Theorem pntrlog2bndlem3 23520

Description: Lemma for pntrlog2bnd 23525. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bndlem3.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntrlog2bndlem3.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem3	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   R( i, a)   S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9611	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		pntrlog2bndlem3.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	2	rpred 11256	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
4	3	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
5		fzfid 12051	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
6		elfznn 11714	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
7	6	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
8	7	nnred 10551	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
9		elioore 11559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
11		1rp 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
13		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
14		eliooord 11584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
17	13, 10, 16	ltled 9732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
18	10, 12, 17	rpgecld 11291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
20	7	nnrpd 11255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
22	20, 21	rpaddcld 11271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
23	19, 22	rpdivcld 11273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ )
24		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
25	24	pntrf 23504	. . . . . . . . . . 11 |- R : RR+ --> RR
26	25	ffvelrni 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
27	23, 26	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
28	27	recnd 9622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
29	19, 20	rpdivcld 11273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
30	25	ffvelrni 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	31	recnd 9622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
33	28, 32	subcld 9930	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
34	33	abscld 13230	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
35	8, 34	remulcld 9624	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
36	5, 35	fsumrecl 13519	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
37	10, 16	rplogcld 22770	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
38	18, 37	rpmulcld 11272	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
39	36, 38	rerpdivcld 11283	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
40		ioossre 11586	. . . 4 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
41	2	rpcnd 11258	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
42		o1const 13405	. . . 4 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
43	40, 41, 42	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
44		chpo1ubb 23422	. . . 4 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y )
45		pntsval.1	. . . . . 6 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
46		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> c e. RR+ )
47		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) )
48	45, 24, 46, 47	pntrlog2bndlem2 23519	. . . . 5 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
49	48	rexlimiva 2951	. . . 4 |- ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
50	44, 49	mp1i 12	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
51	4, 39, 43, 50	o1mul2 13410	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
52	4, 39	remulcld 9624	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
53	32	abscld 13230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
54	28	abscld 13230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
55	53, 54	resubcld 9987	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
56	45	pntsf 23514	. . . . . . . . 9 |- S : RR --> RR
57	56	ffvelrni 6020	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( S ` n ) e. RR )
58	8, 57	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. RR )
59		2re 10605	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. RR )
61	20	relogcld 22764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
62	8, 61	remulcld 9624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( log ` n ) ) e. RR )
63	60, 62	remulcld 9624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
64	58, 63	resubcld 9987	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
65	55, 64	remulcld 9624	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
66	5, 65	fsumrecl 13519	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
67	66, 38	rerpdivcld 11283	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
68	67	recnd 9622	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
69	68	abscld 13230	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
70	52	recnd 9622	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. CC )
71	70	abscld 13230	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. RR )
72	66	recnd 9622	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
73	72	abscld 13230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
74	4, 36	remulcld 9624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
75	65	recnd 9622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
76	75	abscld 13230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
77	5, 76	fsumrecl 13519	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
78	5, 75	fsumabs 13578	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
79	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
80	79, 35	remulcld 9624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
81	55	recnd 9622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
82	81	abscld 13230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) e. RR )
83	64	recnd 9622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
84	83	abscld 13230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
85	79, 8	remulcld 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. RR )
86	81	absge0d 13238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	83	absge0d 13238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
88	32, 28	abs2difabsd 13253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
89	32, 28	abssubd 13247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
90	88, 89	breqtrd 4471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
91	58	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. CC )
92	8	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
93	7	nnne0d 10580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
94	91, 92, 93	divcld 10320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) / n ) e. CC )
95		2cnd 10608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
96	61	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
97	95, 96	mulcld 9616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( log ` n ) ) e. CC )
98	94, 97	subcld 9930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
99	98, 92	absmuld 13248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) )
100	94, 97, 92	subdird 10013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) )
101	91, 92, 93	divcan1d 10321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) = ( S ` n ) )
102	95, 92, 96	mul32d 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) )
103	95, 92, 96	mulassd 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
104	102, 103	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
105	101, 104	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
106	100, 105	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
107	106	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
108	20	rpge0d 11260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
109	8, 108	absidd 13217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
110	109	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
111	99, 107, 110	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
112	98	abscld 13230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
113	7	nnge1d 10578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ n )
114		1re 9595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
115		elicopnf 11620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. RR -> ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) ) )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) )
117	8, 113, 116	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 [,) +oo ) )
118		pntrlog2bndlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
119	118	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
120		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( S ` y ) = ( S ` n ) )
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> y = n )
122	120, 121	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( ( S ` y ) / y ) = ( ( S ` n ) / n ) )
123		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( log ` y ) = ( log ` n ) )
124	123	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( 2 x. ( log ` y ) ) = ( 2 x. ( log ` n ) ) )
125	122, 124	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = n -> ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) = ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) )
126	125	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = n -> ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) )
127	126	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = n -> ( ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
128	127	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
129	117, 119, 128	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A )
130	112, 79, 8, 108, 129	lemul1ad 10485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) <_ ( A x. n ) )
131	111, 130	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ ( A x. n ) )
132	82, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 131	lemul12ad 10488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
133	81, 83	absmuld 13248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
134	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
135	34	recnd 9622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
136	134, 92, 135	mulassd 9619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
137	134, 92	mulcld 9616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. CC )
138	137, 135	mulcomd 9617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
139	136, 138	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
140	132, 133, 139	3brtr4d 4477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
141	5, 76, 80, 140	fsumle 13576	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
142	41	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
143	35	recnd 9622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
144	5, 142, 143	fsummulc2 13562	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
145	141, 144	breqtrrd 4473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
146	73, 77, 74, 78, 145	letrd 9738	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
147	73, 74, 38, 146	lediv1dd 11310	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
148	38	rpcnd 11258	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. CC )
149	38	rpne0d 11261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) =/= 0 )
150	72, 148, 149	absdivd 13249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
151	38	rpred 11256	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR )
152	38	rpge0d 11260	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( x x. ( log ` x ) ) )
153	151, 152	absidd 13217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( x x. ( log ` x ) ) )
154	153	oveq2d 6300	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
155	150, 154	eqtr2d 2509	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
156	36	recnd 9622	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
157	142, 156, 148, 149	divassd 10355	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
158	147, 155, 157	3brtr3d 4476	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
159	52	leabsd 13209	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
160	69, 52, 71, 158, 159	letrd 9738	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
161	160	adantrr 716	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
162	1, 51, 52, 68, 161	o1le 13438	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   +oocpnf 9625   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   [,)cico 11531   ...cfz 11672   |_cfl 11895   abscabs 13030   O(1)co1 13272   sum_csu 13471   logclog 22698  Λcvma 23121  ψcchp 23122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-o1 13276  df-lo1 13277  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701  df-em 23078  df-cht 23126  df-vma 23127  df-chp 23128  df-ppi 23129

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  23521