Theorem pntrlog2bndlem3 22808

Description: Lemma for pntrlog2bnd 22813. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bndlem3.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntrlog2bndlem3.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem3	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   R( i, a)   S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9393	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		pntrlog2bndlem3.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	2	rpred 11019	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
4	3	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
5		fzfid 11787	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
6		elfznn 11470	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
7	6	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
8	7	nnred 10329	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
9		elioore 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
11		1rp 10987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
13		1red 9393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
14		eliooord 11347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
17	13, 10, 16	ltled 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
18	10, 12, 17	rpgecld 11054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
20	7	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
22	20, 21	rpaddcld 11034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
23	19, 22	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ )
24		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
25	24	pntrf 22792	. . . . . . . . . . 11 |- R : RR+ --> RR
26	25	ffvelrni 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
27	23, 26	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
28	27	recnd 9404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
29	19, 20	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
30	25	ffvelrni 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	31	recnd 9404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
33	28, 32	subcld 9711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
34	33	abscld 12914	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
35	8, 34	remulcld 9406	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
36	5, 35	fsumrecl 13203	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
37	10, 16	rplogcld 22058	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
38	18, 37	rpmulcld 11035	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
39	36, 38	rerpdivcld 11046	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
40		ioossre 11349	. . . 4 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
41	2	rpcnd 11021	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
42		o1const 13089	. . . 4 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
43	40, 41, 42	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
44		chpo1ubb 22710	. . . 4 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y )
45		pntsval.1	. . . . . 6 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
46		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> c e. RR+ )
47		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) )
48	45, 24, 46, 47	pntrlog2bndlem2 22807	. . . . 5 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
49	48	rexlimiva 2831	. . . 4 |- ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
50	44, 49	mp1i 12	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
51	4, 39, 43, 50	o1mul2 13094	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
52	4, 39	remulcld 9406	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
53	32	abscld 12914	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
54	28	abscld 12914	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
55	53, 54	resubcld 9768	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
56	45	pntsf 22802	. . . . . . . . 9 |- S : RR --> RR
57	56	ffvelrni 5837	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( S ` n ) e. RR )
58	8, 57	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. RR )
59		2re 10383	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. RR )
61	20	relogcld 22052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
62	8, 61	remulcld 9406	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( log ` n ) ) e. RR )
63	60, 62	remulcld 9406	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
64	58, 63	resubcld 9768	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
65	55, 64	remulcld 9406	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
66	5, 65	fsumrecl 13203	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
67	66, 38	rerpdivcld 11046	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
68	67	recnd 9404	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
69	68	abscld 12914	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
70	52	recnd 9404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. CC )
71	70	abscld 12914	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. RR )
72	66	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
73	72	abscld 12914	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
74	4, 36	remulcld 9406	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
75	65	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
76	75	abscld 12914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
77	5, 76	fsumrecl 13203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
78	5, 75	fsumabs 13256	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
79	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
80	79, 35	remulcld 9406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
81	55	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
82	81	abscld 12914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) e. RR )
83	64	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
84	83	abscld 12914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
85	79, 8	remulcld 9406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. RR )
86	81	absge0d 12922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	83	absge0d 12922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
88	32, 28	abs2difabsd 12937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
89	32, 28	abssubd 12931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
90	88, 89	breqtrd 4311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
91	58	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. CC )
92	8	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
93	7	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
94	91, 92, 93	divcld 10099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) / n ) e. CC )
95		2cnd 10386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
96	61	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
97	95, 96	mulcld 9398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( log ` n ) ) e. CC )
98	94, 97	subcld 9711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
99	98, 92	absmuld 12932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) )
100	94, 97, 92	subdird 9793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) )
101	91, 92, 93	divcan1d 10100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) = ( S ` n ) )
102	95, 92, 96	mul32d 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) )
103	95, 92, 96	mulassd 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
104	102, 103	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
105	101, 104	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
106	100, 105	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
107	106	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
108	20	rpge0d 11023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
109	8, 108	absidd 12901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
110	109	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
111	99, 107, 110	3eqtr3d 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
112	98	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
113	7	nnge1d 10356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ n )
114		1re 9377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
115		elicopnf 11377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. RR -> ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) ) )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) )
117	8, 113, 116	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 [,) +oo ) )
118		pntrlog2bndlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
119	118	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
120		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( S ` y ) = ( S ` n ) )
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> y = n )
122	120, 121	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( ( S ` y ) / y ) = ( ( S ` n ) / n ) )
123		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( log ` y ) = ( log ` n ) )
124	123	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( 2 x. ( log ` y ) ) = ( 2 x. ( log ` n ) ) )
125	122, 124	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = n -> ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) = ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) )
126	125	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = n -> ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) )
127	126	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = n -> ( ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
128	127	rspcv 3064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
129	117, 119, 128	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A )
130	112, 79, 8, 108, 129	lemul1ad 10264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) <_ ( A x. n ) )
131	111, 130	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ ( A x. n ) )
132	82, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 131	lemul12ad 10267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
133	81, 83	absmuld 12932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
134	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
135	34	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
136	134, 92, 135	mulassd 9401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
137	134, 92	mulcld 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. CC )
138	137, 135	mulcomd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
139	136, 138	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
140	132, 133, 139	3brtr4d 4317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
141	5, 76, 80, 140	fsumle 13254	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
142	41	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
143	35	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
144	5, 142, 143	fsummulc2 13243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
145	141, 144	breqtrrd 4313	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
146	73, 77, 74, 78, 145	letrd 9520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
147	73, 74, 38, 146	lediv1dd 11073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
148	38	rpcnd 11021	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. CC )
149	38	rpne0d 11024	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) =/= 0 )
150	72, 148, 149	absdivd 12933	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
151	38	rpred 11019	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR )
152	38	rpge0d 11023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( x x. ( log ` x ) ) )
153	151, 152	absidd 12901	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( x x. ( log ` x ) ) )
154	153	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
155	150, 154	eqtr2d 2471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
156	36	recnd 9404	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
157	142, 156, 148, 149	divassd 10134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
158	147, 155, 157	3brtr3d 4316	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
159	52	leabsd 12893	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
160	69, 52, 71, 158, 159	letrd 9520	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
161	160	adantrr 716	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
162	1, 51, 52, 68, 161	o1le 13122	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   C_ wss 3323   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   +oocpnf 9407   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   ...cfz 11429   |_cfl 11632   abscabs 12715   O(1)co1 12956   sum_csu 13155   logclog 21986  Λcvma 22409  ψcchp 22410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-cxp 21989  df-em 22366  df-cht 22414  df-vma 22415  df-chp 22416  df-ppi 22417

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  22809