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Theorem pntrlog2bndlem3 23742
Description: Lemma for pntrlog2bnd 23747. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bndlem3.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9614 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 pntrlog2bndlem3.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
32rpred 11267 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
5 fzfid 12065 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 11725 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
87nnred 10558 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9 elioore 11570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
11 1rp 11235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
13 1red 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
14 eliooord 11595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
1713, 10, 16ltled 9736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
1810, 12, 17rpgecld 11302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
207nnrpd 11266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
2220, 21rpaddcld 11282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
2319, 22rpdivcld 11284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR+ )
24 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2524pntrf 23726 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2723, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2827recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2919, 20rpdivcld 11284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3025ffvelrni 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3231recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3328, 32subcld 9936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
3433abscld 13249 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
358, 34remulcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
365, 35fsumrecl 13538 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
3710, 16rplogcld 22992 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3818, 37rpmulcld 11283 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
3936, 38rerpdivcld 11294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
40 ioossre 11597 . . . 4  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
412rpcnd 11269 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
42 o1const 13424 . . . 4  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
4340, 41, 42sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
44 chpo1ubb 23644 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  ( c  x.  y
)
45 pntsval.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
46 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  c  e.  RR+ )
47 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y ) )
4845, 24, 46, 47pntrlog2bndlem2 23741 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
4948rexlimiva 2931 . . . 4  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
5044, 49mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
514, 39, 43, 50o1mul2 13429 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
524, 39remulcld 9627 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
5332abscld 13249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
5428abscld 13249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
5553, 54resubcld 9994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
5645pntsf 23736 . . . . . . . . 9  |-  S : RR
--> RR
5756ffvelrni 6015 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
588, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
59 2re 10612 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  RR )
6120relogcld 22986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
628, 61remulcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
6360, 62remulcld 9627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
6458, 63resubcld 9994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
6555, 64remulcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
665, 65fsumrecl 13538 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
6766, 38rerpdivcld 11294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  RR )
6867recnd 9625 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  CC )
6968abscld 13249 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
7052recnd 9625 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  CC )
7170abscld 13249 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
7266recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  CC )
7372abscld 13249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
744, 36remulcld 9627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
7565recnd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  CC )
7675abscld 13249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
775, 76fsumrecl 13538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  e.  RR )
785, 75fsumabs 13597 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
794adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
8079, 35remulcld 9627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8155recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
8281abscld 13249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8364recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8483abscld 13249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
8579, 8remulcld 9627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  RR )
8681absge0d 13257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
8783absge0d 13257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
8832, 28abs2difabsd 13272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  -  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
8932, 28abssubd 13266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  -  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) ) ) )
9088, 89breqtrd 4461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )
9158recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
928recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
937nnne0d 10587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9491, 92, 93divcld 10327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  /  n )  e.  CC )
95 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
9661recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
9795, 96mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
9894, 97subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9998, 92absmuld 13267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  ( abs `  n
) ) )
10094, 97, 92subdird 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( ( ( S `
 n )  /  n )  x.  n
)  -  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) ) )
10191, 92, 93divcan1d 10328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  x.  n )  =  ( S `  n
) )
10295, 92, 96mul32d 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) )
10395, 92, 96mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
104102, 103eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  ( log `  n ) )  x.  n )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
105101, 104oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  x.  n )  -  ( ( 2  x.  ( log `  n
) )  x.  n
) )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
106100, 105eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
107106fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
10820rpge0d 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  n )
1098, 108absidd 13236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
110109oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  ( abs `  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n ) )
11199, 107, 1103eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  n ) )
11298abscld 13249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
1137nnge1d 10585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
114 1re 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
115 elicopnf 11631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
116114, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
1178, 113, 116sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )
118 pntrlog2bndlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
120 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( S `  y )  =  ( S `  n ) )
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  y  =  n )
122120, 121oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
( S `  y
)  /  y )  =  ( ( S `
 n )  /  n ) )
123 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( log `  y )  =  ( log `  n
) )
124123oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
2  x.  ( log `  y ) )  =  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )
125122, 124oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  =  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )
126125fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  n  ->  ( abs `  ( ( ( S `  y )  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
127126breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
)
128127rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( S `  y
)  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A
) )
129117, 119, 128sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
130112, 79, 8, 108, 129lemul1ad 10492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n
)  <_  ( A  x.  n ) )
131111, 130eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  ( A  x.  n ) )
13282, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 131lemul12ad 10495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
13381, 83absmuld 13267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
13441ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  CC )
13534recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
136134, 92, 135mulassd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
137134, 92mulcld 9619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  CC )
138137, 135mulcomd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
139136, 138eqtr3d 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
140132, 133, 1393brtr4d 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
1415, 76, 80, 140fsumle 13595 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  CC )
14335recnd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
1445, 142, 143fsummulc2 13581 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
145141, 144breqtrrd 4463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14673, 77, 74, 78, 145letrd 9742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14773, 74, 38, 146lediv1dd 11321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
14838rpcnd 11269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
14938rpne0d 11272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  =/=  0 )
15072, 148, 149absdivd 13268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( abs `  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15138rpred 11267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
15238rpge0d 11271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
153151, 152absidd 13236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
154153oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
155150, 154eqtr2d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
15636recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
157142, 156, 148, 149divassd 10362 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
158147, 155, 1573brtr3d 4466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15952leabsd 13228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
16069, 52, 71, 158, 159letrd 9742 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
161160adantrr 716 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
1621, 51, 52, 68, 161o1le 13457 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   +oocpnf 9628    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   RR+crp 11231   (,)cioo 11540   [,)cico 11542   ...cfz 11683   |_cfl 11909   abscabs 13049   O(1)co1 13291   sum_csu 13490   logclog 22920  Λcvma 23343  ψcchp 23344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-o1 13295  df-lo1 13296  df-sum 13491  df-ef 13785  df-e 13786  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-dvds 13969  df-gcd 14127  df-prm 14200  df-pc 14343  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-cxp 22923  df-em 23300  df-cht 23348  df-vma 23349  df-chp 23350  df-ppi 23351
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  23743
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