MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem3 Structured version   Unicode version

Theorem pntrlog2bndlem3 23520
Description: Lemma for pntrlog2bnd 23525. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bndlem3.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9611 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 pntrlog2bndlem3.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
32rpred 11256 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
5 fzfid 12051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 11714 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
87nnred 10551 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9 elioore 11559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
11 1rp 11224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
13 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
14 eliooord 11584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
1713, 10, 16ltled 9732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
1810, 12, 17rpgecld 11291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
207nnrpd 11255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
2220, 21rpaddcld 11271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
2319, 22rpdivcld 11273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR+ )
24 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2524pntrf 23504 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2723, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2827recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2919, 20rpdivcld 11273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3025ffvelrni 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3231recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3328, 32subcld 9930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
3433abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
358, 34remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
365, 35fsumrecl 13519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
3710, 16rplogcld 22770 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3818, 37rpmulcld 11272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
3936, 38rerpdivcld 11283 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
40 ioossre 11586 . . . 4  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
412rpcnd 11258 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
42 o1const 13405 . . . 4  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
4340, 41, 42sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
44 chpo1ubb 23422 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  ( c  x.  y
)
45 pntsval.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
46 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  c  e.  RR+ )
47 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y ) )
4845, 24, 46, 47pntrlog2bndlem2 23519 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
4948rexlimiva 2951 . . . 4  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
5044, 49mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
514, 39, 43, 50o1mul2 13410 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
524, 39remulcld 9624 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
5332abscld 13230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
5428abscld 13230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
5553, 54resubcld 9987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
5645pntsf 23514 . . . . . . . . 9  |-  S : RR
--> RR
5756ffvelrni 6020 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
588, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
59 2re 10605 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  RR )
6120relogcld 22764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
628, 61remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
6360, 62remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
6458, 63resubcld 9987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
6555, 64remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
665, 65fsumrecl 13519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
6766, 38rerpdivcld 11283 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  RR )
6867recnd 9622 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  CC )
6968abscld 13230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
7052recnd 9622 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  CC )
7170abscld 13230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
7266recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  CC )
7372abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
744, 36remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
7565recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  CC )
7675abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
775, 76fsumrecl 13519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  e.  RR )
785, 75fsumabs 13578 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
794adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
8079, 35remulcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8155recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
8281abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8364recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8483abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
8579, 8remulcld 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  RR )
8681absge0d 13238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
8783absge0d 13238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
8832, 28abs2difabsd 13253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  -  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
8932, 28abssubd 13247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  -  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) ) ) )
9088, 89breqtrd 4471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )
9158recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
928recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
937nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9491, 92, 93divcld 10320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  /  n )  e.  CC )
95 2cnd 10608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
9661recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
9795, 96mulcld 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
9894, 97subcld 9930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9998, 92absmuld 13248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  ( abs `  n
) ) )
10094, 97, 92subdird 10013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( ( ( S `
 n )  /  n )  x.  n
)  -  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) ) )
10191, 92, 93divcan1d 10321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  x.  n )  =  ( S `  n
) )
10295, 92, 96mul32d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) )
10395, 92, 96mulassd 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
104102, 103eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  ( log `  n ) )  x.  n )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
105101, 104oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  x.  n )  -  ( ( 2  x.  ( log `  n
) )  x.  n
) )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
106100, 105eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
107106fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
10820rpge0d 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  n )
1098, 108absidd 13217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
110109oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  ( abs `  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n ) )
11199, 107, 1103eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  n ) )
11298abscld 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
1137nnge1d 10578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
114 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
115 elicopnf 11620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
116114, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
1178, 113, 116sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )
118 pntrlog2bndlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
120 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( S `  y )  =  ( S `  n ) )
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  y  =  n )
122120, 121oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
( S `  y
)  /  y )  =  ( ( S `
 n )  /  n ) )
123 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( log `  y )  =  ( log `  n
) )
124123oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
2  x.  ( log `  y ) )  =  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )
125122, 124oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  =  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )
126125fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  n  ->  ( abs `  ( ( ( S `  y )  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
127126breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
)
128127rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( S `  y
)  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A
) )
129117, 119, 128sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
130112, 79, 8, 108, 129lemul1ad 10485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n
)  <_  ( A  x.  n ) )
131111, 130eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  ( A  x.  n ) )
13282, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 131lemul12ad 10488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
13381, 83absmuld 13248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
13441ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  CC )
13534recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
136134, 92, 135mulassd 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
137134, 92mulcld 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  CC )
138137, 135mulcomd 9617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
139136, 138eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
140132, 133, 1393brtr4d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
1415, 76, 80, 140fsumle 13576 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  CC )
14335recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
1445, 142, 143fsummulc2 13562 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
145141, 144breqtrrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14673, 77, 74, 78, 145letrd 9738 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14773, 74, 38, 146lediv1dd 11310 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
14838rpcnd 11258 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
14938rpne0d 11261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  =/=  0 )
15072, 148, 149absdivd 13249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( abs `  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15138rpred 11256 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
15238rpge0d 11260 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
153151, 152absidd 13217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
154153oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
155150, 154eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
15636recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
157142, 156, 148, 149divassd 10355 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
158147, 155, 1573brtr3d 4476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15952leabsd 13209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
16069, 52, 71, 158, 159letrd 9738 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
161160adantrr 716 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
1621, 51, 52, 68, 161o1le 13438 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   +oocpnf 9625    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   [,)cico 11531   ...cfz 11672   |_cfl 11895   abscabs 13030   O(1)co1 13272   sum_csu 13471   logclog 22698  Λcvma 23121  ψcchp 23122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-o1 13276  df-lo1 13277  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701  df-em 23078  df-cht 23126  df-vma 23127  df-chp 23128  df-ppi 23129
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  23521
  Copyright terms: Public domain W3C validator