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Theorem pntrlog2bndlem3 24413
Description: Lemma for pntrlog2bnd 24418. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bndlem3.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9664 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 pntrlog2bndlem3.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
32rpred 11347 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  RR )
5 fzfid 12191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 11834 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
87nnred 10630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9 elioore 11672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
109adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
11 1rp 11312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
13 1red 9664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
14 eliooord 11700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1514adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1615simpld 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
1713, 10, 16ltled 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
1810, 12, 17rpgecld 11383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
207nnrpd 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
2220, 21rpaddcld 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
2319, 22rpdivcld 11364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR+ )
24 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2524pntrf 24397 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2723, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
2827recnd 9675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2919, 20rpdivcld 11364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3025ffvelrni 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3231recnd 9675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3328, 32subcld 9992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
3433abscld 13495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
358, 34remulcld 9677 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
365, 35fsumrecl 13797 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
3710, 16rplogcld 23574 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3818, 37rpmulcld 11363 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
3936, 38rerpdivcld 11375 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
40 ioossre 11702 . . . 4  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
412rpcnd 11349 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
42 o1const 13680 . . . 4  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
4340, 41, 42sylancr 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  A )  e.  O(1) )
44 chpo1ubb 24315 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  ( c  x.  y
)
45 pntsval.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
46 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  c  e.  RR+ )
47 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y ) )
4845, 24, 46, 47pntrlog2bndlem2 24412 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  RR+  (ψ `  y )  <_  (
c  x.  y ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
4948rexlimiva 2914 . . . 4  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  (ψ `  y
)  <_  ( c  x.  y )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
5044, 49mp1i 13 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
514, 39, 43, 50o1mul2 13685 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
524, 39remulcld 9677 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
5332abscld 13495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
5428abscld 13495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
5553, 54resubcld 10053 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
5645pntsf 24407 . . . . . . . . 9  |-  S : RR
--> RR
5756ffvelrni 6035 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
588, 57syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
59 2re 10685 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  RR )
6120relogcld 23568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
628, 61remulcld 9677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
6360, 62remulcld 9677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
6458, 63resubcld 10053 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
6555, 64remulcld 9677 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
665, 65fsumrecl 13797 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
6766, 38rerpdivcld 11375 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  RR )
6867recnd 9675 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  e.  CC )
6968abscld 13495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
7052recnd 9675 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  CC )
7170abscld 13495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
7266recnd 9675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  CC )
7372abscld 13495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
744, 36remulcld 9677 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
7565recnd 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  CC )
7675abscld 13495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
775, 76fsumrecl 13797 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  e.  RR )
785, 75fsumabs 13858 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
794adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
8079, 35remulcld 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8155recnd 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  -  ( abs `  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
8281abscld 13495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  e.  RR )
8364recnd 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8483abscld 13495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
8579, 8remulcld 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  RR )
8681absge0d 13503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
8783absge0d 13503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( S `  n )  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
8832, 28abs2difabsd 13518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  -  ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) ) ) ) )
8932, 28abssubd 13512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  -  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n
) ) ) ) )
9088, 89breqtrd 4447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )
9158recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
928recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
937nnne0d 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9491, 92, 93divcld 10389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  /  n )  e.  CC )
95 2cnd 10688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
9661recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
9795, 96mulcld 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
9894, 97subcld 9992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9998, 92absmuld 13513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  ( abs `  n
) ) )
10094, 97, 92subdird 10081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( ( ( S `
 n )  /  n )  x.  n
)  -  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) ) )
10191, 92, 93divcan1d 10390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  n
)  /  n )  x.  n )  =  ( S `  n
) )
10295, 92, 96mul32d 9849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  n ) )  x.  n ) )
10395, 92, 96mulassd 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  n )  x.  ( log `  n
) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
104102, 103eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  ( log `  n ) )  x.  n )  =  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) )
105101, 104oveq12d 6322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  x.  n )  -  ( ( 2  x.  ( log `  n
) )  x.  n
) )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
106100, 105eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( S `  n )  /  n
)  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) )  x.  n )  =  ( ( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
107106fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )  x.  n ) )  =  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
10820rpge0d 11351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  n )
1098, 108absidd 13482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
110109oveq2d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  ( abs `  n ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n ) )
11199, 107, 1103eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) )  x.  n ) )
11298abscld 13495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
1137nnge1d 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
114 1re 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
115 elicopnf 11736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) ) )
116114, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( n  e.  RR  /\  1  <_  n ) )
1178, 113, 116sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 [,) +oo ) )
118 pntrlog2bndlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
119118ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A )
120 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( S `  y )  =  ( S `  n ) )
121 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  y  =  n )
122120, 121oveq12d 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
( S `  y
)  /  y )  =  ( ( S `
 n )  /  n ) )
123 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  ( log `  y )  =  ( log `  n
) )
124123oveq2d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  n  ->  (
2  x.  ( log `  y ) )  =  ( 2  x.  ( log `  n ) ) )
125122, 124oveq12d 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  =  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )
126125fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  n  ->  ( abs `  ( ( ( S `  y )  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( S `  n
)  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
127126breq1d 4432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
( abs `  (
( ( S `  y )  /  y
)  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
)
128127rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( S `  y
)  /  y )  -  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A
) )
129117, 119, 128sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( S `
 n )  /  n )  -  (
2  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  A )
130112, 79, 8, 108, 129lemul1ad 10552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( S `  n )  /  n )  -  ( 2  x.  ( log `  n ) ) ) )  x.  n
)  <_  ( A  x.  n ) )
131111, 130eqbrtrd 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  ( A  x.  n ) )
13282, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 131lemul12ad 10555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( ( S `  n )  -  (
2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
13381, 83absmuld 13513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )  x.  ( abs `  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
13441ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  CC )
13534recnd 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
136134, 92, 135mulassd 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
137134, 92mulcld 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  n )  e.  CC )
138137, 135mulcomd 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( A  x.  n )  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
139136, 138eqtr3d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( A  x.  ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( A  x.  n ) ) )
140132, 133, 1393brtr4d 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
1415, 76, 80, 140fsumle 13856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14241adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  A  e.  CC )
14335recnd 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
1445, 142, 143fsummulc2 13842 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( A  x.  (
n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
145141, 144breqtrrd 4449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  <_  ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14673, 77, 74, 78, 145letrd 9798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  <_ 
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
14773, 74, 38, 146lediv1dd 11402 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( ( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
14838rpcnd 11349 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
14938rpne0d 11352 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  =/=  0 )
15072, 148, 149absdivd 13514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( abs `  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15138rpred 11347 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
15238rpge0d 11351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
153151, 152absidd 13482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( x  x.  ( log `  x ) ) )
154153oveq2d 6320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
155150, 154eqtr2d 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( S `  n
)  -  ( 2  x.  ( n  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  /  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
15636recnd 9675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
157142, 156, 148, 149divassd 10424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( A  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
158147, 155, 1573brtr3d 4452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `
 ( x  / 
( n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  / 
( x  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
15952leabsd 13474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( n  x.  ( abs `  (
( R `  (
x  /  ( n  +  1 ) ) )  -  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
16069, 52, 71, 158, 159letrd 9798 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
161160adantrr 722 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( n  x.  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) )  -  ( R `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )
1621, 51, 52, 68, 161o1le 13713 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  -  ( abs `  ( R `  ( x  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( 2  x.  (
n  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  (
x  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777    C_ wss 3438   class class class wbr 4422    |-> cmpt 4481   ` cfv 5600  (class class class)co 6304   CCcc 9543   RRcr 9544   1c1 9546    + caddc 9548    x. cmul 9550   +oocpnf 9678    < clt 9681    <_ cle 9682    - cmin 9866    / cdiv 10275   NNcn 10615   2c2 10665   RR+crp 11308   (,)cioo 11641   [,)cico 11643   ...cfz 11790   |_cfl 12031   abscabs 13295   O(1)co1 13547   sum_csu 13749   logclog 23500  Λcvma 24014  ψcchp 24015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-inf2 8154  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623  ax-addf 9624  ax-mulf 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-iin 4301  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-of 6544  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-supp 6925  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-pm 7485  df-ixp 7533  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-fsupp 7892  df-fi 7933  df-sup 7964  df-inf 7965  df-oi 8033  df-card 8380  df-cda 8604  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-xneg 11415  df-xadd 11416  df-xmul 11417  df-ioo 11645  df-ioc 11646  df-ico 11647  df-icc 11648  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-fl 12033  df-mod 12102  df-seq 12219  df-exp 12278  df-fac 12465  df-bc 12493  df-hash 12521  df-shft 13128  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297  df-limsup 13523  df-clim 13549  df-rlim 13550  df-o1 13551  df-lo1 13552  df-sum 13750  df-ef 14118  df-e 14119  df-sin 14120  df-cos 14121  df-pi 14123  df-dvds 14303  df-gcd 14466  df-prm 14620  df-pc 14784  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-sets 15124  df-ress 15125  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-starv 15202  df-sca 15203  df-vsca 15204  df-ip 15205  df-tset 15206  df-ple 15207  df-ds 15209  df-unif 15210  df-hom 15211  df-cco 15212  df-rest 15318  df-topn 15319  df-0g 15337  df-gsum 15338  df-topgen 15339  df-pt 15340  df-prds 15343  df-xrs 15397  df-qtop 15403  df-imas 15404  df-xps 15407  df-mre 15489  df-mrc 15490  df-acs 15492  df-mgm 16485  df-sgrp 16524  df-mnd 16534  df-submnd 16580  df-mulg 16673  df-cntz 16968  df-cmn 17429  df-psmet 18959  df-xmet 18960  df-met 18961  df-bl 18962  df-mopn 18963  df-fbas 18964  df-fg 18965  df-cnfld 18968  df-top 19917  df-bases 19918  df-topon 19919  df-topsp 19920  df-cld 20030  df-ntr 20031  df-cls 20032  df-nei 20110  df-lp 20148  df-perf 20149  df-cn 20239  df-cnp 20240  df-haus 20327  df-tx 20573  df-hmeo 20766  df-fil 20857  df-fm 20949  df-flim 20950  df-flf 20951  df-xms 21331  df-ms 21332  df-tms 21333  df-cncf 21906  df-limc 22817  df-dv 22818  df-log 23502  df-cxp 23503  df-em 23914  df-cht 24019  df-vma 24020  df-chp 24021  df-ppi 24022
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  24414
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