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Theorem pntlemn 23628
Description: Lemma for pnt 23642. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
Assertion
Ref Expression
pntlemn  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Distinct variable groups:    z, C    z, J    z, L    z, K    z, M    z, N    z, R    z, U    z, W    z, X    z, Y    z, a, E    z, Z
Allowed substitution hints:    ph( z, a)    A( z, a)    B( z, a)    C( a)    D( z, a)    R( a)    U( a)    F( z, a)    J( a)    K( a)    L( a)    M( a)    N( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemn
StepHypRef Expression
1 pntlem1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR+ )
32rpred 11266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  U  e.  RR )
4 simprl 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  NN )
53, 4nndivred 10594 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( U  /  J
)  e.  RR )
6 pntlem1.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
7 pntlem1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
8 pntlem1.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 pntlem1.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
10 pntlem1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( A  +  1 )
11 pntlem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( U  /  D
)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
15 pntlem1.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
16 pntlem1.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
17 pntlem1.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
18 pntlem1.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
19 pntlem1.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
206, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pntlemb 23625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2120simp1d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
234nnrpd 11265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR+ )
2422, 23rpdivcld 11283 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR+ )
256pntrf 23591 . . . . . . . 8  |-  R : RR+
--> RR
2625ffvelrni 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  /  J )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2724, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  RR )
2827, 22rerpdivcld 11293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  RR )
2928recnd 9632 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  e.  CC )
3029abscld 13242 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  e.  RR )
315, 30resubcld 9997 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) )  e.  RR )
3223relogcld 22851 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  J
)  e.  RR )
3327recnd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC )
3422rpcnne0d 11275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )
3523rpcnne0d 11275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )
36 divdiv2 10266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 )  /\  ( J  e.  CC  /\  J  =/=  0 ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z ) )
384nncnd 10562 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  CC )
39 div23 10236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4033, 38, 34, 39syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  x.  J )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4137, 40eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z )  x.  J ) )
4241fveq2d 5875 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) ) )
4329, 38absmuld 13260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
)  x.  J ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) ) )
4423rprege0d 11273 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( J  e.  RR  /\  0  <_  J )
)
45 absid 13104 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  J
)  =  J )
4746oveq2d 6310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  J
) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J ) )
4842, 43, 473eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
) )
4924rpred 11266 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  RR )
50 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  <_  ( Z  /  Y ) )
5123rpred 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  J  e.  RR )
5222rpred 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Z  e.  RR )
5315simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
5453adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR+ )
5551, 52, 54lemuldiv2d 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  J  <_  ( Z  /  Y ) ) )
5650, 55mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Y  x.  J
)  <_  Z )
5754rpred 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  e.  RR )
5857, 52, 23lemuldivd 11311 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Y  x.  J )  <_  Z  <->  Y  <_  ( Z  /  J ) ) )
5956, 58mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  Y  <_  ( Z  /  J ) )
60 elicopnf 11630 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,) +oo )  <->  ( ( Z  /  J )  e.  RR  /\  Y  <_ 
( Z  /  J
) ) ) )
6157, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,) +oo )  <->  ( ( Z  /  J
)  e.  RR  /\  Y  <_  ( Z  /  J ) ) ) )
6249, 59, 61mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( Z  /  J
)  e.  ( Y [,) +oo ) )
63 pntlem1.U . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
6463adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  ->  A. z  e.  ( Y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  U )
65 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( R `  z )  =  ( R `  ( Z  /  J
) ) )
66 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  z  =  ( Z  /  J ) )
6765, 66oveq12d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 ( Z  /  J ) )  / 
( Z  /  J
) ) )
6867fveq2d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) ) )
6968breq1d 4462 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( Z  /  J )  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
)
7069rspcv 3215 . . . . . 6  |-  ( ( Z  /  J )  e.  ( Y [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( Y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  U  ->  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U ) )
7162, 64, 70sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  ( Z  /  J ) ) )  <_  U )
7248, 71eqbrtrrd 4474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  x.  J )  <_  U )
7330, 3, 23lemuldivd 11311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  x.  J
)  <_  U  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7472, 73mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) )  <_  ( U  /  J ) )
755, 30subge0d 10152 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 0  <_  (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) )  <_  ( U  /  J ) ) )
7674, 75mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( U  /  J )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J ) )  /  Z ) ) ) )
77 log1 22813 . . 3  |-  ( log `  1 )  =  0
78 nnge1 10572 . . . . 5  |-  ( J  e.  NN  ->  1  <_  J )
7978ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
1  <_  J )
80 1rp 11234 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
81 logleb 22831 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  J  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J ) ) )
8280, 23, 81sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( 1  <_  J  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  J
) ) )
8379, 82mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  J ) )
8477, 83syl5eqbrr 4486 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( log `  J ) )
8531, 32, 76, 84mulge0d 10139 1  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  NN  /\  J  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  J
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  J
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503    + caddc 9505    x. cmul 9507   +oocpnf 9635    < clt 9638    <_ cle 9639    - cmin 9815    / cdiv 10216   NNcn 10546   2c2 10595   3c3 10596   4c4 10597  ;cdc 10986   RR+crp 11230   (,)cioo 11539   [,)cico 11541   |_cfl 11905   ^cexp 12144   sqrcsqrt 13041   abscabs 13042   expce 13671   _eceu 13672   logclog 22785  ψcchp 23209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-e 13678  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-dvds 13860  df-gcd 14016  df-prm 14089  df-pc 14232  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-vma 23214  df-chp 23215
This theorem is referenced by:  pntlemj  23631  pntlemf  23633
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