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Theorem pntpbnd 21235
Description: Lemma for pnt 21261. Establish smallness of  R at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd  |-  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
Distinct variable groups:    k, a, n, x, y    e, c, k, n, x, y, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntpbnd
Dummy variables  d 
i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntibnd.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd2 21214 . 2  |-  E. d  e.  RR+  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  -> 
d  e.  RR+ )
4 2rp 10573 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
5 rpaddcl 10588 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
d  +  2 )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  -> 
( d  +  2 )  e.  RR+ )
7 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
8 elioore 10902 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR )
98adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  e  e.  RR )
10 eliooord 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
1110adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
1211simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <  e )
139, 12elrpd 10602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  e  e.  RR+ )
14 rerpdivcl 10595 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  e  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  e
)  e.  RR )
157, 13, 14sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
2  /  e )  e.  RR )
1615rpefcld 12661 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( exp `  ( 2  / 
e ) )  e.  RR+ )
17 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  e  e.  ( 0 (,) 1
) )
18 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( exp `  ( 2  /  e
) )  =  ( exp `  ( 2  /  e ) )
19 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
)
20 simp-4l 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  d  e.  RR+ )
21 simp-4r 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )
22 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( d  +  2 )  =  ( d  +  2 )
23 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )
)
24 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  -.  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )
251, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24pntpbnd2 21234 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
26 iman 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )  <->  -.  (
( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
) )
2725, 26mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )
2827ralrimivva 2758 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
29 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( x (,)  +oo )  =  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
)
3029raleqdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e )  <->  A. y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3130ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  / 
e ) ) [,) 
+oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3231rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  (
2  /  e ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  / 
e ) ) [,) 
+oo ) A. y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
3316, 28, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
3433ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  ->  A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
35 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  (
c  /  e )  =  ( ( d  +  2 )  / 
e ) )
3635fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( exp `  ( c  / 
e ) )  =  ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) )
3736oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo )  =  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e
) ) [,)  +oo ) )
3837raleqdv 2870 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )  <->  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3938rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
) )
4039ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
4140rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( ( d  +  2 )  e.  RR+  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
426, 34, 41syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
4342rexlimiva 2785 . 2  |-  ( E. d  e.  RR+  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
442, 43ax-mp 8 1  |-  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   abscabs 11994   sum_csu 12434   expce 12619  ψcchp 20828
This theorem is referenced by:  pntibnd  21240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-cht 20832  df-vma 20833  df-chp 20834  df-ppi 20835
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