Theorem pntrlog2bnd 24422

Description: A bound on R ( x ) log ^ 2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	|- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Distinct variable groups:   x, n, c, R   a, c, n, x, A

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables i y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 11696	. . 3 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
3		1red 9658	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 e. RR )
4	2	sselda 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
5		1rp 11306	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
7		1red 9658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
8		eliooord 11694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
9	8	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
10	9	simpld 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
11	7, 4, 10	ltled 9783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
12	4, 6, 11	rpgecld 11377	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
14	13	pntrf 24401	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
15	14	ffvelrni 6021	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
17	16	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
18	17	abscld 13498	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
19	12	relogcld 23572	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	18, 19	remulcld 9671	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
21		2re 10679	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
23	4, 10	rplogcld 23578	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
24	22, 23	rerpdivcld 11369	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
25		fzfid 12186	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
26	12	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> x e. RR+ )
27		elfznn 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) -> n e. NN )
28	27	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
29	28	nnrpd 11339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
30	26, 29	rpdivcld 11358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
31	14	ffvelrni 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
33	32	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
34	33	abscld 13498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
35	29	relogcld 23572	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
36	34, 35	remulcld 9671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
37	25, 36	fsumrecl 13800	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
38	24, 37	remulcld 9671	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
39	20, 38	resubcld 10047	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
40	39, 12	rerpdivcld 11369	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
41	13	pntrmax 24402	. . 3 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c
42		eqid 2451	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) ) = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
43		eqid 2451	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) ) = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
44		simprl 764	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> c e. RR+ )
45		simprr 766	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c )
46		simpll 760	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A e. RR )
47		simplr 762	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> 1 <_ A )
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 24421	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
49	48	rexlimdvaa 2880	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) ) )
50	41, 49	mpi 20	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
51		simprl 764	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR )
52		chpcl 24051	. . . . 5 |- ( y e. RR -> (ψ ` y ) e. RR )
53	51, 52	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
54	53, 51	readdcld 9670	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
55	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 e. RR+ )
56		simprr 766	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ y )
57	51, 55, 56	rpgecld 11377	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR+ )
58	57	relogcld 23572	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
59	54, 58	remulcld 9671	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
60	40	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
61	53	ad2ant2r 753	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
62		simprll 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR )
63	61, 62	readdcld 9670	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
64	57	ad2ant2r 753	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR+ )
65	64	relogcld 23572	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
66	63, 65	remulcld 9671	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
67	12	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR+ )
68	66, 67	rerpdivcld 11369	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) e. RR )
69	16	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
70	69	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
71	70	abscld 13498	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
72	67	relogcld 23572	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
73	71, 72	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
74	24	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
75	37	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
77	73, 76	resubcld 10047	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR )
79	4	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR )
80	10	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 < x )
81	79, 80	rplogcld 23578	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
82		2rp 11307	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR+ )
84	83	rpge0d 11345	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ 2 )
85	78, 81, 84	divge0d 11378	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( 2 / ( log ` x ) ) )
86		fzfid 12186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
87	36	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
88	33	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
89	88	abscld 13498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
90	29	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
91	90	relogcld 23572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
92	88	absge0d 13506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
93	90	rpred 11341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR )
94	27	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
95	94	nnge1d 10652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 1 <_ n )
96	93, 95	logge0d 23579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 10190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
98	86, 87, 97	fsumge0 13855	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 10190	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
100	73, 76	subge02d 10205	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
101	99, 100	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) )
102	70	absge0d 13506	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` x ) ) )
103	81	rpge0d 11345	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
104		chpcl 24051	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
105	79, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
106	105, 79	readdcld 9670	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. RR )
107	13	pntrval 24400	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
108	67, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
109	108	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) = ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) )
110	105	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
111	79	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. CC )
112	110, 111	abs2dif2d 13520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) )
113		chpge0 24053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> 0 <_ (ψ ` x ) )
114	79, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` x ) )
115	105, 114	absidd 13484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` (ψ ` x ) ) = (ψ ` x ) )
116	67	rpge0d 11345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ x )
117	79, 116	absidd 13484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` x ) = x )
118	115, 117	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
119	112, 118	breqtrd 4427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
120	109, 119	eqbrtrd 4423	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
121		simprr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x < y )
122	79, 62, 121	ltled 9783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x <_ y )
123		chpwordi 24084	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 10232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 9792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
127	67, 64	logled 23576	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( x <_ y <-> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) ) )
128	122, 127	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) )
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 10549	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 9792	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 11396	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) )
132	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 e. RR+ )
133		chpge0 24053	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> 0 <_ (ψ ` y ) )
134	62, 133	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` y ) )
135	64	rpge0d 11345	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ y )
136	61, 62, 134, 135	addge0d 10189	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
137		simprlr 773	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ y )
138	62, 137	logge0d 23579	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` y ) )
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 10190	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
140	11	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ x )
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 11363	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) )
142	61	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. CC )
143	62	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. CC )
144	142, 143	addcld 9662	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. CC )
145	65	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. CC )
146	144, 145	mulcld 9663	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. CC )
147	146	div1d 10375	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) = ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
148	141, 147	breqtrd 4427	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 9792	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 13589	1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   ...cfz 11784   |_cfl 12026   abscabs 13297   <_O(1)clo1 13551   sum_csu 13752   logclog 23504  Λcvma 24018  ψcchp 24019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-o1 13554  df-lo1 13555  df-sum 13753  df-ef 14121  df-e 14122  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-pc 14787  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-em 23918  df-cht 24023  df-vma 24024  df-chp 24025  df-ppi 24026  df-mu 24027

This theorem is referenced by:  pntlemp  24448