Theorem pntrlog2bndlem3 21226

Description: Lemma for pntrlog2bnd 21231. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bndlem3.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntrlog2bndlem3.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem3	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   R( i, a)   S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9046	. . 3 |- 1 e. RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		pntrlog2bndlem3.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
4	3	rpred 10604	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
5	4	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
6		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
7		elfznn 11036	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
8	7	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
9	8	nnred 9971	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
10		elioore 10902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
11	10	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
12		1rp 10572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
14	13	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
15		eliooord 10926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
17	16	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
18	14, 11, 17	ltled 9177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
19	11, 13, 18	rpgecld 10639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
20	19	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
21	8	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
22	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
23	21, 22	rpaddcld 10619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
24	20, 23	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ )
25		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
26	25	pntrf 21210	. . . . . . . . . . 11 |- R : RR+ --> RR
27	26	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
28	24, 27	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
29	28	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
30	20, 21	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
31	26	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
33	32	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
34	29, 33	subcld 9367	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
35	34	abscld 12193	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
36	9, 35	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
37	6, 36	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
38	11, 17	rplogcld 20477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
39	19, 38	rpmulcld 10620	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
40	37, 39	rerpdivcld 10631	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
41		ioossre 10928	. . . 4 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
42	3	rpcnd 10606	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
43		o1const 12368	. . . 4 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O ( 1 ) )
44	41, 42, 43	sylancr 645	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O ( 1 ) )
45		chpo1ubb 21128	. . . 4 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y )
46		pntsval.1	. . . . . 6 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
47		simpl 444	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> c e. RR+ )
48		simpr 448	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) )
49	46, 25, 47, 48	pntrlog2bndlem2 21225	. . . . 5 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
50	49	rexlimiva 2785	. . . 4 |- ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
51	45, 50	mp1i 12	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
52	5, 40, 44, 51	o1mul2 12373	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
53	5, 40	remulcld 9072	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
54	33	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
55	29	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
56	54, 55	resubcld 9421	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
57	46	pntsf 21220	. . . . . . . . 9 |- S : RR --> RR
58	57	ffvelrni 5828	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( S ` n ) e. RR )
59	9, 58	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. RR )
60		2re 10025	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. RR )
62	21	relogcld 20471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
63	9, 62	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( log ` n ) ) e. RR )
64	61, 63	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
65	59, 64	resubcld 9421	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
66	56, 65	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
67	6, 66	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
68	67, 39	rerpdivcld 10631	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
69	68	recnd 9070	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
70	69	abscld 12193	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
71	53	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. CC )
72	71	abscld 12193	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. RR )
73	67	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
74	73	abscld 12193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
75	5, 37	remulcld 9072	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
76	66	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
77	76	abscld 12193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
78	6, 77	fsumrecl 12483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
79	6, 76	fsumabs 12535	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
80	5	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
81	80, 36	remulcld 9072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
82	56	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
83	82	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) e. RR )
84	65	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
85	84	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
86	80, 9	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. RR )
87	82	absge0d 12201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
88	84	absge0d 12201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
89	33, 29	abs2difabsd 12216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
90	33, 29	abssubd 12210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
91	89, 90	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
92	59	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. CC )
93	9	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
94	8	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
95	92, 93, 94	divcld 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) / n ) e. CC )
96		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. CC
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
98	62	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
99	97, 98	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( log ` n ) ) e. CC )
100	95, 99	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
101	100, 93	absmuld 12211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) )
102	95, 99, 93	subdird 9446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) )
103	92, 93, 94	divcan1d 9747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) = ( S ` n ) )
104	61	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
105	104, 93, 98	mul32d 9232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) )
106	104, 93, 98	mulassd 9067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
107	105, 106	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
108	103, 107	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
109	102, 108	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
110	109	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
111	21	rpge0d 10608	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
112	9, 111	absidd 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
113	112	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
114	101, 110, 113	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
115	100	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
116	8	nnge1d 9998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ n )
117		elicopnf 10956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. RR -> ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) ) )
118	1, 117	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) )
119	9, 116, 118	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 [,) +oo ) )
120		pntrlog2bndlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
121	120	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
122		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( S ` y ) = ( S ` n ) )
123		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> y = n )
124	122, 123	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( ( S ` y ) / y ) = ( ( S ` n ) / n ) )
125		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( log ` y ) = ( log ` n ) )
126	125	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( 2 x. ( log ` y ) ) = ( 2 x. ( log ` n ) ) )
127	124, 126	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = n -> ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) = ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) )
128	127	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = n -> ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) )
129	128	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = n -> ( ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
130	129	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
131	119, 121, 130	sylc 58	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A )
132	115, 80, 9, 111, 131	lemul1ad 9906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) <_ ( A x. n ) )
133	114, 132	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ ( A x. n ) )
134	83, 35, 85, 86, 87, 88, 91, 133	lemul12ad 9909	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
135	82, 84	absmuld 12211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
136	42	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
137	35	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
138	136, 93, 137	mulassd 9067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
139	136, 93	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. CC )
140	139, 137	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
141	138, 140	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
142	134, 135, 141	3brtr4d 4202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
143	6, 77, 81, 142	fsumle 12533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
144	42	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
145	36	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
146	6, 144, 145	fsummulc2 12522	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
147	143, 146	breqtrrd 4198	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
148	74, 78, 75, 79, 147	letrd 9183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
149	74, 75, 39, 148	lediv1dd 10658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
150	39	rpcnd 10606	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. CC )
151	39	rpne0d 10609	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) =/= 0 )
152	73, 150, 151	absdivd 12212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
153	39	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR )
154	39	rpge0d 10608	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( x x. ( log ` x ) ) )
155	153, 154	absidd 12180	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( x x. ( log ` x ) ) )
156	155	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
157	152, 156	eqtr2d 2437	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
158	37	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
159	144, 158, 150, 151	divassd 9781	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
160	149, 157, 159	3brtr3d 4201	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
161	53	leabsd 12172	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
162	70, 53, 72, 160, 161	letrd 9183	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
163	162	adantrr 698	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
164	2, 52, 53, 69, 163	o1le 12401	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   abscabs 11994   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   logclog 20405  Λcvma 20827  ψcchp 20828

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  21227

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-cht 20832  df-vma 20833  df-chp 20834  df-ppi 20835