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Theorem pntpbnd 22955
Description: Lemma for pnt 22981. Establish smallness of  R at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd  |-  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)
Distinct variable groups:    k, a, n, x, y    e, c, k, n, x, y, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntpbnd
Dummy variables  d 
i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntibnd.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd2 22934 . 2  |-  E. d  e.  RR+  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  -> 
d  e.  RR+ )
4 2rp 11099 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
5 rpaddcl 11114 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
d  +  2 )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  -> 
( d  +  2 )  e.  RR+ )
7 2re 10494 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
8 elioore 11433 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  e  e.  RR )
10 eliooord 11458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
1110adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
1211simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <  e )
139, 12elrpd 11128 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  e  e.  RR+ )
14 rerpdivcl 11121 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  e  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  e
)  e.  RR )
157, 13, 14sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
2  /  e )  e.  RR )
1615rpefcld 13493 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( exp `  ( 2  / 
e ) )  e.  RR+ )
17 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  e  e.  ( 0 (,) 1
) )
18 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( exp `  ( 2  /  e
) )  =  ( exp `  ( 2  /  e ) )
19 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
)
20 simp-4l 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  d  e.  RR+ )
21 simp-4r 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )
22 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( d  +  2 )  =  ( d  +  2 )
23 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )
)
24 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  -.  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )
251, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24pntpbnd2 22954 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
26 iman 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )  <->  -.  (
( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
) )
2725, 26mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )
2827ralrimivva 2906 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
29 oveq1 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( x (,) +oo )  =  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo )
)
3029raleqdv 3021 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e )  <->  A. y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3130ralbidv 2838 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  / 
e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3231rspcev 3171 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  (
2  /  e ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  / 
e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
3316, 28, 32syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
3433ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  ->  A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )
35 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  (
c  /  e )  =  ( ( d  +  2 )  / 
e ) )
3635fveq2d 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( exp `  ( c  / 
e ) )  =  ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) )
3736oveq1d 6207 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo )  =  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e
) ) [,) +oo ) )
3837raleqdv 3021 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3938rexbidv 2848 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) ) )
4039ralbidv 2838 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e )  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
4140rspcev 3171 . . . 4  |-  ( ( ( d  +  2 )  e.  RR+  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
426, 34, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
4342rexlimiva 2934 . 2  |-  ( E. d  e.  RR+  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
442, 43ax-mp 5 1  |-  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390   +oocpnf 9518    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   ZZcz 10749   RR+crp 11094   (,)cioo 11403   [,)cico 11405   ...cfz 11540   abscabs 12827   sum_csu 13267   expce 13451  ψcchp 22548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-o1 13072  df-lo1 13073  df-sum 13268  df-ef 13457  df-e 13458  df-sin 13459  df-cos 13460  df-pi 13462  df-dvds 13640  df-gcd 13795  df-prm 13868  df-pc 14008  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460  df-log 22126  df-cxp 22127  df-em 22504  df-cht 22552  df-vma 22553  df-chp 22554  df-ppi 22555
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