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Theorem pntleml 22840
Description: Lemma for pnt 22843. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlemp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlemp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlemp.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlemp.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlemp.K  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
Assertion
Ref Expression
pntleml  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    e, a,
k, u, x, y, z, D    y, F, z    R, e, k, u, x, y, z    e, L, k, u, x, y, z    ph, x, y    B, e, k, x, y, z    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( u, e, k, a)    A( u, e, k, a)    B( u, a)    R( a)    F( x, u, e, k, a)    L( a)

Proof of Theorem pntleml
Dummy variables  s 
r  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . 2  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem3.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlem3.A . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
4 eqid 2438 . 2  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
5 pntlemp.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
6 pntlemp.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
7 pntlemp.d . . . 4  |-  D  =  ( A  +  1 )
8 pntlemp.f . . . 4  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
91, 2, 5, 6, 7, 8pntlemd 22823 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
109simp3d 1002 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  RR+ )
11 0m0e0 10423 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
12 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  r  =  0 )
1312oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
14 3nn 10472 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
15 0exp 11891 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
1713, 16syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
1817oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  =  ( F  x.  0 ) )
1910rpcnd 11021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
2019mul01d 9560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  x.  0 )  =  0 )
2120ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  0 )  =  0 )
2218, 21eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  =  0 )
2312, 22oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
2411, 23, 123eqtr4a 2496 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  =  r )
25 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
2624, 25eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
27 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  s  ->  (
y [,) +oo )  =  ( s [,) +oo ) )
2827raleqdv 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  s  ->  ( A. z  e.  (
y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
2928cbvrexv 2943 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
30 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  ( 0 [,] A
) )
31 0re 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A  e.  RR+ )
3332rpred 11019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A  e.  RR )
34 elicc2 11352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( r  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( r  e.  RR  /\  0  <_  r  /\  r  <_  A ) ) )
3531, 33, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  e.  ( 0 [,] A
)  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r  /\  r  <_  A ) ) )
3630, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r  /\  r  <_  A ) )
3736simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3810ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  F  e.  RR+ )
3936simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  r )
40 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  =/=  0 )
4137, 39, 40ne0gt0d 9503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <  r )
4237, 41elrpd 11017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
43 3z 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  ZZ
44 rpexpcl 11876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
r ^ 3 )  e.  RR+ )
4542, 43, 44sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r ^ 3 )  e.  RR+ )
4638, 45rpmulcld 11035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  e.  RR+ )
4746rpred 11019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  e.  RR )
4837, 47resubcld 9768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  RR )
493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
505ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  B  e.  RR+ )
516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  L  e.  ( 0 (,) 1
) )
52 pntlemp.K . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
5436simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  <_  A )
55 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  /  D )  =  ( r  /  D
)
56 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  ( B  /  (
r  /  D ) ) )  =  ( exp `  ( B  /  ( r  /  D ) ) )
57 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR+ )
58 1rp 10987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
59 rpaddcl 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR+ )
6057, 58, 59sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( s  +  1 )  e.  RR+ )
6157rpge0d 11023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  s )
62 1re 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6357rpred 11019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR )
64 addge02 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 0  <_  s  <->  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
6562, 63, 64sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( 0  <_  s  <->  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
6661, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  1  <_  ( s  +  1 ) )
6760, 66jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
s  +  1 )  e.  RR+  /\  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
6857rpxrd 11020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR* )
6963lep1d 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  <_  ( s  +  1 ) )
70 df-ico 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [,)  =  ( t  e.  RR* ,  r  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( t  <_  w  /\  w  <  r ) } )
71 xrletr 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR*  /\  (
s  +  1 )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
( s  <_  (
s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  <_  v
)  ->  s  <_  v ) )
7270, 70, 71ixxss1 11310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR*  /\  s  <_  ( s  +  1 ) )  ->  (
( s  +  1 ) [,) +oo )  C_  ( s [,) +oo ) )
7368, 69, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
s  +  1 ) [,) +oo )  C_  ( s [,) +oo ) )
74 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
75 ssralv 3411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  +  1 ) [,) +oo )  C_  ( s [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  A. z  e.  ( ( s  +  1 ) [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  r ) )
7673, 74, 75sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. z  e.  ( ( s  +  1 ) [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
771, 32, 49, 50, 51, 7, 8, 53, 42, 54, 55, 56, 67, 76pntlemp 22839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) )
78 rpre 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  RR+  ->  w  e.  RR )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR )
8079leidd 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  <_  w )
81 elicopnf 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  RR  ->  (
w  e.  ( w [,) +oo )  <->  ( w  e.  RR  /\  w  <_  w ) ) )
8279, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
w  e.  ( w [,) +oo )  <->  ( w  e.  RR  /\  w  <_  w ) ) )
8379, 80, 82mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  ( w [,) +oo ) )
84 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  ( R `  v )  =  ( R `  w ) )
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  v  =  w )
8684, 85oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  w  ->  (
( R `  v
)  /  v )  =  ( ( R `
 w )  /  w ) )
8786fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  w  ->  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  =  ( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) ) )
8887breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  w  ->  (
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
8988rspcv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( w [,) +oo )  ->  ( A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
9083, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  (
w [,) +oo )
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
911pntrf 22792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  R : RR+
--> RR
9291ffvelrni 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( R `
 w )  e.  RR )
93 rerpdivcl 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  RR  /\  w  e.  RR+ )  -> 
( ( R `  w )  /  w
)  e.  RR )
9492, 93mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( ( R `  w )  /  w )  e.  RR )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( R `  w
)  /  w )  e.  RR )
9695recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( R `  w
)  /  w )  e.  CC )
9796absge0d 12922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) ) )
98 0red 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
9996abscld 12914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  e.  RR )
10048adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR )
101 letr 9460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w ) )  e.  RR  /\  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <_ 
( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) )  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
10298, 99, 100, 101syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( 0  <_  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10397, 102mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10490, 103syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  (
w [,) +oo )
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
105104rexlimdva 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10677, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) )
10746rpge0d 11023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )
10837, 47subge02d 9923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( 0  <_  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  <->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_ 
r ) )
109107, 108mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_ 
r )
11048, 37, 33, 109, 54letrd 9520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A )
111 elicc2 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  /\  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A )
) )
11231, 33, 111sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  /\  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A ) ) )
11348, 106, 110, 112mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A
) )
114113, 77jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
115114rexlimdvaa 2837 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( s [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
11629, 115syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) ) )  -> 
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
117116anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  =/=  0 )  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
118117expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  =/=  0 )  ->  (
( r  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )  ->  ( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo )
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
119 breq2 4291 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  r  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )
120119rexralbidv 2754 . . . . . . 7  |-  ( t  =  r  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
121120elrab 3112 . . . . . 6  |-  ( r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  <->  ( r  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
122 breq2 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
123122rexralbidv 2754 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
124 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  ( R `  v )  =  ( R `  z ) )
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  v  =  z )
126124, 125oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
( R `  v
)  /  v )  =  ( ( R `
 z )  / 
z ) )
127126fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
128127breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
129128cbvralv 2942 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  <->  A. z  e.  (
w [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) )
130 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
w [,) +oo )  =  ( y [,) +oo ) )
131130raleqdv 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z  e.  (
w [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
132129, 131syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( A. v  e.  (
w [,) +oo )
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
133132cbvrexv 2943 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) )
134123, 133syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
135134elrab 3112 . . . . . 6  |-  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  <->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
136118, 121, 1353imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  =/=  0 )  ->  (
r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
) )
137136imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  =/=  0 )  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e. 
{ t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
138137an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  =/=  0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
13926, 138pm2.61dane 2684 . 2  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } )  ->  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } )
1401, 2, 3, 4, 10, 139pntlem3 22838 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   ZZcz 10638  ;cdc 10747   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   [,]cicc 11295   ^cexp 11857   abscabs 12715    ~~> r crli 12955   expce 13339  ψcchp 22410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-cmp 18970  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-cxp 21989  df-em 22366  df-cht 22414  df-vma 22415  df-chp 22416  df-ppi 22417  df-mu 22418
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