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Theorem pntrlog2bndlem1 23506
Description: The sum of selberg3r 23498 and selberg4r 23499. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1)
Distinct variable groups:    i, a, n, x    S, n, x    R, n, x
Allowed substitution hints:    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem1
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9610 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 pntrlog2bnd.r . . . . 5  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
32selberg34r 23500 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
4 elioore 11558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
54adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
6 1rp 11223 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
8 1red 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
9 eliooord 11583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1110simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
128, 5, 11ltled 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
135, 7, 12rpgecld 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
142pntrf 23492 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
1514ffvelrni 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1713relogcld 22752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
19 fzfid 12050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2013adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
21 elfznn 11713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2322nnrpd 11254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2420, 23rpdivcld 11272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2514ffvelrni 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
27 fzfid 12050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
28 sgmss 23124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
30 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  e.  Fin )
3127, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  e.  Fin )
32 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  NN
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
3432, 33sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  m  e.  NN )
35 vmacl 23136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
37 dvdsdivcl 23201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
n  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )
3822, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
3932, 38sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  NN )
40 vmacl 23136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( n  /  m
) )  e.  RR )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  (Λ `  (
n  /  m ) )  e.  RR )
4236, 41remulcld 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  e.  RR )
4331, 42fsumrecl 13518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  RR )
44 vmacl 23136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
4522, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4623relogcld 22752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
4745, 46remulcld 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
4843, 47resubcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
4926, 48remulcld 9623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
5019, 49fsumrecl 13518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
515, 11rplogcld 22758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5250, 51rerpdivcld 11282 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
5318, 52resubcld 9986 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5453, 13rerpdivcld 11282 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  RR )
5554recnd 9621 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  CC )
5655lo1o12 13318 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_O(1) ) )
573, 56mpbii 211 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_O(1) )
5855abscld 13229 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  RR )
5916recnd 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
6059abscld 13229 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
6160, 17remulcld 9623 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
6226recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6362abscld 13229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
6422nnred 10550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
65 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
6665pntsf 23502 . . . . . . . . . . 11  |-  S : RR
--> RR
6766ffvelrni 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
6864, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
69 1red 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7064, 69resubcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
7166ffvelrni 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7368, 72resubcld 9986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  e.  RR )
7463, 73remulcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7519, 74fsumrecl 13518 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7675, 51rerpdivcld 11282 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
7761, 76resubcld 9986 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7877, 13rerpdivcld 11282 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
7917recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
8059, 79mulcld 9615 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
8150recnd 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8251rpne0d 11260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
8381, 79, 82divcld 10319 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
8480, 83subcld 9929 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
8584abscld 13229 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  e.  RR )
8681abscld 13229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
8786, 51rerpdivcld 11282 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8861, 87resubcld 9986 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
8949recnd 9621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
9089abscld 13229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
9119, 90fsumrecl 13518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
9219, 89fsumabs 13577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
9348recnd 9621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9462, 93absmuld 13247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
9593abscld 13229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
9662absge0d 13237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9743recnd 9621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  CC )
9847recnd 9621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
9997, 98abs2dif2d 13251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
10072recnd 9621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  CC )
10197, 98addcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  e.  CC )
102100, 101pncan2d 9931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
103 elfzuz 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
105 elfznn 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
107 vmacl 23136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  (Λ `  k )  e.  RR )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (Λ `  k )  e.  RR )
109106nnrpd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  RR+ )
110109relogcld 22752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
111108, 110remulcld 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
112 fzfid 12050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... k )  e. 
Fin )
113 sgmss 23124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
114106, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
115 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
116112, 114, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
117 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
119117, 118sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  NN )
120119, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
121 dvdsdivcl 23201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
k  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
122106, 121sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
123117, 122sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  NN )
124 vmacl 23136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  e.  RR )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  (
k  /  m ) )  e.  RR )
126120, 125remulcld 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) )  e.  RR )
127116, 126fsumrecl 13518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  e.  RR )
128111, 127readdcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  RR )
129128recnd 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  CC )
130 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  k )  =  (Λ `  n ) )
131 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  ( log `  k )  =  ( log `  n
) )
132130, 131oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
133 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
y  ||  k  <->  y  ||  n ) )
134133rabbidv 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  =  { y  e.  NN  |  y  ||  n }
)
135 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  n  ->  (
k  /  m )  =  ( n  /  m ) )
136135fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  =  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
137136oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  n  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
139134, 138sumeq12rdv 13491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )
140132, 139oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
141104, 129, 140fsumm1 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
14265pntsval2 23505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14364, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14422nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
145 flid 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
146144, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  n )  =  n )
147146oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
148147sumeq1d 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
149143, 148eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15065pntsval2 23505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15170, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
152 1zzd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
153144, 152zsubcld 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
154 flid 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( n  - 
1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( n  -  1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
156155oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
157156sumeq1d 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
158151, 157eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15997, 98addcomd 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
160158, 159oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  ( n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
161141, 149, 1603eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  ( ( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
162161oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( n  - 
1 ) )  +  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
163 vmage0 23139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
16434, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
165 vmage0 23139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m ) ) )
16639, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
16736, 41, 164, 166mulge0d 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
16831, 42, 167fsumge0 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
16943, 168absidd 13216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
170 vmage0 23139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
17122, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
17222nnge1d 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
17364, 172logge0d 22759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
17445, 46, 171, 173mulge0d 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
17547, 174absidd 13216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )
176169, 175oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
177102, 162, 1763eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )  +  ( abs `  (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
17899, 177breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) ) )
17995, 73, 63, 96, 178lemul2ad 10485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18094, 179eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18119, 90, 74, 180fsumle 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18286, 91, 75, 92, 181letrd 9737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18386, 75, 51, 182lediv1dd 11309 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
18487, 76, 61, 183lesub2dd 10168 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
18559, 79absmuld 13247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
1865, 12logge0d 22759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
18717, 186absidd 13216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
188187oveq2d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
189185, 188eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
19081, 79, 82absdivd 13248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
191187oveq2d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
192190, 191eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
193189, 192oveq12d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
19480, 83abs2difd 13250 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  <_  ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) ) )
195193, 194eqbrtrrd 4469 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19677, 88, 85, 184, 195letrd 9737 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19777, 85, 13, 196lediv1dd 11309 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
19853recnd 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
1995recnd 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
20013rpne0d 11260 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
201198, 199, 200absdivd 13248 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
20213rpge0d 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  x )
2035, 202absidd 13216 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
204203oveq2d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  x ) )
205201, 204eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
206197, 205breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
207206adantrr 716 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
2081, 57, 58, 78, 207lo1le 13436 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
209208trud 1388 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   {crab 2818    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496   +oocpnf 9624    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804    / cdiv 10205   NNcn 10535   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   RR+crp 11219   (,)cioo 11528   ...cfz 11671   |_cfl 11894   abscabs 13029   O(1)co1 13271   <_O(1)clo1 13272   sum_csu 13470    || cdivides 13846   logclog 22686  Λcvma 23109  ψcchp 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-o1 13275  df-lo1 13276  df-sum 13471  df-ef 13664  df-e 13665  df-sin 13666  df-cos 13667  df-pi 13669  df-dvds 13847  df-gcd 14003  df-prm 14076  df-pc 14219  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-cmp 19669  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688  df-cxp 22689  df-em 23066  df-cht 23114  df-vma 23115  df-chp 23116  df-ppi 23117  df-mu 23118
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  23509
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