
. . . . . . . . . . . 12
                       
    |
123 | 122, 115 | remulcld 9689 |
. . . . . . . . . . 11
                       
 
      |
124 | 49, 32 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
            |
125 | 121, 114 | nndivred 10680 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
    |
126 | 120, 125 | remulcld 9689 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
      |
127 | 49, 27 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
  |
128 | 127 | relogcld 23651 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       
      |
129 | 10 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
  |
130 | 129 | relogcld 23651 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       
      |
131 | 49, 31 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
        |
132 | 131 | absge0d 13583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       
            |
133 | | elfzle2 11829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                       |
134 | 133 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                       
      |
135 | 114 | nnzd 11062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                       
  |
136 | | flge 12074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
         |
137 | 121, 135,
136 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                       

       |
138 | 134, 137 | mpbird 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
  |
139 | 127, 129 | logled 23655 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
    
       |
140 | 138, 139 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       
          |
141 | 128, 130,
124, 132, 140 | lemul2ad 10569 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
       
                          |
142 | 50, 124, 118 | ledivmul2d 11415 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
                                                                    |
143 | 141, 142 | mpbird 240 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
                                  |
144 | 125 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                       
    |
145 | 49, 28 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                       
    |
146 | 145 | rpne0d 11369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                       
    |
147 | 131, 144,
146 | absdivd 13594 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
       
                          |
148 | 10 | rpge0d 11368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 
      |
149 | 148 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
                       
  |
150 | 121, 127,
149 | divge0d 11401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                       
    |
151 | 125, 150 | absidd 13561 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                       
          |
152 | 151 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
       
                          |
153 | 147, 152 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       
       
                      |
154 | 44 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                       
          
  |
155 | | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
          
    |
156 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
       |
157 | 155, 156 | oveq12d 6326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
                     |
158 | 157 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                             |
159 | 158 | breq1d 4405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
             
       
         |
160 | 159 | rspcv 3132 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
  
 
                       
   |
161 | 145, 154,
160 | sylc 61 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       
       
        |
162 | 153, 161 | eqbrtrrd 4418 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
       
        |
163 | 124, 120,
145 | ledivmul2d 11415 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
                          
     |
164 | 162, 163 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
          
     |
165 | 119, 124,
126, 143, 164 | letrd 9809 |
. . . . . . . . . . . 12
                       
                       
    |
166 | 120 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
  |
167 | 54 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
  |
168 | 114 | nncnd 10647 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
  |
169 | 114 | nnne0d 10676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
  |
170 | 166, 167,
168, 169 | divassd 10440 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
 
        |
171 | 166, 167 | mulcld 9681 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       
    |
172 | 171, 168,
169 | divrecd 10408 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       
 
          |
173 | 170, 172 | eqtr3d 2507 |
. . . . . . . . . . . 12
                       
            |
174 | 165, 173 | breqtrd 4420 |
. . . . . . . . . . 11
                       
                              |
175 | 39, 119, 123, 174 | fsumle 13936 |
. . . . . . . . . 10
 
                                                                      |
176 | 17 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . 11
 
          |
177 | 49, 73 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . 11
                       
       
          |
178 | 21 | rpne0d 11369 |
. . . . . . . . . . 11
 
          |
179 | 39, 176, 177, 178 | fsumdivc 13924 |
. . . . . . . . . 10
 
                                                  
                                   |
180 | 105 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . 12
 
      |
181 | 180, 54 | mulcld 9681 |
. . . . . . . . . . 11
 
    
   |
182 | 115 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . 11
                       
    |
183 | 39, 181, 182 | fsummulc2 13922 |
. . . . . . . . . 10
 
                                                      |
184 | 175, 179,
183 | 3brtr4d 4426 |
. . . . . . . . 9
 
                                               
     
                |
185 | 43 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
      |
186 | 185 | rpge0d 11368 |
. . . . . . . . . . . 12
 
      |
187 | 105, 2, 186, 148 | mulge0d 10211 |
. . . . . . . . . . 11
 
        |
188 | 26 | nnrecred 10677 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               
    |
189 | 23, 188 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                  |
190 | 17, 106 | resubcld 10068 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                |
191 | 17, 5 | readdcld 9688 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
            |
192 | 79, 188 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                 
    |
193 | 76, 192 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                    |
194 | | harmonicubnd 24014 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       |
195 | 2, 9, 194 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
               
        |
196 | 10, 66 | relogdivd 23654 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
                      |
197 | 10, 66 | rpdivcld 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
        |
198 | | harmoniclbnd 24013 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  
                      |
199 | 197, 198 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
                 
        |
200 | 196, 199 | eqbrtrrd 4418 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                     
        |
201 | 189, 190,
191, 193, 195, 200 | le2subd 10254 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                                                    |
202 | 26 | nncnd 10647 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
               
  |
203 | 26 | nnne0d 10676 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
               
  |
204 | 202, 203 | reccld 10398 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
               
    |
205 | 72, 47, 23, 204 | fsumsplit 13883 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
                               
     
                |
206 | 205 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                                                                                      |
207 | 79, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                 
  |
208 | 207 | nnrecred 10677 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                 
    |
209 | 76, 208 | fsumrecl 13877 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
                    |
210 | 209 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
                    |
211 | 116 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
                          |
212 | 210, 211 | pncan2d 10007 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                                                              
               |
213 | 206, 212 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                                                      |
214 | | 1cnd 9677 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
      |
215 | 106 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
          |
216 | 176, 214,
215 | pnncand 10044 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                              |
217 | 214, 215 | addcomd 9853 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                  |
218 | 216, 217 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                              |
219 | 201, 213,
218 | 3brtr3d 4425 |
. . . . . . . . . . 11
 
                       
        |
220 | 116, 107,
113, 187, 219 | lemul2ad 10569 |
. . . . . . . . . 10
 
                                        |
221 | 107 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . 12
 
            |
222 | 180, 54, 221 | mulassd 9684 |
. . . . . . . . . . 11
 
               
          |
223 | 180, 54, 221 | mul12d 9860 |
. . . . . . . . . . 11
 
    
                     |
224 | 222, 223 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . 10
 
                          |
225 | 220, 224 | breqtrd 4420 |
. . . . . . . . 9
 
                                        |
226 | 104, 117,
109, 184, 225 | letrd 9809 |
. . . . . . . 8
 
                                                        |
227 | 104, 109,
20, 112, 226 | lemul2ad 10569 |
. . . . . . 7
 
                                             
              |
228 | | 2cnd 10704 |
. . . . . . . 8
 
      |
229 | 228, 176,
62, 178 | div32d 10428 |
. . . . . . 7
 
                 
                                                                        |
230 | 215, 214 | addcld 9680 |
. . . . . . . . 9
 
            |
231 | 180, 230 | mulcld 9681 |
. . . . . . . 8
 
    
         |
232 | 54, 228, 231 | mul12d 9860 |
. . . . . . 7
 
                              |
233 | 227, 229,
232 | 3brtr4d 4426 |
. . . . . 6
 
                 
                                          |
234 | 103 | adantr 472 |
. . . . . . 7
 
                |
235 | 52, 234, 10 | ledivmuld 11414 |
. . . . . 6
 
                                                          
       
     
                                           |
236 | 233, 235 | mpbird 240 |
. . . . 5
 
                                                            |
237 | 236 | adantrr 731 |
. . . 4
 
                                                              |
238 | 96, 93, 97, 103, 237 | ello1d 13664 |
. . 3
                                                        |
239 | 92, 93, 94, 238 | lo1add 13767 |
. 2
                                                                                                              |
240 | 91, 239 | eqeltrrd 2550 |
1
                                                                  |