Theorem pntrlog2bnd 22792

Description: A bound on R ( x ) log ^ 2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	|- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Distinct variable groups:   x, n, c, R   a, c, n, x, A

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables i y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 11353	. . 3 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
3		1red 9397	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 e. RR )
4	2	sselda 3353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
5		1rp 10991	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
7		1red 9397	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
8		eliooord 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
9	8	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
10	9	simpld 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
11	7, 4, 10	ltled 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
12	4, 6, 11	rpgecld 11058	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
14	13	pntrf 22771	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
15	14	ffvelrni 5839	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
16	12, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
17	16	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
18	17	abscld 12918	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
19	12	relogcld 22031	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	18, 19	remulcld 9410	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
21		2re 10387	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
23	4, 10	rplogcld 22037	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
24	22, 23	rerpdivcld 11050	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
25		fzfid 11791	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
26	12	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> x e. RR+ )
27		elfznn 11474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) -> n e. NN )
28	27	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
29	28	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
30	26, 29	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
31	14	ffvelrni 5839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
33	32	recnd 9408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
34	33	abscld 12918	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
35	29	relogcld 22031	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
36	34, 35	remulcld 9410	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
37	25, 36	fsumrecl 13207	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
38	24, 37	remulcld 9410	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
39	20, 38	resubcld 9772	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
40	39, 12	rerpdivcld 11050	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
41	13	pntrmax 22772	. . 3 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c
42		eqid 2441	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) ) = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
43		eqid 2441	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) ) = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
44		simprl 750	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> c e. RR+ )
45		simprr 751	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c )
46		simpll 748	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A e. RR )
47		simplr 749	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> 1 <_ A )
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 22791	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
49	48	rexlimdvaa 2840	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) ) )
50	41, 49	mpi 17	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
51		simprl 750	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR )
52		chpcl 22421	. . . . 5 |- ( y e. RR -> (ψ ` y ) e. RR )
53	51, 52	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
54	53, 51	readdcld 9409	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
55	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 e. RR+ )
56		simprr 751	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ y )
57	51, 55, 56	rpgecld 11058	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR+ )
58	57	relogcld 22031	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
59	54, 58	remulcld 9410	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
60	40	adantr 462	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
61	53	ad2ant2r 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
62		simprll 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR )
63	61, 62	readdcld 9409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
64	57	ad2ant2r 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR+ )
65	64	relogcld 22031	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
66	63, 65	remulcld 9410	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
67	12	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR+ )
68	66, 67	rerpdivcld 11050	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) e. RR )
69	16	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
70	69	recnd 9408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
71	70	abscld 12918	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
72	67	relogcld 22031	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
73	71, 72	remulcld 9410	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
74	24	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
75	37	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 9410	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
77	73, 76	resubcld 9772	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR )
79	4	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR )
80	10	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 < x )
81	79, 80	rplogcld 22037	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
82		2rp 10992	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR+ )
84	83	rpge0d 11027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ 2 )
85	78, 81, 84	divge0d 11059	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( 2 / ( log ` x ) ) )
86		fzfid 11791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
87	36	adantlr 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
88	33	adantlr 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
89	88	abscld 12918	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
90	29	adantlr 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
91	90	relogcld 22031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
92	88	absge0d 12926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
93	90	rpred 11023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR )
94	27	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
95	94	nnge1d 10360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 1 <_ n )
96	93, 95	logge0d 22038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 9912	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
98	86, 87, 97	fsumge0 13254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 9912	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
100	73, 76	subge02d 9927	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
101	99, 100	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) )
102	70	absge0d 12926	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` x ) ) )
103	81	rpge0d 11027	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
104		chpcl 22421	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
105	79, 104	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
106	105, 79	readdcld 9409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. RR )
107	13	pntrval 22770	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
108	67, 107	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
109	108	fveq2d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) = ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) )
110	105	recnd 9408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
111	79	recnd 9408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. CC )
112	110, 111	abs2dif2d 12940	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) )
113		chpge0 22423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> 0 <_ (ψ ` x ) )
114	79, 113	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` x ) )
115	105, 114	absidd 12905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` (ψ ` x ) ) = (ψ ` x ) )
116	67	rpge0d 11027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ x )
117	79, 116	absidd 12905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` x ) = x )
118	115, 117	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
119	112, 118	breqtrd 4313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
120	109, 119	eqbrtrd 4309	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
121		simprr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x < y )
122	79, 62, 121	ltled 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x <_ y )
123		chpwordi 22454	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 9953	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 9524	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
127	67, 64	logled 22035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( x <_ y <-> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) ) )
128	122, 127	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) )
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 10271	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 9524	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 11077	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) )
132	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 e. RR+ )
133		chpge0 22423	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> 0 <_ (ψ ` y ) )
134	62, 133	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` y ) )
135	64	rpge0d 11027	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ y )
136	61, 62, 134, 135	addge0d 9911	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
137		simprlr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ y )
138	62, 137	logge0d 22038	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` y ) )
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 9912	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
140	11	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ x )
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 11045	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) )
142	61	recnd 9408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. CC )
143	62	recnd 9408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. CC )
144	142, 143	addcld 9401	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. CC )
145	65	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. CC )
146	144, 145	mulcld 9402	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. CC )
147	146	div1d 10095	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) = ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
148	141, 147	breqtrd 4313	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 9524	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 12999	1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   +oocpnf 9411   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   ...cfz 11433   |_cfl 11636   abscabs 12719   <_O(1)clo1 12961   sum_csu 13159   logclog 21965  Λcvma 22388  ψcchp 22389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968  df-em 22345  df-cht 22393  df-vma 22394  df-chp 22395  df-ppi 22396  df-mu 22397

This theorem is referenced by:  pntlemp  22818