Theorem pntrlog2bnd 22845

Description: A bound on R ( x ) log ^ 2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	|- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Distinct variable groups:   x, n, c, R   a, c, n, x, A

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables i y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 11369	. . 3 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
3		1red 9413	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 e. RR )
4	2	sselda 3368	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
5		1rp 11007	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
7		1red 9413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
8		eliooord 11367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
9	8	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
10	9	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
11	7, 4, 10	ltled 9534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
12	4, 6, 11	rpgecld 11074	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
14	13	pntrf 22824	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
15	14	ffvelrni 5854	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
16	12, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
17	16	recnd 9424	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
18	17	abscld 12934	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
19	12	relogcld 22084	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	18, 19	remulcld 9426	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
21		2re 10403	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
23	4, 10	rplogcld 22090	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
24	22, 23	rerpdivcld 11066	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
25		fzfid 11807	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
26	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> x e. RR+ )
27		elfznn 11490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) -> n e. NN )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
29	28	nnrpd 11038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
30	26, 29	rpdivcld 11056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
31	14	ffvelrni 5854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
33	32	recnd 9424	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
34	33	abscld 12934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
35	29	relogcld 22084	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
36	34, 35	remulcld 9426	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
37	25, 36	fsumrecl 13223	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
38	24, 37	remulcld 9426	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
39	20, 38	resubcld 9788	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
40	39, 12	rerpdivcld 11066	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
41	13	pntrmax 22825	. . 3 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c
42		eqid 2443	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) ) = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
43		eqid 2443	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) ) = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
44		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> c e. RR+ )
45		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c )
46		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A e. RR )
47		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> 1 <_ A )
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 22844	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
49	48	rexlimdvaa 2854	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) ) )
50	41, 49	mpi 17	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
51		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR )
52		chpcl 22474	. . . . 5 |- ( y e. RR -> (ψ ` y ) e. RR )
53	51, 52	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
54	53, 51	readdcld 9425	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
55	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 e. RR+ )
56		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ y )
57	51, 55, 56	rpgecld 11074	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR+ )
58	57	relogcld 22084	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
59	54, 58	remulcld 9426	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
60	40	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
61	53	ad2ant2r 746	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
62		simprll 761	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR )
63	61, 62	readdcld 9425	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
64	57	ad2ant2r 746	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR+ )
65	64	relogcld 22084	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
66	63, 65	remulcld 9426	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
67	12	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR+ )
68	66, 67	rerpdivcld 11066	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) e. RR )
69	16	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
70	69	recnd 9424	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
71	70	abscld 12934	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
72	67	relogcld 22084	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
73	71, 72	remulcld 9426	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
74	24	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
75	37	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 9426	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
77	73, 76	resubcld 9788	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR )
79	4	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR )
80	10	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 < x )
81	79, 80	rplogcld 22090	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
82		2rp 11008	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR+ )
84	83	rpge0d 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ 2 )
85	78, 81, 84	divge0d 11075	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( 2 / ( log ` x ) ) )
86		fzfid 11807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
87	36	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
88	33	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
89	88	abscld 12934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
90	29	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
91	90	relogcld 22084	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
92	88	absge0d 12942	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
93	90	rpred 11039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR )
94	27	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
95	94	nnge1d 10376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 1 <_ n )
96	93, 95	logge0d 22091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 9928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
98	86, 87, 97	fsumge0 13270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 9928	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
100	73, 76	subge02d 9943	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
101	99, 100	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) )
102	70	absge0d 12942	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` x ) ) )
103	81	rpge0d 11043	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
104		chpcl 22474	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
105	79, 104	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
106	105, 79	readdcld 9425	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. RR )
107	13	pntrval 22823	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
108	67, 107	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
109	108	fveq2d 5707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) = ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) )
110	105	recnd 9424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
111	79	recnd 9424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. CC )
112	110, 111	abs2dif2d 12956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) )
113		chpge0 22476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> 0 <_ (ψ ` x ) )
114	79, 113	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` x ) )
115	105, 114	absidd 12921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` (ψ ` x ) ) = (ψ ` x ) )
116	67	rpge0d 11043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ x )
117	79, 116	absidd 12921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` x ) = x )
118	115, 117	oveq12d 6121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
119	112, 118	breqtrd 4328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
120	109, 119	eqbrtrd 4324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
121		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x < y )
122	79, 62, 121	ltled 9534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x <_ y )
123		chpwordi 22507	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 9969	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 9540	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
127	67, 64	logled 22088	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( x <_ y <-> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) ) )
128	122, 127	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) )
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 10287	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 9540	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 11093	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) )
132	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 e. RR+ )
133		chpge0 22476	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> 0 <_ (ψ ` y ) )
134	62, 133	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` y ) )
135	64	rpge0d 11043	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ y )
136	61, 62, 134, 135	addge0d 9927	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
137		simprlr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ y )
138	62, 137	logge0d 22091	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` y ) )
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 9928	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
140	11	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ x )
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 11061	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) )
142	61	recnd 9424	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. CC )
143	62	recnd 9424	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. CC )
144	142, 143	addcld 9417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. CC )
145	65	recnd 9424	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. CC )
146	144, 145	mulcld 9418	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. CC )
147	146	div1d 10111	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) = ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
148	141, 147	breqtrd 4328	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 9540	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 13015	1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   C_ wss 3340   ifcif 3803   class class class wbr 4304   e. cmpt 4362   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   + caddc 9297   x. cmul 9299   +oocpnf 9427   < clt 9430   <_ cle 9431   - cmin 9607   / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   RR+crp 11003   (,)cioo 11312   ...cfz 11449   |_cfl 11652   abscabs 12735   <_O(1)clo1 12977   sum_csu 13175   logclog 22018  Λcvma 22441  ψcchp 22442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-o1 12980  df-lo1 12981  df-sum 13176  df-ef 13365  df-e 13366  df-sin 13367  df-cos 13368  df-pi 13370  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-pc 13916  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354  df-log 22020  df-cxp 22021  df-em 22398  df-cht 22446  df-vma 22447  df-chp 22448  df-ppi 22449  df-mu 22450

This theorem is referenced by:  pntlemp  22871