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Theorem pntpbnd1a 21232
Description: Lemma for pntpbnd 21235. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntpbnd1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
pntpbnd1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
pntpbnd1a.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pntpbnd1a.2  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
pntpbnd1a.3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Distinct variable group:    N, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    R( a)    E( a)    K( a)    X( a)    Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnrpd 10603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
43pntrf 21210 . . . . . . 7  |-  R : RR+
--> RR
54ffvelrni 5828 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  e.  RR )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  RR )
76, 2rerpdivcld 10631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  RR )
87recnd 9070 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R `  N )  /  N
)  e.  CC )
98abscld 12193 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
102relogcld 20471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
1110, 2rerpdivcld 10631 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
12 ioossre 10928 . . 3  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
13 pntpbnd1.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1412, 13sseldi 3306 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
156recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  e.  CC )
161nnred 9971 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1716recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
181nnne0d 10000 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
1915, 17, 18absdivd 12212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  ( abs `  N
) ) )
201nnnn0d 10230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120nn0ge0d 10233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
2216, 21absidd 12180 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  N
)  =  N )
2322oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  ( abs `  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N ) )
2419, 23eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  =  ( ( abs `  ( R `
 N ) )  /  N ) )
2515abscld 12193 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  e.  RR )
261peano2nnd 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
27 vmacl 20854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
29 peano2rem 9323 . . . . . . . 8  |-  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
3130recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
3231abscld 12193 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
) ) )
3426nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
353pntrval 21209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  +  1 ) ) )
373pntrval 21209 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( R `
 N )  =  ( (ψ `  N
)  -  N ) )
382, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  N
)  =  ( (ψ `  N )  -  N
) )
3936, 38oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  ( N  + 
1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N ) ) )
40 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
4116, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 chpcl 20860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4443recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
4541recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
46 chpcl 20860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4716, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  RR )
4847recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ψ `  N )  e.  CC )
4944, 45, 48, 17sub4d 9416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  ( N  +  1 ) )  -  ( (ψ `  N )  -  N
) )  =  ( ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) ) )
50 chpp1 20891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ψ `  ( N  +  1
) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5120, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ψ `  ( N  +  1 ) )  =  ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) ) )
5251oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) ) )
5328recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
5448, 53pncan2d 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  N )  +  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
5552, 54eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  ( N  +  1 ) )  -  (ψ `  N ) )  =  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
56 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
57 pncan2 9268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5817, 56, 57sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5955, 58oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  ( N  +  1
) )  -  (ψ `  N ) )  -  ( ( N  + 
1 )  -  N
) )  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6039, 49, 593eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R `  ( N  +  1
) )  -  ( R `  N )
)  =  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) )
6160fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  ( N  +  1 ) )  -  ( R `
 N ) ) )  =  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
6233, 61breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( abs `  ( (Λ `  ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
63 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6564, 10resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
66 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
68 2re 10025 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
69 eliooord 10926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
7013, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
7170simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  E )
7214, 71elrpd 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
73 rerpdivcl 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  E
)  e.  RR )
7468, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR )
7568a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
76 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
78 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
7978div1i 9698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
8070simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
81 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
83 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
85 ltdiv2OLD 9852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  /\  ( 0  <  E  /\  0  <  1  /\  0  <  2
) )  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  < 
( 2  /  E
) ) )
8614, 64, 75, 71, 82, 84, 85syl33anc 1199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <  1  <->  ( 2  /  1 )  <  ( 2  /  E ) ) )
8780, 86mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  1
)  <  ( 2  /  E ) )
8879, 87syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <  ( 2  /  E ) )
8964, 75, 74, 77, 88lttrd 9187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  /  E ) )
90 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
9174rpefcld 12661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  e.  RR+ )
9290, 91syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
9392rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
94 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
9592rpxrd 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
96 elioopnf 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y ) ) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) ) )
9894, 97mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) )
9998simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
10098simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
101 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  <  N  /\  N  <_  ( K  x.  Y ) ) )
102101simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  <  N )
10393, 99, 16, 100, 102lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  <  N )
10490, 103syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  N )
1052reeflogd 20472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
106104, 105breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) )
107 eflt 12673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
10874, 10, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  <  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( 2  /  E
) )  <  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
109106, 108mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  <  ( log `  N ) )
11064, 74, 10, 89, 109lttrd 9187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( log `  N ) )
11164, 10, 110ltled 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( log `  N ) )
112 suble0 9498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
11363, 10, 112sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  0  <->  1  <_  ( log `  N
) ) )
114111, 113mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  0 )
115 vmage0 20857 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11626, 115syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11765, 67, 28, 114, 116letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( log `  N ) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) ) )
11834relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
119 readdcl 9029 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
12063, 10, 119sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  N ) )  e.  RR )
121 vmalelog 20942 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )
12226, 121syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
12375, 16remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
124 epr 12762 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
125 rpmulcl 10589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  x.  N )  e.  RR+ )
126124, 2, 125sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR+ )
127126rpred 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  N
)  e.  RR )
1281nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
12964, 16, 16, 128leadd2dd 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
130172timesd 10166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
131129, 130breqtrrd 4198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
132 ere 12646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
133 egt2lt3 12760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
134133simpli 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  <  _e
13568, 132, 134ltleii 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <_  _e
136135a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  _e )
137132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
1381nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  N )
139 lemul1 9818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
14075, 137, 16, 138, 139syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( _e  x.  N ) ) )
141136, 140mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <_  ( _e  x.  N ) )
14241, 123, 127, 131, 141letrd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  <_  ( _e  x.  N ) )
14334, 126logled 20475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  (
_e  x.  N )  <->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  (
_e  x.  N )
) ) )
144142, 143mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( _e  x.  N
) ) )
145 relogmul 20439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( _e  x.  N ) )  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N ) ) )
146124, 2, 145sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) ) )
147 loge 20434 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
148147oveq1i 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  _e )  +  ( log `  N
) )  =  ( 1  +  ( log `  N ) )
149146, 148syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  N )
)  =  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
150144, 149breqtrd 4196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15128, 118, 120, 122, 150letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  N
) ) )
15228, 64, 10absdifled 12192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
)  <->  ( ( 1  -  ( log `  N
) )  <_  (Λ `  ( N  +  1 ) )  /\  (Λ `  ( N  +  1 ) )  <_  (
1  +  ( log `  N ) ) ) ) )
153117, 151, 152mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(Λ `  ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( log `  N
) )
15425, 32, 10, 62, 153letrd 9183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( R `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
15525, 10, 2, 154lediv1dd 10658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( R `  N )
)  /  N )  <_  ( ( log `  N )  /  N
) )
15624, 155eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  ( ( log `  N )  /  N ) )
15792relogcld 20471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
158157, 92rerpdivcld 10631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  e.  RR )
15964, 74, 89ltled 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  /  E ) )
160 efle 12674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  /  E
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 2  /  E
)  <->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
16163, 74, 160sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  /  E )  <-> 
( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) ) )
162159, 161mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  1
)  <_  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
163 df-e 12626 . . . . . . 7  |-  _e  =  ( exp `  1 )
164162, 163, 903brtr4g 4204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  X )
165147, 111syl5eqbr 4205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) )
166 logleb 20451 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
_e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N ) ) )
167124, 2, 166sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  N  <->  ( log `  _e )  <_  ( log `  N
) ) )
168165, 167mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <_  N )
169 logdivlt 20469 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  _e  <_  X )  /\  ( N  e.  RR  /\  _e  <_  N )
)  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N )  /  N
)  <  ( ( log `  X )  /  X ) ) )
17093, 164, 16, 168, 169syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  <  N  <->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) ) )
171103, 170mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  ( ( log `  X )  /  X
) )
17290fveq2i 5690 . . . . . . 7  |-  ( log `  X )  =  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
17374relogefd 20476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( exp `  ( 2  /  E ) ) )  =  ( 2  /  E ) )
174172, 173syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  =  ( 2  /  E ) )
175174oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  =  ( ( 2  /  E )  /  X ) )
176 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
177 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  E  e.  RR+ )  ->  (
2  /  E )  e.  RR+ )
178176, 72, 177sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR+ )
179178rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  CC )
180179sqvald 11475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( ( 2  /  E )  x.  ( 2  /  E ) ) )
18178a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
18272rpcnne0d 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
183 div12 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  /  E
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
184179, 181, 182, 183syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  x.  (
2  /  E ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
185180, 184eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) ) )
186185oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E ) )  /  2 ) )
187178, 72rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  RR+ )
188187rpcnd 10606 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  e.  CC )
189 2ne0 10039 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
190189a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
191188, 181, 190divcan3d 9751 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2  /  E )  /  E
) )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
192186, 191eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  /  E )  /  E ) )
19374resqcld 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  e.  RR )
194193rehalfcld 10170 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
195 1rp 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
196 rpaddcl 10588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
2  /  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
197195, 178, 196sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR+ )
198197rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( 2  /  E ) )  e.  RR )
199198, 194readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  e.  RR )
200194, 197ltaddrp2d 10634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  ( (
1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
201 efgt1p2 12670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR+  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E ) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  / 
2 ) )  < 
( exp `  (
2  /  E ) ) )
202178, 201syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
203202, 90syl6breqr 4212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( 2  /  E
) )  +  ( ( ( 2  /  E ) ^ 2 )  /  2 ) )  <  X )
204194, 199, 93, 200, 203lttrd 9187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  E ) ^
2 )  /  2
)  <  X )
205192, 204eqbrtrrd 4194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  E
)  <  X )
20674, 72, 92, 205ltdiv23d 10660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  /  E )  /  X
)  <  E )
207175, 206eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  X )  <  E )
20811, 158, 14, 171, 207lttrd 9187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <  E )
20911, 14, 208ltled 9177 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  N )  <_  E )
2109, 11, 14, 156, 209letrd 9183 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( R `  N
)  /  N ) )  <_  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   ^cexp 11337   abscabs 11994   expce 12619   _eceu 12620   logclog 20405  Λcvma 20827  ψcchp 20828
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-vma 20833  df-chp 20834
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