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Theorem pntrlog2bndlem3 22808
Description: Lemma for pntrlog2bnd 22813. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bndlem3.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9393 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 pntrlog2bndlem3.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
32rpred 11019 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
5 fzfid 11787 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 11470 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
87nnred 10329 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9 elioore 11322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
11 1rp 10987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
13 1red 9393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
14 eliooord 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
1713, 10, 16ltled 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
1810, 12, 17rpgecld 11054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
207nnrpd 11018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
2220, 21rpaddcld 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
2319, 22rpdivcld 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR+ )
24 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2524pntrf 22792 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2723, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2827recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2919, 20rpdivcld 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3025ffvelrni 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3231recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3328, 32subcld 9711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
3433abscld 12914 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
358, 34remulcld 9406 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
365, 35fsumrecl 13203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
3710, 16rplogcld 22058 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3818, 37rpmulcld 11035 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
3936, 38rerpdivcld 11046 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
40 ioossre 11349 . . . 4  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
412rpcnd 11021 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
42 o1const 13089 . . . 4  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
4340, 41, 42sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
44 chpo1ubb 22710 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  ( c  x.  y
)
45 pntsval.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
46 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  c  e.  RR+ )
47 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y ) )
4845, 24, 46, 47pntrlog2bndlem2 22807 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
4948rexlimiva 2831 . . . 4  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
5044, 49mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
514, 39, 43, 50o1mul2 13094 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
524, 39remulcld 9406 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
5332abscld 12914 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
5428abscld 12914 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
5553, 54resubcld 9768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
5645pntsf 22802 . . . . . . . . 9  |-  S : RR
--> RR
5756ffvelrni 5837 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
588, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
59 2re 10383 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  RR )
6120relogcld 22052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
628, 61remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
6360, 62remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
6458, 63resubcld 9768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
6555, 64remulcld 9406 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
665, 65fsumrecl 13203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
6766, 38rerpdivcld 11046 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  RR )
6867recnd 9404 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  CC )
6968abscld 12914 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
7052recnd 9404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  CC )
7170abscld 12914 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
7266recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  CC )
7372abscld 12914 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
744, 36remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
7565recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  CC )
7675abscld 12914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
775, 76fsumrecl 13203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  e.  RR )
785, 75fsumabs 13256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
794adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
8079, 35remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8155recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
8281abscld 12914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8364recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8483abscld 12914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
8579, 8remulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  RR )
8681absge0d 12922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
8783absge0d 12922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
8832, 28abs2difabsd 12937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  -  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
8932, 28abssubd 12931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  -  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) ) ) )
9088, 89breqtrd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )
9158recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
928recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
937nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9491, 92, 93divcld 10099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  /  n )  e.  CC )
95 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
9661recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
9795, 96mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
9894, 97subcld 9711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9998, 92absmuld 12932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  ( abs `  n
) ) )
10094, 97, 92subdird 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( ( ( S `
 n )  /  n )  x.  n
)  -  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) ) )
10191, 92, 93divcan1d 10100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  x.  n )  =  ( S `  n
) )
10295, 92, 96mul32d 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) )
10395, 92, 96mulassd 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
104102, 103eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  ( log `  n ) )  x.  n )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
105101, 104oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  x.  n )  -  ( ( 2  x.  ( log `  n
) )  x.  n
) )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
106100, 105eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
107106fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
10820rpge0d 11023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  n )
1098, 108absidd 12901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
110109oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  ( abs `  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n ) )
11199, 107, 1103eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  n ) )
11298abscld 12914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
1137nnge1d 10356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
114 1re 9377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
115 elicopnf 11377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
116114, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
1178, 113, 116sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )
118 pntrlog2bndlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
120 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( S `  y )  =  ( S `  n ) )
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  y  =  n )
122120, 121oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
( S `  y
)  /  y )  =  ( ( S `
 n )  /  n ) )
123 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( log `  y )  =  ( log `  n
) )
124123oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
2  x.  ( log `  y ) )  =  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )
125122, 124oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  =  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )
126125fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  n  ->  ( abs `  ( ( ( S `  y )  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
127126breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
)
128127rspcv 3064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( S `  y
)  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A
) )
129117, 119, 128sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
130112, 79, 8, 108, 129lemul1ad 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n
)  <_  ( A  x.  n ) )
131111, 130eqbrtrd 4307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  ( A  x.  n ) )
13282, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 131lemul12ad 10267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
13381, 83absmuld 12932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
13441ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  CC )
13534recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
136134, 92, 135mulassd 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
137134, 92mulcld 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  CC )
138137, 135mulcomd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
139136, 138eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
140132, 133, 1393brtr4d 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
1415, 76, 80, 140fsumle 13254 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  CC )
14335recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
1445, 142, 143fsummulc2 13243 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
145141, 144breqtrrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14673, 77, 74, 78, 145letrd 9520 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14773, 74, 38, 146lediv1dd 11073 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
14838rpcnd 11021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
14938rpne0d 11024 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  =/=  0 )
15072, 148, 149absdivd 12933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( abs `  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15138rpred 11019 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
15238rpge0d 11023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
153151, 152absidd 12901 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
154153oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
155150, 154eqtr2d 2471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
15636recnd 9404 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
157142, 156, 148, 149divassd 10134 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
158147, 155, 1573brtr3d 4316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15952leabsd 12893 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
16069, 52, 71, 158, 159letrd 9520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
161160adantrr 716 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
1621, 51, 52, 68, 161o1le 13122 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   +oocpnf 9407    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   ...cfz 11429   |_cfl 11632   abscabs 12715   O(1)co1 12956   sum_csu 13155   logclog 21986  Λcvma 22409  ψcchp 22410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-cxp 21989  df-em 22366  df-cht 22414  df-vma 22415  df-chp 22416  df-ppi 22417
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  22809
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