Theorem pntrlog2bndlem2 22961

Description: Lemma for pntrlog2bnd 22967. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bndlem2.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntrlog2bndlem2.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem2	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   R( i, a)   S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9513	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		elioore 11442	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
4		chpcl 22596	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
6	5	recnd 9524	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
7		fzfid 11913	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8	3	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
9		elfznn 11596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
11	10	peano2nnd 10451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
12	8, 11	nndivred 10482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR )
13		chpcl 22596	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
15	14, 12	readdcld 9525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
16	7, 15	fsumrecl 13330	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
17	16	recnd 9524	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
18	3	recnd 9524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
19		eliooord 11467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
21	20	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
22	3, 21	rplogcld 22212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
23	22	rpcnd 11141	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
24	18, 23	mulcld 9518	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. CC )
25		1rp 11107	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
27		1red 9513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
28	27, 3, 21	ltled 9634	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
29	3, 26, 28	rpgecld 11174	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
30	29	rpne0d 11144	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
31	22	rpne0d 11144	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
32	18, 23, 30, 31	mulne0d 10100	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) =/= 0 )
33	6, 17, 24, 32	divdird 10257	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
34	33	mpteq2dva 4487	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
35	29, 22	rpmulcld 11155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
36	5, 35	rerpdivcld 11166	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
37	16, 35	rerpdivcld 11166	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
38	6, 18, 23, 30, 31	divdiv1d 10250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
39	5, 29	rerpdivcld 11166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
40	39	recnd 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
41	40, 23, 31	divrecd 10222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
42	38, 41	eqtr3d 2497	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
43	42	mpteq2dva 4487	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
44	22	rprecred 11150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
45	29	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
46	45	ssrdv 3471	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
47		chpo1ub 22863	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1)
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1) )
49	46, 48	o1res2 13160	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1) )
50		divlogrlim 22214	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
51		rlimo1 13213	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
52	50, 51	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
53	39, 44, 49, 52	o1mul2 13221	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
54	43, 53	eqeltrd 2542	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
55		pntrlog2bndlem2.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR+ )
56	55	rpred 11139	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
57	56, 1	readdcld 9525	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
58	57	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A + 1 ) e. RR )
59	27, 44	readdcld 9525	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. RR )
60		ioossre 11469	. . . . . . 7 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
61	57	recnd 9524	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. CC )
62		o1const 13216	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ ( A + 1 ) e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A + 1 ) ) e. O(1) )
63	60, 61, 62	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A + 1 ) ) e. O(1) )
64		1cnd 9514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
65		o1const 13216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
66	60, 64, 65	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
67	27, 44, 66, 52	o1add2 13220	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
68	58, 59, 63, 67	o1mul2 13221	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
69	58, 59	remulcld 9526	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
70	37	recnd 9524	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
71		chpge0 22598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR -> 0 <_ (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
72	12, 71	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
73	10	nnrpd 11138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
74	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
75	73, 74	rpaddcld 11154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
76	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
77	76	rpge0d 11143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ x )
78	8, 75, 77	divge0d 11175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / ( n + 1 ) ) )
79	14, 12, 72, 78	addge0d 10027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
80	7, 15, 79	fsumge0 13377	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
81	16, 35, 80	divge0d 11175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
82	37, 81	absidd 13028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
83	69	recnd 9524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. CC )
84	83	abscld 13041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) e. RR )
85	16, 29	rerpdivcld 11166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) e. RR )
86	29	relogcld 22206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
87	86, 27	readdcld 9525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. RR )
88	58, 87	remulcld 9526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) e. RR )
89	58, 3	remulcld 9526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. RR )
90	10	nnrecred 10479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
91	7, 90	fsumrecl 13330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
92	89, 91	remulcld 9526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
93	89, 87	remulcld 9526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) e. RR )
94	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
95		1red 9513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
96	94, 95	readdcld 9525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A + 1 ) e. RR )
97	96, 8	remulcld 9526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. RR )
98	97, 90	remulcld 9526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) e. RR )
99	97, 11	nndivred 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) e. RR )
100	97, 10	nndivred 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) e. RR )
101	94, 12	remulcld 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
102	76, 75	rpdivcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ )
103		pntrlog2bndlem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) )
104	103	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) )
105		fveq2 5800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / ( n + 1 ) ) -> (ψ ` y ) = (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
106		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / ( n + 1 ) ) -> ( A x. y ) = ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) )
107	105, 106	breq12d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / ( n + 1 ) ) -> ( (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) <-> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
108	107	rspcv 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
109	102, 104, 108	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) )
110	14, 101, 12, 109	leadd1dd 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
111	61	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A + 1 ) e. CC )
112	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
113	10	nncnd 10450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
114		1cnd 9514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
115	113, 114	addcld 9517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. CC )
116	11	nnne0d 10478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) =/= 0 )
117	111, 112, 115, 116	divassd 10254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( x / ( n + 1 ) ) ) )
118	94	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
119	112, 115, 116	divcld 10219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. CC )
120	118, 114, 119	adddird 9523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( 1 x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
121	119	mulid2d 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( x / ( n + 1 ) ) )
122	121	oveq2d 6217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( 1 x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
123	117, 120, 122	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) = ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
124	110, 123	breqtrrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) )
125	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
126	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
127	126	rpge0d 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ A )
128	26	rpge0d 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ 1 )
129	125, 27, 127, 128	addge0d 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( A + 1 ) )
130	29	rpge0d 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
131	58, 3, 129, 130	mulge0d 10028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( ( A + 1 ) x. x ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( A + 1 ) x. x ) )
133	10	nnred 10449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
134	133	lep1d 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ ( n + 1 ) )
135	73, 75, 97, 132, 134	lediv2ad 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) )
136	15, 99, 100, 124, 135	letrd 9640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) )
137	97	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. CC )
138	10	nnne0d 10478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
139	137, 113, 138	divrecd 10222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) = ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
140	136, 139	breqtrd 4425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
141	7, 15, 98, 140	fsumle 13381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
142	89	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. CC )
143	113, 138	reccld 10212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
144	7, 142, 143	fsummulc2 13370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
145	141, 144	breqtrrd 4427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
146		harmonicubnd 22537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
147	3, 28, 146	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
148	91, 87, 89, 131, 147	lemul2ad 10385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) )
149	16, 92, 93, 145, 148	letrd 9640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) )
150	61	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A + 1 ) e. CC )
151	87	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. CC )
152	150, 18, 151	mul32d 9691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) = ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. x ) )
153	149, 152	breqtrd 4425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. x ) )
154	16, 88, 29	ledivmul2d 11189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) <_ ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) <-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. x ) ) )
155	153, 154	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) <_ ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) )
156	85, 88, 22, 155	lediv1dd 11193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) / ( log ` x ) ) )
157	17, 18, 23, 30, 31	divdiv1d 10250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
158		1cnd 9514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
159	23, 158	addcld 9517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. CC )
160	150, 159, 23, 31	divassd 10254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) ) )
161	23, 158, 23, 31	divdird 10257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) + ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
162	23, 31	dividd 10217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
163	162	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) + ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
164	161, 163	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) )
165	164	oveq2d 6217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) ) )
166	160, 165	eqtr4d 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
167	156, 157, 166	3brtr3d 4430	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
168	69	leabsd 13020	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
169	37, 69, 84, 167, 168	letrd 9640	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
170	82, 169	eqbrtrd 4421	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
171	170	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
172	1, 68, 69, 70, 171	o1le 13249	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
173	36, 37, 54, 172	o1add2 13220	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
174	34, 173	eqeltrd 2542	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
175	5, 16	readdcld 9525	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
176	175, 35	rerpdivcld 11166	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
177		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
178	177	pntrf 22946	. . . . . . . . . . 11 |- R : RR+ --> RR
179	178	ffvelrni 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
180	102, 179	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
181	180	recnd 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
182	76, 73	rpdivcld 11156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
183	178	ffvelrni 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
184	182, 183	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
185	184	recnd 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
186	181, 185	subcld 9831	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
187	186	abscld 13041	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
188	133, 187	remulcld 9526	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
189	7, 188	fsumrecl 13330	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
190	189, 35	rerpdivcld 11166	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
191	190	recnd 9524	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
192	73	rpge0d 11143	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
193	186	absge0d 13049	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
194	133, 187, 192, 193	mulge0d 10028	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) )
195	7, 188, 194	fsumge0 13377	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) )
196	189, 35, 195	divge0d 11175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
197	190, 196	absidd 13028	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
198	6, 17	addcld 9517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. CC )
199	198, 24, 32	divcld 10219	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
200	199	abscld 13041	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
201	8, 10	nndivred 10482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
202		chpcl 22596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / n ) e. RR -> (ψ ` ( x / n ) ) e. RR )
203	201, 202	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / n ) ) e. RR )
204	203, 201	readdcld 9525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) e. RR )
205	204, 15	resubcld 9888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
206	133, 205	remulcld 9526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
207	177	pntrval 22945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) )
208	102, 207	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) )
209	177	pntrval 22945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) )
210	182, 209	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) )
211	208, 210	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) ) )
212	14	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
213	203	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / n ) ) e. CC )
214	112, 113, 138	divcld 10219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
215	212, 119, 213, 214	sub4d 9880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) )
216	211, 215	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) )
217	216	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) )
218	212, 213	subcld 9831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) e. CC )
219	119, 214	subcld 9831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) e. CC )
220	218, 219	abs2dif2d 13063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) )
221	217, 220	eqbrtrd 4421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) )
222	73, 75, 8, 77, 134	lediv2ad 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) <_ ( x / n ) )
223		chpwordi 22629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR /\ ( x / n ) e. RR /\ ( x / ( n + 1 ) ) <_ ( x / n ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ (ψ ` ( x / n ) ) )
224	12, 201, 222, 223	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ (ψ ` ( x / n ) ) )
225	14, 203, 224	abssuble0d 13038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) - (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
226	12, 201, 222	abssuble0d 13038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) = ( ( x / n ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) )
227	225, 226	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) - (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) + ( ( x / n ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
228	213, 214, 212, 119	addsub4d 9878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) - (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) + ( ( x / n ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
229	227, 228	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
230	221, 229	breqtrd 4425	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
231	187, 205, 133, 192, 230	lemul2ad 10385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
232	7, 188, 206, 231	fsumle 13381	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
233	205	recnd 9524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. CC )
234	113, 233	mulcld 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
235	7, 234	fsumcl 13329	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
236	6, 17	negdi2d 9845	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( -u (ψ ` x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
237	29	rprege0d 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
238		flge0nn0 11784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
239		nn0p1nn 10731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
240	237, 238, 239	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
241	3, 240	nndivred 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) e. RR )
242		2re 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
243	242	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
244		flltp1 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> x < ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
245	3, 244	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x < ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
246	240	nncnd 10450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. CC )
247	246	mulid1d 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. 1 ) = ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
248	245, 247	breqtrrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x < ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. 1 ) )
249	240	nnrpd 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR+ )
250	3, 27, 249	ltdivmuld 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 1 <-> x < ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. 1 ) ) )
251	248, 250	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 1 )
252		1lt2 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 < 2
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < 2 )
254	241, 27, 243, 251, 253	lttrd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 2 )
255		chpeq0 22681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) e. RR -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = 0 <-> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 2 ) )
256	241, 255	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = 0 <-> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 2 ) )
257	254, 256	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = 0 )
258	257	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = ( 0 + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
259	241	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) e. CC )
260	259	addid2d 9682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 0 + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
261	258, 260	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
262	261	oveq2d 6217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
263	240	nnne0d 10478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) =/= 0 )
264	18, 246, 263	divcan2d 10221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = x )
265	262, 264	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) = x )
266	18	div1d 10211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / 1 ) = x )
267	266	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` ( x / 1 ) ) = (ψ ` x ) )
268	267, 266	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
269	268	oveq2d 6217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) = ( 1 x. ( (ψ ` x ) + x ) ) )
270	5, 3	readdcld 9525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. RR )
271	270	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. CC )
272	271	mulid2d 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` x ) + x ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
273	269, 272	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
274	265, 273	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) = ( x - ( (ψ ` x ) + x ) ) )
275	271, 18	negsubdi2d 9847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( ( (ψ ` x ) + x ) - x ) = ( x - ( (ψ ` x ) + x ) ) )
276	6, 18	pncand 9832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + x ) - x ) = (ψ ` x ) )
277	276	negeqd 9716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( ( (ψ ` x ) + x ) - x ) = -u (ψ ` x ) )
278	274, 275, 277	3eqtr2d 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) = -u (ψ ` x ) )
279	3	flcld 11766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
280		fzval3 11723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. ZZ -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
281	279, 280	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
282	281	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
283	113, 114	pncan2d 9833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( n + 1 ) - n ) = 1 )
284	283	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
285	15	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
286	285	mulid2d 9516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
287	284, 286	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
288	282, 287	sumeq12rdv 13303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
289	278, 288	oveq12d 6219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( -u (ψ ` x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
290		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( x / m ) = ( x / n ) )
291	290	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / n ) ) )
292	291, 290	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) )
293	292	ancli 551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m = n /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) )
294		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( x / m ) = ( x / ( n + 1 ) ) )
295	294	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n + 1 ) -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
296	295, 294	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
297	296	ancli 551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m = ( n + 1 ) /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
298		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = 1 -> ( x / m ) = ( x / 1 ) )
299	298	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = 1 -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / 1 ) ) )
300	299, 298	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = 1 -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) )
301	300	ancli 551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( m = 1 /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) )
302		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( x / m ) = ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
303	302	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
304	303, 302	oveq12d 6219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
305	304	ancli 551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
306		nnuz 11008	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
307	240, 306	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
308		elfznn 11596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> m e. NN )
309	308	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
310	309	nncnd 10450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. CC )
311	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> x e. RR )
312	311, 309	nndivred 10482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( x / m ) e. RR )
313		chpcl 22596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / m ) e. RR -> (ψ ` ( x / m ) ) e. RR )
314	312, 313	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> (ψ ` ( x / m ) ) e. RR )
315	314, 312	readdcld 9525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) e. RR )
316	315	recnd 9524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) e. CC )
317	293, 297, 301, 305, 307, 310, 316	fsumparts 13388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
318	213, 214	addcld 9517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) e. CC )
319	212, 119	addcld 9517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
320	318, 319	negsubdi2d 9847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> -u ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) )
321	320	oveq2d 6217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. -u ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) )
322	113, 233	mulneg2d 9910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. -u ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
323	321, 322	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) = -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
324	282, 323	sumeq12rdv 13303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
325	317, 324	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
326	236, 289, 325	3eqtr2d 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ...