Theorem pntrlog2bnd 24501

Description: A bound on R ( x ) log ^ 2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	|- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Distinct variable groups:   x, n, c, R   a, c, n, x, A

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables i y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 11721	. . 3 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
3		1red 9676	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 e. RR )
4	2	sselda 3418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
5		1rp 11329	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
7		1red 9676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
8		eliooord 11719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
9	8	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
10	9	simpld 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
11	7, 4, 10	ltled 9800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
12	4, 6, 11	rpgecld 11400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
14	13	pntrf 24480	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
15	14	ffvelrni 6036	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
17	16	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
18	17	abscld 13575	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
19	12	relogcld 23651	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	18, 19	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
21		2re 10701	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
23	4, 10	rplogcld 23657	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
24	22, 23	rerpdivcld 11392	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
25		fzfid 12224	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
26	12	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> x e. RR+ )
27		elfznn 11854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) -> n e. NN )
28	27	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
29	28	nnrpd 11362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
30	26, 29	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
31	14	ffvelrni 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
33	32	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
34	33	abscld 13575	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
35	29	relogcld 23651	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
36	34, 35	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
37	25, 36	fsumrecl 13877	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
38	24, 37	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
39	20, 38	resubcld 10068	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
40	39, 12	rerpdivcld 11392	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
41	13	pntrmax 24481	. . 3 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c
42		eqid 2471	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) ) = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
43		eqid 2471	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) ) = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
44		simprl 772	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> c e. RR+ )
45		simprr 774	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c )
46		simpll 768	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A e. RR )
47		simplr 770	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> 1 <_ A )
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 24500	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
49	48	rexlimdvaa 2872	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) ) )
50	41, 49	mpi 20	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
51		simprl 772	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR )
52		chpcl 24130	. . . . 5 |- ( y e. RR -> (ψ ` y ) e. RR )
53	51, 52	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
54	53, 51	readdcld 9688	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
55	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 e. RR+ )
56		simprr 774	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ y )
57	51, 55, 56	rpgecld 11400	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR+ )
58	57	relogcld 23651	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
59	54, 58	remulcld 9689	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
60	40	adantr 472	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
61	53	ad2ant2r 761	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
62		simprll 780	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR )
63	61, 62	readdcld 9688	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
64	57	ad2ant2r 761	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR+ )
65	64	relogcld 23651	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
66	63, 65	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
67	12	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR+ )
68	66, 67	rerpdivcld 11392	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) e. RR )
69	16	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
70	69	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
71	70	abscld 13575	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
72	67	relogcld 23651	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
73	71, 72	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
74	24	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
75	37	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
77	73, 76	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR )
79	4	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR )
80	10	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 < x )
81	79, 80	rplogcld 23657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
82		2rp 11330	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR+ )
84	83	rpge0d 11368	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ 2 )
85	78, 81, 84	divge0d 11401	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( 2 / ( log ` x ) ) )
86		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
87	36	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
88	33	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
89	88	abscld 13575	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
90	29	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
91	90	relogcld 23651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
92	88	absge0d 13583	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
93	90	rpred 11364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR )
94	27	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
95	94	nnge1d 10674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 1 <_ n )
96	93, 95	logge0d 23658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 10211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
98	86, 87, 97	fsumge0 13932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 10211	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
100	73, 76	subge02d 10226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
101	99, 100	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) )
102	70	absge0d 13583	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` x ) ) )
103	81	rpge0d 11368	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
104		chpcl 24130	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
105	79, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
106	105, 79	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. RR )
107	13	pntrval 24479	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
108	67, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
109	108	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) = ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) )
110	105	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
111	79	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. CC )
112	110, 111	abs2dif2d 13597	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) )
113		chpge0 24132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> 0 <_ (ψ ` x ) )
114	79, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` x ) )
115	105, 114	absidd 13561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` (ψ ` x ) ) = (ψ ` x ) )
116	67	rpge0d 11368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ x )
117	79, 116	absidd 13561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` x ) = x )
118	115, 117	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
119	112, 118	breqtrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
120	109, 119	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
121		simprr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x < y )
122	79, 62, 121	ltled 9800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x <_ y )
123		chpwordi 24163	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 10253	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 9809	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
127	67, 64	logled 23655	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( x <_ y <-> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) ) )
128	122, 127	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) )
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 10571	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 9809	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 11419	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) )
132	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 e. RR+ )
133		chpge0 24132	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> 0 <_ (ψ ` y ) )
134	62, 133	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` y ) )
135	64	rpge0d 11368	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ y )
136	61, 62, 134, 135	addge0d 10210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
137		simprlr 781	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ y )
138	62, 137	logge0d 23658	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` y ) )
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 10211	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
140	11	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ x )
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 11386	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) )
142	61	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. CC )
143	62	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. CC )
144	142, 143	addcld 9680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. CC )
145	65	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. CC )
146	144, 145	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. CC )
147	146	div1d 10397	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) = ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
148	141, 147	breqtrd 4420	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 9809	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 13666	1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   |_cfl 12059   abscabs 13374   <_O(1)clo1 13628   sum_csu 13829   logclog 23583  Λcvma 24097  ψcchp 24098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105  df-mu 24106

This theorem is referenced by:  pntlemp  24527