MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem pntrlog2bndlem1 22838
Description: The sum of selberg3r 22830 and selberg4r 22831. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1)
Distinct variable groups:    i, a, n, x    S, n, x    R, n, x
Allowed substitution hints:    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem1
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9413 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 pntrlog2bnd.r . . . . 5  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
32selberg34r 22832 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
4 elioore 11342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
54adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
6 1rp 11007 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
8 1red 9413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
9 eliooord 11367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1110simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
128, 5, 11ltled 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
135, 7, 12rpgecld 11074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
142pntrf 22824 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
1514ffvelrni 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1713relogcld 22084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9426 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
19 fzfid 11807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2013adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
21 elfznn 11490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2322nnrpd 11038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2420, 23rpdivcld 11056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2514ffvelrni 5854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
27 fzfid 11807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
28 sgmss 22456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
30 ssfi 7545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  e.  Fin )
3127, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  e.  Fin )
32 ssrab2 3449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  NN
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
3432, 33sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  m  e.  NN )
35 vmacl 22468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
37 dvdsdivcl 22533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
n  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )
3822, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
3932, 38sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  NN )
40 vmacl 22468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( n  /  m
) )  e.  RR )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  (Λ `  (
n  /  m ) )  e.  RR )
4236, 41remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  e.  RR )
4331, 42fsumrecl 13223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  RR )
44 vmacl 22468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
4522, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4623relogcld 22084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
4745, 46remulcld 9426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
4843, 47resubcld 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
4926, 48remulcld 9426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
5019, 49fsumrecl 13223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
515, 11rplogcld 22090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5250, 51rerpdivcld 11066 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
5318, 52resubcld 9788 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5453, 13rerpdivcld 11066 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  RR )
5554recnd 9424 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  CC )
5655lo1o12 13023 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_O(1) ) )
573, 56mpbii 211 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_O(1) )
5855abscld 12934 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  RR )
5916recnd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
6059abscld 12934 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
6160, 17remulcld 9426 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
6226recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6362abscld 12934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
6422nnred 10349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
65 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
6665pntsf 22834 . . . . . . . . . . 11  |-  S : RR
--> RR
6766ffvelrni 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
6864, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
69 1red 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7064, 69resubcld 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
7166ffvelrni 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7368, 72resubcld 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  e.  RR )
7463, 73remulcld 9426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7519, 74fsumrecl 13223 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7675, 51rerpdivcld 11066 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
7761, 76resubcld 9788 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7877, 13rerpdivcld 11066 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
7917recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
8059, 79mulcld 9418 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
8150recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8251rpne0d 11044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
8381, 79, 82divcld 10119 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
8480, 83subcld 9731 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
8584abscld 12934 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  e.  RR )
8681abscld 12934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
8786, 51rerpdivcld 11066 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8861, 87resubcld 9788 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
8949recnd 9424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
9089abscld 12934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
9119, 90fsumrecl 13223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
9219, 89fsumabs 13276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
9348recnd 9424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9462, 93absmuld 12952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
9593abscld 12934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
9662absge0d 12942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9743recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  CC )
9847recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
9997, 98abs2dif2d 12956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
10072recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  CC )
10197, 98addcld 9417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  e.  CC )
102100, 101pncan2d 9733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
103 elfzuz 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
105 elfznn 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
107 vmacl 22468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  (Λ `  k )  e.  RR )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (Λ `  k )  e.  RR )
109106nnrpd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  RR+ )
110109relogcld 22084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
111108, 110remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
112 fzfid 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... k )  e. 
Fin )
113 sgmss 22456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
114106, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
115 ssfi 7545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
116112, 114, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
117 ssrab2 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
119117, 118sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  NN )
120119, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
121 dvdsdivcl 22533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
k  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
122106, 121sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
123117, 122sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  NN )
124 vmacl 22468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  e.  RR )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  (
k  /  m ) )  e.  RR )
126120, 125remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( T. 
/\  x  e.  ( 1 (,) +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) )  e.  RR )
127116, 126fsumrecl 13223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  e.  RR )
128111, 127readdcld 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  RR )
129128recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  CC )
130 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  k )  =  (Λ `  n ) )
131 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  ( log `  k )  =  ( log `  n
) )
132130, 131oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
133 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
y  ||  k  <->  y  ||  n ) )
134133rabbidv 2976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  =  { y  e.  NN  |  y  ||  n }
)
135 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  n  ->  (
k  /  m )  =  ( n  /  m ) )
136135fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  =  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
137136oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  n  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
139134, 138sumeq12rdv 13196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )
140132, 139oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
141104, 129, 140fsumm1 13232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
14265pntsval2 22837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14364, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14422nnzd 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
145 flid 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
146144, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  n )  =  n )
147146oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
148147sumeq1d 13190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
149143, 148eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15065pntsval2 22837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15170, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
152 1zzd 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
153144, 152zsubcld 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
154 flid 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( n  - 
1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( n  -  1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
156155oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
157156sumeq1d 13190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
158151, 157eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15997, 98addcomd 9583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
160158, 159oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  ( n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
161141, 149, 1603eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  ( ( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
162161oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( n  - 
1 ) )  +  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
163 vmage0 22471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
16434, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
165 vmage0 22471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m ) ) )
16639, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
16736, 41, 164, 166mulge0d 9928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n }
)  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
16831, 42, 167fsumge0 13270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
16943, 168absidd 12921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
170 vmage0 22471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
17122, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
17222nnge1d 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
17364, 172logge0d 22091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
17445, 46, 171, 173mulge0d 9928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
17547, 174absidd 12921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )
176169, 175oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
177102, 162, 1763eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )  +  ( abs `  (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
17899, 177breqtrrd 4330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) ) )
17995, 73, 63, 96, 178lemul2ad 10285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18094, 179eqbrtrd 4324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18119, 90, 74, 180fsumle 13274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18286, 91, 75, 92, 181letrd 9540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18386, 75, 51, 182lediv1dd 11093 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
18487, 76, 61, 183lesub2dd 9968 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
18559, 79absmuld 12952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
1865, 12logge0d 22091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
18717, 186absidd 12921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
188187oveq2d 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
189185, 188eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
19081, 79, 82absdivd 12953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
191187oveq2d 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
192190, 191eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
193189, 192oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
19480, 83abs2difd 12955 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  <_  ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) ) )
195193, 194eqbrtrrd 4326 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19677, 88, 85, 184, 195letrd 9540 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19777, 85, 13, 196lediv1dd 11093 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
19853recnd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
1995recnd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
20013rpne0d 11044 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
201198, 199, 200absdivd 12953 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
20213rpge0d 11043 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  x )
2035, 202absidd 12921 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
204203oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  x ) )
205201, 204eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
206197, 205breqtrrd 4330 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
207206adantrr 716 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
2081, 57, 58, 78, 207lo1le 13141 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
209208trud 1378 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   {crab 2731    C_ wss 3340   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299   +oocpnf 9427    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607    / cdiv 10005   NNcn 10334   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   RR+crp 11003   (,)cioo 11312   ...cfz 11449   |_cfl 11652   abscabs 12735   O(1)co1 12976   <_O(1)clo1 12977   sum_csu 13175    || cdivides 13547   logclog 22018  Λcvma 22441  ψcchp 22442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-o1 12980  df-lo1 12981  df-sum 13176  df-ef 13365  df-e 13366  df-sin 13367  df-cos 13368  df-pi 13370  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-pc 13916  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354  df-log 22020  df-cxp 22021  df-em 22398  df-cht 22446  df-vma 22447  df-chp 22448  df-ppi 22449  df-mu 22450
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  22841
  Copyright terms: Public domain W3C validator