Theorem pntrlog2bndlem6 24407

Description: Lemma for pntrlog2bnd 24408. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bnd.t	|- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
pntrlog2bndlem5.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntrlog2bndlem5.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
pntrlog2bndlem6.1	|- ( ph -> A e. RR )
pntrlog2bndlem6.2	|- ( ph -> 1 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   B, n, x, y   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y   T, n

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   B( i, a)   R( i, a)   S( i, a)   T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
2	1	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
3		1rp 11306	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
5		1red 9658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
6		eliooord 11694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
7	6	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
8	7	simpld 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
9	5, 2, 8	ltled 9783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
10	2, 4, 9	rpgecld 11377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
11		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
12	11	pntrf 24387	. . . . . . . . . . . 12 |- R : RR+ --> RR
13	12	ffvelrni 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
15	14	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
16	15	abscld 13485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
17	10	relogcld 23558	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
18	16, 17	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
19		2re 10679	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
21	2, 8	rplogcld 23564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
22	20, 21	rerpdivcld 11369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
23		fzfid 12185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
24	10	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
25		elfznn 11828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
26	25	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
27	26	nnrpd 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
28	24, 27	rpdivcld 11358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
29	12	ffvelrni 6032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	30	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
32	31	abscld 13485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
33	27	relogcld 23558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
34	32, 33	remulcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
35	23, 34	fsumrecl 13787	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
36	22, 35	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
37	18, 36	resubcld 10047	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
38	37	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
39		fzfid 12185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
40		ssun2 3630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
41		pntsval.1	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
42		pntrlog2bnd.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
43		pntrlog2bndlem5.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR+ )
44		pntrlog2bndlem5.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
45		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR )
46		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ A )
47	41, 11, 42, 43, 44, 45, 46	pntrlog2bndlem6a 24406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
48	40, 47	syl5sseqr 3513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
49	48	sselda 3464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
50	49, 34	syldan 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
51	39, 50	fsumrecl 13787	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
52	22, 51	remulcld 9671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
53	52	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
54	2	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
55	10	rpne0d 11346	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
56	38, 53, 54, 55	divdird 10421	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) )
57	18	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
58	36	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
59	57, 58, 53	subsubd 10014	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
60	22	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. CC )
61	35	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
62	51	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
63	60, 61, 62	subdid 10074	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
64	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
65	45, 64, 46	rpgecld 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR+ )
66	65	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
67	2, 66	rerpdivcld 11369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR )
68		reflcl 12031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. RR )
70	69	ltp1d 10537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) )
71		fzdisj 11826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( x / A ) ) < ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
73	34	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
74	72, 47, 23, 73	fsumsplit 13793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
75	74	oveq1d 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
76		fzfid 12185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
77		ssun1 3629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
78	77, 47	syl5sseqr 3513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
79	78	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
80	79, 34	syldan 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
81	76, 80	fsumrecl 13787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
82	81	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
83	82, 62	pncand 9987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
84	75, 83	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
85	84	oveq2d 6317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
86	63, 85	eqtr3d 2465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
87	86	oveq2d 6317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
88	59, 87	eqtr3d 2465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
89	88	oveq1d 6316	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
90	56, 89	eqtr3d 2465	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
91	90	mpteq2dva 4507	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) )
92	37, 10	rerpdivcld 11369	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
93	52, 10	rerpdivcld 11369	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) e. RR )
94	41, 11, 42, 43, 44	pntrlog2bndlem5 24405	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
95		ioossre 11696	. . . . 5 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
96	95	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
97		1red 9658	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
98	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR )
99	43	rpred 11341	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
100	65	relogcld 23558	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
101	100, 97	readdcld 9670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
102	99, 101	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ph -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
103	98, 102	remulcld 9671	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
104	51, 21	rerpdivcld 11369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
105	99	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR )
106	66	relogcld 23558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
107	106, 5	readdcld 9670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
108	105, 107	remulcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. RR )
109	2, 108	remulcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
110		2rp 11307	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR+ )
112	111	rpge0d 11345	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ 2 )
113	105, 2	remulcld 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
114	49, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
115	114	nnrecred 10655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
116	39, 115	fsumrecl 13787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
117	113, 116	remulcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
118	21	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
119	50, 118	rerpdivcld 11369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
120	105	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. RR )
121	2	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
122	120, 121	remulcld 9671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. RR )
123	122, 115	remulcld 9671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) e. RR )
124	49, 32	syldan 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
125	121, 114	nndivred 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
126	120, 125	remulcld 9671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) e. RR )
127	49, 27	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
128	127	relogcld 23558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
129	10	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
130	129	relogcld 23558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
131	49, 31	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
132	131	absge0d 13493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
133		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
134	133	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ ( |_ ` x ) )
135	114	nnzd 11039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
136		flge 12040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
137	121, 135, 136	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> n <_ ( |_ ` x ) ) )
138	134, 137	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
139	127, 129	logled 23562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n <_ x <-> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) ) )
140	138, 139	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) <_ ( log ` x ) )
141	128, 130, 124, 132, 140	lemul2ad 10547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) )
142	50, 124, 118	ledivmul2d 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <-> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
143	141, 142	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
144	125	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
145	49, 28	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
146	145	rpne0d 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) =/= 0 )
147	131, 144, 146	absdivd 13504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) )
148	10	rpge0d 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
149	148	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ x )
150	121, 127, 149	divge0d 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / n ) )
151	125, 150	absidd 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x / n ) ) = ( x / n ) )
152	151	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
153	147, 152	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
154	44	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
155		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( R ` y ) = ( R ` ( x / n ) ) )
156		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
157	155, 156	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) )
158	157	fveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
159	158	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B <-> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
160	159	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
161	145, 154, 160	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B )
162	153, 161	eqbrtrrd 4443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B )
163	124, 120, 145	ledivmul2d 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) <_ B <-> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) ) )
164	162, 163	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
165	119, 124, 126, 143, 164	letrd 9792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( B x. ( x / n ) ) )
166	120	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. CC )
167	54	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
168	114	nncnd 10625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
169	114	nnne0d 10654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
170	166, 167, 168, 169	divassd 10418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( B x. ( x / n ) ) )
171	166, 167	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
172	171, 168, 169	divrecd 10386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( B x. x ) / n ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
173	170, 172	eqtr3d 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B x. ( x / n ) ) = ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
174	165, 173	breqtrd 4445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
175	39, 119, 123, 174	fsumle 13846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
176	17	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
177	49, 73	syldan 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
178	21	rpne0d 11346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
179	39, 176, 177, 178	fsumdivc 13834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) )
180	105	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. CC )
181	180, 54	mulcld 9663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. x ) e. CC )
182	115	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
183	39, 181, 182	fsummulc2 13832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( B x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
184	175, 179, 183	3brtr4d 4451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
185	43	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR+ )
186	185	rpge0d 11345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
187	105, 2, 186, 148	mulge0d 10190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( B x. x ) )
188	26	nnrecred 10655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
189	23, 188	fsumrecl 13787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
190	17, 106	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) e. RR )
191	17, 5	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. RR )
192	79, 188	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
193	76, 192	fsumrecl 13787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
194		harmonicubnd 23921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
195	2, 9, 194	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
196	10, 66	relogdivd 23561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) = ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) )
197	10, 66	rpdivcld 11358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR+ )
198		harmoniclbnd 23920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / A ) e. RR+ -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` ( x / A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
200	196, 199	eqbrtrrd 4443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) )
201	189, 190, 191, 193, 195, 200	le2subd 10233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) )
202	26	nncnd 10625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
203	26	nnne0d 10654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
204	202, 203	reccld 10376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
205	72, 47, 23, 204	fsumsplit 13793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
206	205	oveq1d 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) )
207	79, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
208	207	nnrecred 10655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
209	76, 208	fsumrecl 13787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
210	209	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) e. CC )
211	116	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. CC )
212	210, 211	pncan2d 9988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
213	206, 212	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) )
214		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
215	106	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
216	176, 214, 215	pnncand 10025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( 1 + ( log ` A ) ) )
217	214, 215	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( log ` A ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
218	216, 217	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) - ( ( log ` x ) - ( log ` A ) ) ) = ( ( log ` A ) + 1 ) )
219	201, 213, 218	3brtr3d 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) )
220	116, 107, 113, 187, 219	lemul2ad 10547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) )
221	107	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
222	180, 54, 221	mulassd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
223	180, 54, 221	mul12d 9842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( x x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
224	222, 223	eqtrd 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) = ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
225	220, 224	breqtrd 4445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( B x. x ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
226	104, 117, 109, 184, 225	letrd 9792	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
227	104, 109, 20, 112, 226	lemul2ad 10547	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
228		2cnd 10682	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
229	228, 176, 62, 178	div32d 10406	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / ( log ` x ) ) ) )
230	215, 214	addcld 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. CC )
231	180, 230	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) e. CC )
232	54, 228, 231	mul12d 9842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( x x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
233	227, 229, 232	3brtr4d 4451	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) )
234	103	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) e. RR )
235	52, 234, 10	ledivmuld 11391	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) <-> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( x x. ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) ) ) )
236	233, 235	mpbird 235	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
237	236	adantrr 721	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) <_ ( 2 x. ( B x. ( ( log ` A ) + 1 ) ) ) )
238	96, 93, 97, 103, 237	ello1d 13574	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
239	92, 93, 94, 238	lo1add 13677	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / x ) ) ) e. <_O(1) )
240	91, 239	eqeltrrd 2511	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3909   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   ...cfz 11784   |_cfl 12025   abscabs 13285   <_O(1)clo1 13538   sum_csu 13739   logclog 23490  Λcvma 24004  ψcchp 24005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-o1 13541  df-lo1 13542  df-sum 13740  df-ef 14108  df-e 14109  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-prm 14610  df-pc 14774  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-log 23492  df-cxp 23493  df-em 23904  df-cht 24009  df-vma 24010  df-chp 24011  df-ppi 24012  df-mu 24013

This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  24408