Theorem pntlemo 21254

Description: Lemma for pnt 21261. Combine all the estimates to establish a smaller eventual bound on R ( Z ) / Z. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K	|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.C	|- ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )

Assertion

Ref	Expression
pntlemo	|- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   y, z, u, L   y, K, z   z, M   z, N   u, i, y, z, R   z, U   z, W   y, X, z   i, Y, z   u, a, y, z, E   u, Z, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, i, a)   A( y, z, u, i, a)   B( y, z, u, i, a)   C( y, u, i, a)   D( y, z, u, i, a)   R( a)   U( y, u, i, a)   E( i)   F( y, z, u, i, a)   K( u, i, a)   L( i, a)   M( y, u, i, a)   N( y, u, i, a)   W( y, u, i, a)   X( u, i, a)   Y( y, u, a)   Z( y, i, a)

Proof of Theorem pntlemo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2		pntlem1.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR+ )
3		pntlem1.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR+ )
4		pntlem1.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
5		pntlem1.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( A + 1 )
6		pntlem1.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
7		pntlem1.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. RR+ )
8		pntlem1.u2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <_ A )
9		pntlem1.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( U / D )
10		pntlem1.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
11		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
12		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
13		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR+ )
14		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
15		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	pntlemb 21244	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
17	16	simp1d 969	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. RR+ )
18	1	pntrf 21210	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
19	18	ffvelrni 5828	. . . . . . . 8 |- ( Z e. RR+ -> ( R ` Z ) e. RR )
20	17, 19	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` Z ) e. RR )
21	20, 17	rerpdivcld 10631	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. RR )
22	21	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. CC )
23	22	abscld 12193	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) e. RR )
24	17	relogcld 20471	. . . 4 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
25	23, 24	remulcld 9072	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
26	7	rpred 10604	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
27		3re 10027	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 e. RR )
29	24, 28	readdcld 9071	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) + 3 ) e. RR )
30	26, 29	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. RR )
31		2re 10025	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 21242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
34	33	simp3d 971	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
35	34	simp3d 971	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
36	35	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR )
37	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 21241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
38	37	simp1d 969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. RR+ )
39	33	simp1d 969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR+ )
40		2z 10268	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
41		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
42	39, 40, 41	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
43	38, 42	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
44		3nn0 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
45		2nn 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
46	44, 45	decnncl 10351	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 3 2 e. NN
47		nnrp 10577	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
48	46, 47	ax-mp 8	. . . . . . . . . . 11 |- ; 3 2 e. RR+
49		rpmulcl 10589	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
50	48, 3, 49	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
51	43, 50	rpdivcld 10621	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
52	51	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR )
53	36, 52	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) e. RR )
54	53, 24	remulcld 9072	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
55	32, 54	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
56	30, 55	resubcld 9421	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) e. RR )
57	13	rpred 10604	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
58	56, 57	readdcld 9071	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) e. RR )
59	7	rpcnd 10606	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CC )
60	53	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) e. CC )
61	24	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
62	59, 60, 61	subdird 9446	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
63	38	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. CC )
64	42	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
65	50	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
66		div23 9653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. CC /\ ( E ^ 2 ) e. CC /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
68	9	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E ^ 2 ) = ( ( U / D ) ^ 2 )
69	37	simp2d 970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. RR+ )
70	69	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. CC )
71	69	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D =/= 0 )
72	59, 70, 71	sqdivd 11491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( U / D ) ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
73	68, 72	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
74	73	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
75	38, 50	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
76	75	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC )
77	59	sqcld 11476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U ^ 2 ) e. CC )
78		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
79	69, 40, 78	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
80	79	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) )
81		divass 9652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
82		div23 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
83	81, 82	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
84	76, 77, 80, 83	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
85	67, 74, 84	3eqtrd 2440	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
86	85	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
87		df-3 10015	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 2 + 1 )
88	87	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U ^ 3 ) = ( U ^ ( 2 + 1 ) )
89		2nn0 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
90		expp1 11343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
91	59, 89, 90	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
92	88, 91	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
93	77, 59	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U ^ 2 ) x. U ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
94	92, 93	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
95	94	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
96	37	simp3d 971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. RR+ )
97	96	rpcnd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. CC )
98	97, 59, 77	mulassd 9067	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
99		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
101	69	rpreccld 10614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. RR+ )
102	101	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. CC )
103	100, 102, 59	subdird 9446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) = ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) )
104	59	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. U ) = U )
105	59, 70, 71	divrec2d 9750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( U / D ) = ( ( 1 / D ) x. U ) )
106	9, 105	syl5req 2449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 / D ) x. U ) = E )
107	104, 106	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) = ( U - E ) )
108	103, 107	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U - E ) = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) )
109	108	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
110	6	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U )
111	100, 102	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / D ) ) e. CC )
112	75, 79	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. RR+ )
113	112	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. CC )
114	111, 113, 59	mul32d 9232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
115	110, 114	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
116	109, 115	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( F x. U ) )
117	116	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) )
118	35	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
119	118, 113, 77	mulassd 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
120	117, 119	eqtr3d 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
121	95, 98, 120	3eqtr2d 2442	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
122	86, 121	eqtr4d 2439	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( F x. ( U ^ 3 ) ) )
123	122	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) = ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )
124	123	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
125	62, 124	eqtr3d 2438	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
126	26, 24	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. RR )
127	126, 54	resubcld 9421	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
128	125, 127	eqeltrrd 2479	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
129	17	rpred 10604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. RR )
130	16	simp2d 970	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
131	130	simp1d 969	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < Z )
132	129, 131	rplogcld 20477	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR+ )
133	32, 132	rerpdivcld 10631	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. RR )
134		fzfid 11267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
135	17	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. RR+ )
136		elfznn 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n e. NN )
137	136	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. NN )
138	137	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
139	135, 138	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z / n ) e. RR+ )
140	18	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z / n ) e. RR+ -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
142	141, 135	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. RR )
143	142	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. CC )
144	143	abscld 12193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. RR )
145	138	relogcld 20471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
146	144, 145	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
147	134, 146	fsumrecl 12483	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
148	133, 147	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
149	148, 57	readdcld 9071	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) e. RR )
150	20	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R ` Z ) e. CC )
151	150	abscld 12193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. RR )
152	151	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. CC )
153	152, 61	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
154	133	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. CC )
155	141	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. CC )
156	155	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. RR )
157	156, 145	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
158	134, 157	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
159	158	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
160	154, 159	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
161	17	rpcnd 10606	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. CC )
162	17	rpne0d 10609	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z =/= 0 )
163	153, 160, 161, 162	divsubdird 9785	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) )
164	152, 61, 161, 162	div23d 9783	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
165	150, 161, 162	absdivd 12212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) )
166	17	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
167		absid 12056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( abs ` Z ) = Z )
168	166, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` Z ) = Z )
169	168	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
170	165, 169	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
171	170	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
172	164, 171	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
173	154, 159, 161, 162	divassd 9781	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
174	161	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. CC )
175	162	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z =/= 0 )
176	155, 174, 175	absdivd 12212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) )
177	168	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` Z ) = Z )
178	177	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
179	176, 178	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
180	179	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
181	156	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC )
182	145	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
183	17	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
184	183	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
185		div23 9653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
186	181, 182, 184, 185	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
187	180, 186	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
188	187	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
189	157	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
190	134, 161, 189, 162	fsumdivc 12524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
191	188, 190	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
192	191	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
193	173, 192	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
194	172, 193	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
195	163, 194	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
196		1re 9046	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
197		rexr 9086	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
198		elioopnf 10954	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR* -> ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) ) )
199	196, 197, 198	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) )
200	129, 131, 199	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( 1 (,) +oo ) )
201		pntlem1.C	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )
202		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( R ` z ) = ( R ` Z ) )
203	202	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( abs ` ( R ` z ) ) = ( abs ` ( R ` Z ) ) )
204		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( log ` z ) = ( log ` Z ) )
205	203, 204	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
206	204	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( 2 / ( log ` z ) ) = ( 2 / ( log ` Z ) ) )
207		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = n -> ( z / i ) = ( z / n ) )
208	207	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = n -> ( R ` ( z / i ) ) = ( R ` ( z / n ) ) )
209	208	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) )
210		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( log ` i ) = ( log ` n ) )
211	209, 210	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
212	211	cbvsumv 12445	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) )
213		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = Z -> ( z / Y ) = ( Z / Y ) )
214	213	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = Z -> ( |_ ` ( z / Y ) ) = ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
215	214	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = Z -> ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
216		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> z = Z )
217	216	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( z / n ) = ( Z / n ) )
218	217	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( z / n ) ) = ( R ` ( Z / n ) ) )
219	218	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) )
220	219	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
221	215, 220	sumeq12rdv 12456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
222	212, 221	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
223	206, 222	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
224	205, 223	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
225		id 20	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> z = Z )
226	224, 225	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( z = Z -> ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) )
227	226	breq1d 4182	. . . . . . . 8 |- ( z = Z -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C <-> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C ) )
228	227	rspcv 3008	. . . . . . 7 |- ( Z e. ( 1 (,) +oo ) -> ( A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C ) )
229	200, 201, 228	sylc 58	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C )
230	195, 229	eqbrtrrd 4194	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C )
231	25, 148, 57	lesubadd2d 9581	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) ) )
232	230, 231	mpbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) )
233		2cn 10026	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
234	233	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
235	144	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. CC )
236	235, 182	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
237	134, 236	fsumcl 12482	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
238	132	rpne0d 10609	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) =/= 0 )
239	234, 237, 61, 238	div23d 9783	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
240	24	resqcld 11504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. RR )
241	52, 240	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) e. RR )
242	36, 241	remulcld 9072	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
243		remulcl 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
244	31, 242, 243	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
245	30, 24	remulcld 9072	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
246		remulcl 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
247	31, 147, 246	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
248	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> U e. RR )
249	248, 137	nndivred 10004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. RR )
250	249, 144	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) e. RR )
251	250, 145	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
252	134, 251	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
253	32, 252	remulcld 9072	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
254	245, 247	resubcld 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
255		pntlem1.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
256		pntlem1.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
257		pntlem1.U	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
258		pntlem1.K	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
259	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 255, 256, 257, 258	pntlemf 21252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
260		2pos 10038	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
261	260	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 2 )
262		lemul2 9819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
263	242, 252, 32, 261, 262	syl112anc 1188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
264	259, 263	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
265	249	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. CC )
266	265, 235, 182	subdird 9446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
267	266	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
268	249, 145	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
269	268	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
270	134, 269, 236	fsumsub 12526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
271	267, 270	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
272	271	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
273	134, 268	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
274	273	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
275	234, 274, 237	subdid 9445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
276	272, 275	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
277		remulcl 9031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
278	31, 273, 277	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
279	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 255, 256, 257, 258	pntlemk 21253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) )
280	278, 245, 247, 279	lesub1dd 9598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
281	276, 280	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
282	244, 253, 254, 264, 281	letrd 9183	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
283	244, 245, 247, 282	lesubd 9586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
284	30	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. CC )
285	55	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. CC )
286	284, 285, 61	subdird 9446	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
287	54	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
288	234, 287, 61	mulassd 9067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
289	60, 61, 61	mulassd 9067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
290	61	sqvald 11475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) = ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) )
291	290	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
292	51	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. CC )
293	240	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. CC )
294	118, 292, 293	mulassd 9067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
295	289, 291, 294	3eqtr2d 2442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
296	295	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
297	288, 296	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
298	297	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
299	286, 298	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
300	283, 299	breqtrrd 4198	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
301	247, 56, 132	ledivmul2d 10654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <-> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
302	300, 301	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
303	239, 302	eqbrtrrd 4194	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
304	148, 56, 57, 303	leadd1dd 9596	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
305	25, 149, 58, 232, 304	letrd 9183	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
306		remulcl 9031	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( U x. 3 ) e. RR )
307	26, 27, 306	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. RR )
308	307, 57	readdcld 9071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR )
309	16	simp3d 971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
310	309	simp3d 971	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
311	308, 54, 126, 310	leadd2dd 9597	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
312	28	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 3 e. CC )
313	59, 61, 312	adddid 9068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) )
314	313	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) )
315	126	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. CC )
316	59, 312	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. CC )
317	13	rpcnd 10606	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
318	315, 316, 317	addassd 9066	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
319	314, 318	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
320	287	2timesd 10166	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
321	320	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
322	315, 287, 287	nppcan3d 9394	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
323	321, 322	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
324	311, 319, 323	3brtr4d 4202	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )