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Theorem pntrlog2bnd 22792
Description: A bound on  R ( x ) log ^
2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Distinct variable groups:    x, n, c, R    a, c, n, x, A
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd
Dummy variables  i 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 11353 . . 3  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1 (,) +oo )  C_  RR )
3 1red 9397 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  e.  RR )
42sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  x  e.  RR )
5 1rp 10991 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  1  e.  RR+ )
7 1red 9397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  1  e.  RR )
8 eliooord 11351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
98adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
109simpld 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  1  <  x )
117, 4, 10ltled 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  1  <_  x )
124, 6, 11rpgecld 11058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  x  e.  RR+ )
13 pntpbnd.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1413pntrf 22771 . . . . . . . . 9  |-  R : RR+
--> RR
1514ffvelrni 5839 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1612, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1716recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1817abscld 12918 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  e.  RR )
1912relogcld 22031 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2018, 19remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
21 2re 10387 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  2  e.  RR )
234, 10rplogcld 22037 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2422, 23rerpdivcld 11050 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( 2  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
25 fzfid 11791 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
2612adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
27 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2827adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
2928nnrpd 11022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3026, 29rpdivcld 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3114ffvelrni 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3332recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3433abscld 12918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3529relogcld 22031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3634, 35remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3725, 36fsumrecl 13207 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3824, 37remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3920, 38resubcld 9772 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
4039, 12rerpdivcld 11050 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
4113pntrmax 22772 . . 3  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  c
42 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )
43 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
44 simprl 750 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  c  e.  RR+ )
45 simprr 751 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c )
46 simpll 748 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A  e.  RR )
47 simplr 749 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  1  <_  A
)
4842, 13, 43, 44, 45, 46, 47pntrlog2bndlem6 22791 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
4948rexlimdvaa 2840 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) ) )
5041, 49mpi 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_O(1) )
51 simprl 750 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
52 chpcl 22421 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
5351, 52syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
5453, 51readdcld 9409 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
555a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  e.  RR+ )
56 simprr 751 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  <_  y )
5751, 55, 56rpgecld 11058 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR+ )
5857relogcld 22031 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( log `  y )  e.  RR )
5954, 58remulcld 9410 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6040adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6153ad2ant2r 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
62 simprll 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
6361, 62readdcld 9409 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
6457ad2ant2r 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
6564relogcld 22031 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
6663, 65remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6712adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
6866, 67rerpdivcld 11050 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  e.  RR )
6916adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
7069recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
7170abscld 12918 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  e.  RR )
7267relogcld 22031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7371, 72remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
7424adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
7537adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
7674, 75remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
7773, 76resubcld 9772 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
7821a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
794adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
8010adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <  x )
8179, 80rplogcld 22037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
82 2rp 10992 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
8382a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
8483rpge0d 11027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
8578, 81, 84divge0d 11059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  /  ( log `  x ) ) )
86 fzfid 11791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
8736adantlr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8833adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
8988abscld 12918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
9029adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
9190relogcld 22031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
9288absge0d 12926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9390rpred 11023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
9427adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
9594nnge1d 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  1  <_  n )
9693, 95logge0d 22038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
9789, 91, 92, 96mulge0d 9912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
9886, 87, 97fsumge0 13254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
9974, 75, 85, 98mulge0d 9912 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
10073, 76subge02d 9927 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) ) )
10199, 100mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) )
10270absge0d 12926 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 x ) ) )
10381rpge0d 11027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
104 chpcl 22421 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
10579, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
106105, 79readdcld 9409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  e.  RR )
10713pntrval 22770 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
10867, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
109108fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  =  ( abs `  ( (ψ `  x )  -  x
) ) )
110105recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
11179recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
112110, 111abs2dif2d 12940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) ) )
113 chpge0 22423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
11479, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  x ) )
115105, 114absidd 12905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  (ψ `  x )
)  =  (ψ `  x ) )
11667rpge0d 11027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  x )
11779, 116absidd 12905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
118115, 117oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) )  =  ( (ψ `  x )  +  x
) )
119112, 118breqtrd 4313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( (ψ `  x )  +  x
) )
120109, 119eqbrtrd 4309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  x )  +  x ) )
121 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
12279, 62, 121ltled 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
123 chpwordi 22454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
12479, 62, 122, 123syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  <_  (ψ `  y
) )
125105, 79, 61, 62, 124, 122le2addd 9953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
12671, 106, 63, 120, 125letrd 9524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  y )  +  y ) )
12767, 64logled 22035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
128122, 127mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
12971, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128lemul12ad 10271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  <_  (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
13077, 73, 66, 101, 129letrd 9524 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
13177, 66, 67, 130lediv1dd 11077 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) )  /  x ) )
1325a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
133 chpge0 22423 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
13462, 133syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
13564rpge0d 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  y )
13661, 62, 134, 135addge0d 9911 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
137 simprlr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  y )
13862, 137logge0d 22038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
13963, 65, 136, 138mulge0d 9912 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
14011adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
141132, 67, 66, 139, 140lediv2ad 11045 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
) )
14261recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  CC )
14362recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  CC )
144142, 143addcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  CC )
14565recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
146144, 145mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  CC )
147146div1d 10095 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
)  =  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
148141, 147breqtrd 4313 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
14960, 68, 66, 131, 148letrd 9524 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
1502, 3, 40, 50, 59, 149lo1bddrp 12999 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   ...cfz 11433   |_cfl 11636   abscabs 12719   <_O(1)clo1 12961   sum_csu 13159   logclog 21965  Λcvma 22388  ψcchp 22389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968  df-em 22345  df-cht 22393  df-vma 22394  df-chp 22395  df-ppi 22396  df-mu 22397
This theorem is referenced by:  pntlemp  22818
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