Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd Structured version   Unicode version

Theorem pntpbnd 24424
 Description: Lemma for pnt 24450. Establish smallness of at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntibnd.r ψ
Assertion
Ref Expression
pntpbnd
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pntpbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntibnd.r . . 3 ψ
21pntrsumbnd2 24403 . 2
3 simpl 458 . . . . 5
4 2rp 11314 . . . . 5
5 rpaddcl 11330 . . . . 5
63, 4, 5sylancl 666 . . . 4
7 2re 10686 . . . . . . . 8
8 elioore 11673 . . . . . . . . . 10
98adantl 467 . . . . . . . . 9
10 eliooord 11701 . . . . . . . . . . 11
1110adantl 467 . . . . . . . . . 10
1211simpld 460 . . . . . . . . 9
139, 12elrpd 11345 . . . . . . . 8
14 rerpdivcl 11337 . . . . . . . 8
157, 13, 14sylancr 667 . . . . . . 7
1615rpefcld 14158 . . . . . 6
17 simpllr 767 . . . . . . . . 9
18 eqid 2422 . . . . . . . . 9
19 simplrr 769 . . . . . . . . 9
20 simp-4l 774 . . . . . . . . 9
21 simp-4r 775 . . . . . . . . 9
22 eqid 2422 . . . . . . . . 9
23 simplrl 768 . . . . . . . . 9
24 simpr 462 . . . . . . . . 9
251, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24pntpbnd2 24423 . . . . . . . 8
26 iman 425 . . . . . . . 8
2725, 26mpbir 212 . . . . . . 7
2827ralrimivva 2843 . . . . . 6
29 oveq1 6312 . . . . . . . . 9
3029raleqdv 3028 . . . . . . . 8
3130ralbidv 2861 . . . . . . 7
3231rspcev 3182 . . . . . 6
3316, 28, 32syl2anc 665 . . . . 5
3433ralrimiva 2836 . . . 4
35 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10
3635fveq2d 5885 . . . . . . . . 9
3736oveq1d 6320 . . . . . . . 8
3837raleqdv 3028 . . . . . . 7
3938rexbidv 2936 . . . . . 6
4039ralbidv 2861 . . . . 5
4140rspcev 3182 . . . 4
426, 34, 41syl2anc 665 . . 3
4342rexlimiva 2910 . 2
442, 43ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772   class class class wbr 4423   cmpt 4482  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9545  cc0 9546  c1 9547   caddc 9549   cmul 9551   cpnf 9679   clt 9682   cle 9683   cmin 9867   cdiv 10276  cn 10616  c2 10666  cz 10944  crp 11309  cioo 11642  cico 11644  cfz 11791  cabs 13297  csu 13751  ce 14113  ψcchp 24017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-o1 13553  df-lo1 13554  df-sum 13752  df-ef 14120  df-e 14121  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-cxp 23505  df-em 23916  df-cht 24021  df-vma 24022  df-chp 24023  df-ppi 24024 This theorem is referenced by:  pntibnd  24429
 Copyright terms: Public domain W3C validator