Theorem pntpbnd1 24424

Description: Lemma for pntpbnd 24426. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntpbnd1.e	|- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x	|- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
pntpbnd1.y	|- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
pntpbnd1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntpbnd1.2	|- ( ph -> A. i e. NN A. j e. ZZ ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) <_ A )
pntpbnd1.c	|- C = ( A + 2 )
pntpbnd1.k	|- ( ph -> K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
pntpbnd1.3	|- ( ph -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd1	|- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A )

Distinct variable groups:   i, j, n, y, K   ph, n   R, i, j, n, y   i, a, j, n, y, A   n, E, y   i, Y, j, n, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, j, a)   C( y, i, j, n, a)   R( a)   E( i, j, a)   K( a)   X( y, i, j, n, a)   Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd1

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12186	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) e. Fin )
2		ioossre 11696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X (,) +oo ) C_ RR
3		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
4	2, 3	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. RR )
5		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
6		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
7		2re 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
8		ioossre 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
9		pntpbnd1.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
10	8, 9	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> E e. RR )
11		eliooord 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
13	12	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < E )
14	10, 13	elrpd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. RR+ )
15		rerpdivcl 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( 2 / E ) e. RR )
16	7, 14, 15	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 / E ) e. RR )
17	16	reefcld 14142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( exp ` ( 2 / E ) ) e. RR )
18	6, 17	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. RR )
19		efgt0 14157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 / E ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
21	20, 6	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 < X )
22		eliooord 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. ( X (,) +oo ) -> ( X < Y /\ Y < +oo ) )
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X < Y /\ Y < +oo ) )
24	23	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X < Y )
25	5, 18, 4, 21, 24	lttrd 9796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < Y )
26	5, 4, 25	ltled 9783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ Y )
27		flge0nn0 12054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. RR /\ 0 <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. NN0 )
28	4, 26, 27	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. NN0 )
29		nn0p1nn 10909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` Y ) e. NN0 -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN )
31		elfzuz 11796	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
32		eluznn 11229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
33	30, 31, 32	syl2an 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. NN )
34	33	nnrpd 11339	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
35		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
36	35	pntrf 24401	. . . . . . . . . 10 |- R : RR+ --> RR
37	36	ffvelrni 6021	. . . . . . . . 9 |- ( n e. RR+ -> ( R ` n ) e. RR )
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. RR )
39	33	peano2nnd 10626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
40	33, 39	nnmulcld 10657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. NN )
41	38, 40	nndivred 10658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
42	41	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
43	1, 42	fsumrecl 13800	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
44	38	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. RR )
45		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> ( R ` i ) = ( R ` n ) )
46	45	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` n ) ) )
47	46	rspccva 3149	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( R ` n ) )
48	47	adantll 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( R ` n ) )
49	40	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. NN )
50	49	nnred 10624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR )
51	49	nngt0d 10653	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) )
52		divge0 10474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( R ` n ) ) /\ ( ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
53	44, 48, 50, 51, 52	syl22anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
54	1, 42, 53	fsumge0 13855	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
55	43, 54	absidd 13484	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
56	42, 53	absidd 13484	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
57	56	sumeq2dv 13769	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
58	55, 57	eqtr4d 2488	. . 3 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
59		fzfid 12186	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) e. Fin )
60	41	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
61	60	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. CC )
62	59, 61	fsumneg 13848	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
63	38	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. RR )
64	63	renegcld 10046	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( R ` n ) e. RR )
65	45	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` n ) <_ 0 ) )
66	65	rspccva 3149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) <_ 0 )
67	66	adantll 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) <_ 0 )
68	63	le0neg1d 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( R ` n ) ) )
69	67, 68	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ -u ( R ` n ) )
70	40	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. NN )
71	70	nnred 10624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR )
72	70	nngt0d 10653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) )
73		divge0 10474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( R ` n ) e. RR /\ 0 <_ -u ( R ` n ) ) /\ ( ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
74	64, 69, 71, 72, 73	syl22anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
75	38	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. CC )
76	40	nncnd 10625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. CC )
77	40	nnne0d 10654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) =/= 0 )
78	75, 76, 77	divnegd 10396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
79	78	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
80	74, 79	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
81	60	le0neg1d 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
82	80, 81	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 )
83	60, 82	absnidd 13475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
84	83	sumeq2dv 13769	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
85	59, 60	fsumrecl 13800	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
86	60	renegcld 10046	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
87	59, 86, 80	fsumge0 13855	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> 0 <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
88	87, 62	breqtrd 4427	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> 0 <_ -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
89	85	le0neg1d 10185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 <-> 0 <_ -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
90	88, 89	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 )
91	85, 90	absnidd 13475	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
92	62, 84, 91	3eqtr4rd 2496	. . 3 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
93		pntpbnd1.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( A + 2 )
94		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR+ )
95		2rp 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
96		rpaddcl 11323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR+ /\ 2 e. RR+ ) -> ( A + 2 ) e. RR+ )
97	94, 95, 96	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A + 2 ) e. RR+ )
98	93, 97	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR+ )
99	98, 14	rpdivcld 11358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C / E ) e. RR+ )
100	99	rpred 11341	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C / E ) e. RR )
101	100	reefcld 14142	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) e. RR )
102		pnfxr 11412	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
103		icossre 11715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp ` ( C / E ) ) e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) C_ RR )
104	101, 102, 103	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) C_ RR )
105		pntpbnd1.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
106	104, 105	sseldd 3433	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
107	106, 4	remulcld 9671	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K x. Y ) e. RR )
108	4	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. CC )
109	108	mulid2d 9661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. Y ) = Y )
110		1red 9658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
111		efgt1 14170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C / E ) e. RR+ -> 1 < ( exp ` ( C / E ) ) )
112	99, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( exp ` ( C / E ) ) )
113		elicopnf 11730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( exp ` ( C / E ) ) e. RR -> ( K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( K e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ K ) ) )
114	101, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( K e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ K ) ) )
115	114	simplbda 630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( exp ` ( C / E ) ) <_ K )
116	105, 115	mpdan 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) <_ K )
117	110, 101, 106, 112, 116	ltletrd 9795	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < K )
118		ltmul1 10455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ K e. RR /\ ( Y e. RR /\ 0 < Y ) ) -> ( 1 < K <-> ( 1 x. Y ) < ( K x. Y ) ) )
119	110, 106, 4, 25, 118	syl112anc 1272	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < K <-> ( 1 x. Y ) < ( K x. Y ) ) )
120	117, 119	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. Y ) < ( K x. Y ) )
121	109, 120	eqbrtrrd 4425	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y < ( K x. Y ) )
122	4, 107, 121	ltled 9783	. . . . . 6 |- ( ph -> Y <_ ( K x. Y ) )
123		flword2 12048	. . . . . 6 |- ( ( Y e. RR /\ ( K x. Y ) e. RR /\ Y <_ ( K x. Y ) ) -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) )
124	4, 107, 122, 123	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) )
125	107	flcld 12034	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ZZ )
126		uzid 11173	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
128		elfzuzb 11794	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) /\ ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) )
129	124, 127, 128	sylanbrc 670	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
130		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) )
131	130	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
132	130	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
133	131, 132	orbi12d 716	. . . . . 6 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
134	133	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
135		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( x = m -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) )
136	135	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = m -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
137	135	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = m -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
138	136, 137	orbi12d 716	. . . . . 6 |- ( x = m -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
139	138	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( x = m -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
140		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) )
141	140	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
142	140	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
143	141, 142	orbi12d 716	. . . . . 6 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
144	143	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
145		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
146	145	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
147	145	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
148	146, 147	orbi12d 716	. . . . . 6 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
149	148	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
150		elfzle3 11805	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) )
151		elfzel2 11798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( |_ ` Y ) e. ZZ )
152	151	zred 11040	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( |_ ` Y ) e. RR )
153	152	ltp1d 10537	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( |_ ` Y ) < ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
154		peano2re 9806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` Y ) e. RR -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR )
155	152, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR )
156	152, 155	ltnled 9782	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( ( |_ ` Y ) < ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <-> -. ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) ) )
157	153, 156	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> -. ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) )
158	150, 157	pm2.21dd 178	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( R ` i ) <_ 0 )
159	158	rgen 2747	. . . . . . 7 |- A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0
160	159	olci 393	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 )
161	160	2a1i 12	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) -> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
162		elfzofz 11935	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
163		elfzp12 11873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) -> ( m e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) <-> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) ) )
164	124, 163	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) <-> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) ) )
165	162, 164	syl5ib 223	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) ) )
166	165	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) )
167	30	nnrpd 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR+ )
168	36	ffvelrni 6021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR+ -> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) e. RR )
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) e. RR )
170	5, 169	letrid 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) \/ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
171	170	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) \/ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
172		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( |_ ` Y ) -> ( m + 1 ) = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
173	172	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( |_ ` Y ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
174	4	flcld 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. ZZ )
175	174	peano2zd 11043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. ZZ )
176		fzsn 11840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) = { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } )
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) = { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } )
178	173, 177	sylan9eqr 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } )
179	178	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) )
180		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. _V
181		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( R ` i ) = ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
182	181	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) )
183	180, 182	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
184	179, 183	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) )
185	178	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) )
186	181	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
187	180, 186	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 )
188	185, 187	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
189	184, 188	orbi12d 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) \/ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) ) )
190	171, 189	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
191	190	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
192		elfzuz 11796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
193	192	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
194		eluzfz2 11807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) -> m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) )
195	193, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) )
196		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = m -> ( R ` i ) = ( R ` m ) )
197	196	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = m -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` m ) ) )
198	197	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> 0 <_ ( R ` m ) ) )
199	195, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> 0 <_ ( R ` m ) ) )
200		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
201	200	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
202		eluznn 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
203	30, 192, 202	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. NN )
204	203	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> m e. NN )
205		elfzle1 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m )
206	205	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m )
207		elfzelz 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m e. ZZ )
208		zltp1le 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( |_ ` Y ) e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) < m <-> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m ) )
209	174, 207, 208	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) < m <-> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m ) )
210	206, 209	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( |_ ` Y ) < m )
211		fllt 12042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Y e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( Y < m <-> ( |_ ` Y ) < m ) )
212	4, 207, 211	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( Y < m <-> ( |_ ` Y ) < m ) )
213	210, 212	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> Y < m )
214		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
215	214	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
216		flge 12041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( K x. Y ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( K x. Y ) <-> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
217	107, 207, 216	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m <_ ( K x. Y ) <-> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
218	215, 217	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m <_ ( K x. Y ) )
219	213, 218	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) )
220	219	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) )
221	9	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
222	3	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> Y e. ( X (,) +oo ) )
223		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
224	35, 221, 6, 222, 204, 220, 223	pntpbnd1a 24423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E )
225		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = m -> ( Y < y <-> Y < m ) )
226		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = m -> ( y <_ ( K x. Y ) <-> m <_ ( K x. Y ) ) )
227	225, 226	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = m -> ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) <-> ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) ) )
228		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = m -> ( R ` y ) = ( R ` m ) )
229		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = m -> y = m )
230	228, 229	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = m -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` m ) / m ) )
231	230	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = m -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) )
232	231	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = m -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E ) )
233	227, 232	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = m -> ( ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) <-> ( ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E ) ) )
234	233	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN /\ ( ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E ) ) -> E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
235	204, 220, 224, 234	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
236	201, 235	mtand 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -. ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
237	236	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ 0 <_ ( R ` m ) ) -> -. ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
238	203	nnrpd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. RR+ )
239	36	ffvelrni 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. RR+ -> ( R ` m ) e. RR )
240	238, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` m ) e. RR )
241	240	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` m ) e. RR )
242	241	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` m ) e. CC )
243	242	subid1d 9975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( ( R ` m ) - 0 ) = ( R ` m ) )
244	203	peano2nnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m + 1 ) e. NN )
245	244	nnrpd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR+ )
246	36	ffvelrni 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m + 1 ) e. RR+ -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
247	245, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
248	247	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
249		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> 0 e. RR )
250		0re 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
251		letric 9734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) \/ ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
252	250, 247, 251	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) \/ ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
253	252	ord 379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
254	253	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
255	254	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
256	248, 249, 241, 255	lesub2dd 10230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( ( R ` m ) - 0 ) <_ ( ( R ` m ) - ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
257	243, 256	eqbrtrrd 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` m ) <_ ( ( R ` m ) - ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
258		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ ( R ` m ) )
259	241, 258	absidd 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) = ( R ` m ) )
260	248, 249, 241, 255, 258	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ ( R ` m ) )
261	248, 241, 260	abssuble0d 13494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) = ( ( R ` m ) - ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
262	257, 259, 261	3brtr4d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
263	262	expr 620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ 0 <_ ( R ` m ) ) -> ( -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) )
264	237, 263	mt3d 129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ 0 <_ ( R ` m ) ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
265	264	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( R ` m ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
266	199, 265	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
267		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m + 1 ) e. _V
268		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( R ` i ) = ( R ` ( m + 1 ) ) )
269	268	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
270	267, 269	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
271	266, 270	syl6ibr 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) )
272	271	ancld 556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) /\ A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) ) )
273		fzsuc 11843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) )
274	193, 273	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) )
275	274	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
276		ralunb 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. i e. ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) 0 <_ ( R ` i ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) /\ A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) )
277	275, 276	syl6bb 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) /\ A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) ) )
278	272, 277	sylibrd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
279	196	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = m -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` m ) <_ 0 ) )
280	279	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( R ` m ) <_ 0 ) )
281	195, 280	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( R ` m ) <_ 0 ) )
282	236	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( R ` m ) <_ 0 ) -> -. ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
283	253	con1d 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
284	283	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
285	284	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
286	240	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) e. RR )
287	286	renegcld 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> -u ( R ` m ) e. RR )
288	247	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
289	287, 288	addge02d 10202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) <-> -u ( R ` m ) <_ ( ( R ` ( m + 1 ) ) + -u ( R ` m ) ) ) )
290	285, 289	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> -u ( R ` m ) <_ ( ( R ` ( m + 1 ) ) + -u ( R ` m ) ) )
291	288	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. CC )
292	286	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) e. CC )
293	291, 292	negsubd 9992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( ( R ` ( m + 1 ) ) + -u ( R ` m ) ) = ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) )
294	290, 293	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> -u ( R ` m ) <_ ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) )
295		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) <_ 0 )
296	286, 295	absnidd 13475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) = -u ( R ` m ) )
297		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> 0 e. RR )
298	286, 297, 288, 295, 285	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
299	286, 288, 298	abssubge0d 13493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) = ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) )
300	294, 296, 299	3brtr4d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
301	300	expr 620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( R ` m ) <_ 0 ) -> ( -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) )
302	282, 301	mt3d 129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( R ` m ) <_ 0 ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
303	302	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` m ) <_ 0 -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
304	281, 303	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
305	268	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
306	267, 305	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
307	304, 306	syl6ibr 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) )
308	307	ancld 556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 /\ A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
309	274	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) ( R ` i ) <_ 0 ) )