Theorem pntlemo 22859

Description: Lemma for pnt 22866. Combine all the estimates to establish a smaller eventual bound on R ( Z ) / Z. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K	|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.C	|- ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )

Assertion

Ref	Expression
pntlemo	|- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   y, z, u, L   y, K, z   z, M   z, N   u, i, y, z, R   z, U   z, W   y, X, z   i, Y, z   u, a, y, z, E   u, Z, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, i, a)   A( y, z, u, i, a)   B( y, z, u, i, a)   C( y, u, i, a)   D( y, z, u, i, a)   R( a)   U( y, u, i, a)   E( i)   F( y, z, u, i, a)   K( u, i, a)   L( i, a)   M( y, u, i, a)   N( y, u, i, a)   W( y, u, i, a)   X( u, i, a)   Y( y, u, a)   Z( y, i, a)

Proof of Theorem pntlemo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2		pntlem1.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR+ )
3		pntlem1.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR+ )
4		pntlem1.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
5		pntlem1.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( A + 1 )
6		pntlem1.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
7		pntlem1.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. RR+ )
8		pntlem1.u2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <_ A )
9		pntlem1.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( U / D )
10		pntlem1.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
11		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
12		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
13		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR+ )
14		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
15		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	pntlemb 22849	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
17	16	simp1d 1000	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. RR+ )
18	1	pntrf 22815	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
19	18	ffvelrni 5845	. . . . . . . 8 |- ( Z e. RR+ -> ( R ` Z ) e. RR )
20	17, 19	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` Z ) e. RR )
21	20, 17	rerpdivcld 11057	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. RR )
22	21	recnd 9415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. CC )
23	22	abscld 12925	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) e. RR )
24	17	relogcld 22075	. . . 4 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
25	23, 24	remulcld 9417	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
26	7	rpred 11030	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
27		3re 10398	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 e. RR )
29	24, 28	readdcld 9416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) + 3 ) e. RR )
30	26, 29	remulcld 9417	. . . . 5 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. RR )
31		2re 10394	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 22847	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
34	33	simp3d 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
35	34	simp3d 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
36	35	rpred 11030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR )
37	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 22846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
38	37	simp1d 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. RR+ )
39	33	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR+ )
40		2z 10681	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
41		rpexpcl 11887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
42	39, 40, 41	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
43	38, 42	rpmulcld 11046	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
44		3nn0 10600	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
45		2nn 10482	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
46	44, 45	decnncl 10771	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 3 2 e. NN
47		nnrp 11003	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ; 3 2 e. RR+
49		rpmulcl 11015	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
50	48, 3, 49	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
51	43, 50	rpdivcld 11047	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
52	51	rpred 11030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR )
53	36, 52	remulcld 9417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) e. RR )
54	53, 24	remulcld 9417	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
55	32, 54	remulcld 9417	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
56	30, 55	resubcld 9779	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) e. RR )
57	13	rpred 11030	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
58	56, 57	readdcld 9416	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) e. RR )
59	7	rpcnd 11032	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CC )
60	53	recnd 9415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) e. CC )
61	24	recnd 9415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
62	59, 60, 61	subdird 9804	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
63	38	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. CC )
64	42	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
65	50	rpcnne0d 11039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
66		div23 10016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. CC /\ ( E ^ 2 ) e. CC /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
68	9	oveq1i 6104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E ^ 2 ) = ( ( U / D ) ^ 2 )
69	37	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. RR+ )
70	69	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. CC )
71	69	rpne0d 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D =/= 0 )
72	59, 70, 71	sqdivd 12024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( U / D ) ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
73	68, 72	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
74	73	oveq2d 6110	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
75	38, 50	rpdivcld 11047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
76	75	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC )
77	59	sqcld 12009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U ^ 2 ) e. CC )
78		rpexpcl 11887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
79	69, 40, 78	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
80	79	rpcnne0d 11039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) )
81		divass 10015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
82		div23 10016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
83	81, 82	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
84	76, 77, 80, 83	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
85	67, 74, 84	3eqtrd 2479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
86	85	oveq2d 6110	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
87		df-3 10384	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 2 + 1 )
88	87	oveq2i 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U ^ 3 ) = ( U ^ ( 2 + 1 ) )
89		2nn0 10599	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
90		expp1 11875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
91	59, 89, 90	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
92	88, 91	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
93	77, 59	mulcomd 9410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U ^ 2 ) x. U ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
94	92, 93	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
95	94	oveq2d 6110	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
96	37	simp3d 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. RR+ )
97	96	rpcnd 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. CC )
98	97, 59, 77	mulassd 9412	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
99		1cnd 9405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
100	69	rpreccld 11040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. RR+ )
101	100	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. CC )
102	99, 101, 59	subdird 9804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) = ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) )
103	59	mulid2d 9407	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. U ) = U )
104	59, 70, 71	divrec2d 10114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( U / D ) = ( ( 1 / D ) x. U ) )
105	9, 104	syl5req 2488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 / D ) x. U ) = E )
106	103, 105	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) = ( U - E ) )
107	102, 106	eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U - E ) = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) )
108	107	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
109	6	oveq1i 6104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U )
110	99, 101	subcld 9722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / D ) ) e. CC )
111	75, 79	rpdivcld 11047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. RR+ )
112	111	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. CC )
113	110, 112, 59	mul32d 9582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
114	109, 113	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
115	108, 114	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( F x. U ) )
116	115	oveq1d 6109	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) )
117	35	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
118	117, 112, 77	mulassd 9412	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
119	116, 118	eqtr3d 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
120	95, 98, 119	3eqtr2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
121	86, 120	eqtr4d 2478	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( F x. ( U ^ 3 ) ) )
122	121	oveq2d 6110	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) = ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )
123	122	oveq1d 6109	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
124	62, 123	eqtr3d 2477	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
125	26, 24	remulcld 9417	. . . . 5 |- ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. RR )
126	125, 54	resubcld 9779	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
127	124, 126	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
128	17	rpred 11030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. RR )
129	16	simp2d 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
130	129	simp1d 1000	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < Z )
131	128, 130	rplogcld 22081	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR+ )
132	32, 131	rerpdivcld 11057	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. RR )
133		fzfid 11798	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
134	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. RR+ )
135		elfznn 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n e. NN )
136	135	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. NN )
137	136	nnrpd 11029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
138	134, 137	rpdivcld 11047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z / n ) e. RR+ )
139	18	ffvelrni 5845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z / n ) e. RR+ -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
141	140, 134	rerpdivcld 11057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. RR )
142	141	recnd 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. CC )
143	142	abscld 12925	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. RR )
144	137	relogcld 22075	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
145	143, 144	remulcld 9417	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
146	133, 145	fsumrecl 13214	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
147	132, 146	remulcld 9417	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
148	147, 57	readdcld 9416	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) e. RR )
149	20	recnd 9415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R ` Z ) e. CC )
150	149	abscld 12925	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. RR )
151	150	recnd 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. CC )
152	151, 61	mulcld 9409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
153	132	recnd 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. CC )
154	140	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. CC )
155	154	abscld 12925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. RR )
156	155, 144	remulcld 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
157	133, 156	fsumrecl 13214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
158	157	recnd 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
159	153, 158	mulcld 9409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
160	17	rpcnd 11032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. CC )
161	17	rpne0d 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z =/= 0 )
162	152, 159, 160, 161	divsubdird 10149	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) )
163	151, 61, 160, 161	div23d 10147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
164	149, 160, 161	absdivd 12944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) )
165	17	rprege0d 11037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
166		absid 12788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( abs ` Z ) = Z )
167	165, 166	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` Z ) = Z )
168	167	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
169	164, 168	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
170	169	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
171	163, 170	eqtr4d 2478	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
172	153, 158, 160, 161	divassd 10145	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
173	160	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. CC )
174	161	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z =/= 0 )
175	154, 173, 174	absdivd 12944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) )
176	167	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` Z ) = Z )
177	176	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
178	175, 177	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
179	178	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
180	155	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC )
181	144	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
182	17	rpcnne0d 11039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
183	182	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
184		div23 10016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
185	180, 181, 183, 184	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
186	179, 185	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
187	186	sumeq2dv 13183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
188	156	recnd 9415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
189	133, 160, 188, 161	fsumdivc 13256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
190	187, 189	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
191	190	oveq2d 6110	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
192	172, 191	eqtr4d 2478	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
193	171, 192	oveq12d 6112	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
194	162, 193	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
195		1re 9388	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
196		rexr 9432	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
197		elioopnf 11386	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR* -> ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) ) )
198	195, 196, 197	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) )
199	128, 130, 198	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( 1 (,) +oo ) )
200		pntlem1.C	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )
201		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( R ` z ) = ( R ` Z ) )
202	201	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( abs ` ( R ` z ) ) = ( abs ` ( R ` Z ) ) )
203		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( log ` z ) = ( log ` Z ) )
204	202, 203	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
205	203	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( 2 / ( log ` z ) ) = ( 2 / ( log ` Z ) ) )
206		oveq2 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = n -> ( z / i ) = ( z / n ) )
207	206	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = n -> ( R ` ( z / i ) ) = ( R ` ( z / n ) ) )
208	207	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) )
209		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( log ` i ) = ( log ` n ) )
210	208, 209	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
211	210	cbvsumv 13176	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) )
212		oveq1 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = Z -> ( z / Y ) = ( Z / Y ) )
213	212	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = Z -> ( |_ ` ( z / Y ) ) = ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
214	213	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = Z -> ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
215		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> z = Z )
216	215	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( z / n ) = ( Z / n ) )
217	216	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( z / n ) ) = ( R ` ( Z / n ) ) )
218	217	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) )
219	218	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
220	214, 219	sumeq12rdv 13187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
221	211, 220	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
222	205, 221	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
223	204, 222	oveq12d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
224		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> z = Z )
225	223, 224	oveq12d 6112	. . . . . . . . 9 |- ( z = Z -> ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) )
226	225	breq1d 4305	. . . . . . . 8 |- ( z = Z -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C <-> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C ) )
227	226	rspcv 3072	. . . . . . 7 |- ( Z e. ( 1 (,) +oo ) -> ( A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C ) )
228	199, 200, 227	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C )
229	194, 228	eqbrtrrd 4317	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C )
230	25, 147, 57	lesubadd2d 9941	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) ) )
231	229, 230	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) )
232		2cnd 10397	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
233	143	recnd 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. CC )
234	233, 181	mulcld 9409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
235	133, 234	fsumcl 13213	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
236	131	rpne0d 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) =/= 0 )
237	232, 235, 61, 236	div23d 10147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
238	24	resqcld 12037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. RR )
239	52, 238	remulcld 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) e. RR )
240	36, 239	remulcld 9417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
241		remulcl 9370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
242	31, 240, 241	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
243	30, 24	remulcld 9417	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
244		remulcl 9370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
245	31, 146, 244	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
246	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> U e. RR )
247	246, 136	nndivred 10373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. RR )
248	247, 143	resubcld 9779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) e. RR )
249	248, 144	remulcld 9417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
250	133, 249	fsumrecl 13214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
251	32, 250	remulcld 9417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
252	243, 245	resubcld 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
253		pntlem1.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
254		pntlem1.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
255		pntlem1.U	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
256		pntlem1.K	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
257	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 253, 254, 255, 256	pntlemf 22857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
258		2pos 10416	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 2 )
260		lemul2 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
261	240, 250, 32, 259, 260	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
262	257, 261	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
263	247	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. CC )
264	263, 233, 181	subdird 9804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
265	264	sumeq2dv 13183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
266	247, 144	remulcld 9417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
267	266	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
268	133, 267, 234	fsumsub 13258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
269	265, 268	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
270	269	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
271	133, 266	fsumrecl 13214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
272	271	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
273	232, 272, 235	subdid 9803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
274	270, 273	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
275		remulcl 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
276	31, 271, 275	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
277	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 253, 254, 255, 256	pntlemk 22858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) )
278	276, 243, 245, 277	lesub1dd 9958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
279	274, 278	eqbrtrd 4315	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
280	242, 251, 252, 262, 279	letrd 9531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
281	242, 243, 245, 280	lesubd 9946	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
282	30	recnd 9415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. CC )
283	55	recnd 9415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. CC )
284	282, 283, 61	subdird 9804	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
285	54	recnd 9415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
286	232, 285, 61	mulassd 9412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
287	60, 61, 61	mulassd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
288	61	sqvald 12008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) = ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) )
289	288	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
290	51	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. CC )
291	238	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. CC )
292	117, 290, 291	mulassd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
293	287, 289, 292	3eqtr2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
294	293	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
295	286, 294	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
296	295	oveq2d 6110	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
297	284, 296	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
298	281, 297	breqtrrd 4321	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
299	245, 56, 131	ledivmul2d 11080	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <-> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
300	298, 299	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
301	237, 300	eqbrtrrd 4317	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
302	147, 56, 57, 301	leadd1dd 9956	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
303	25, 148, 58, 231, 302	letrd 9531	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
304		remulcl 9370	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( U x. 3 ) e. RR )
305	26, 27, 304	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. RR )
306	305, 57	readdcld 9416	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR )
307	16	simp3d 1002	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
308	307	simp3d 1002	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
309	306, 54, 125, 308	leadd2dd 9957	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
310	28	recnd 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 3 e. CC )
311	59, 61, 310	adddid 9413	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) )
312	311	oveq1d 6109	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) )
313	125	recnd 9415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. CC )
314	59, 310	mulcld 9409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. CC )
315	13	rpcnd 11032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
316	313, 314, 315	addassd 9411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
317	312, 316	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
318	285	2timesd 10570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
319	318	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
320	313, 285, 285	nppcan3d 9749	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
321	319, 320	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
322	309, 317, 321	3brtr4d 4325	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. (