Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemk Unicode version

Theorem pntlemk 21253
 Description: Lemma for pnt 21261. Evaluate the naive part of the estimate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
pntlem1.z
pntlem1.m
pntlem1.n
pntlem1.U
pntlem1.K
Assertion
Ref Expression
pntlemk
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)   ()   (,,)   (,,,,)   (,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem pntlemk
StepHypRef Expression
1 2re 10025 . . . . 5
2 fzfid 11267 . . . . . 6
3 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10
43adantl 453 . . . . . . . . 9
54nnrpd 10603 . . . . . . . 8
65relogcld 20471 . . . . . . 7
76, 4nndivred 10004 . . . . . 6
82, 7fsumrecl 12483 . . . . 5
9 remulcl 9031 . . . . 5
101, 8, 9sylancr 645 . . . 4
11 pntlem1.r . . . . . . . . 9 ψ
12 pntlem1.a . . . . . . . . 9
13 pntlem1.b . . . . . . . . 9
14 pntlem1.l . . . . . . . . 9
15 pntlem1.d . . . . . . . . 9
16 pntlem1.f . . . . . . . . 9 ;
17 pntlem1.u . . . . . . . . 9
18 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9
19 pntlem1.e . . . . . . . . 9
20 pntlem1.k . . . . . . . . 9
21 pntlem1.y . . . . . . . . 9
22 pntlem1.x . . . . . . . . 9
23 pntlem1.c . . . . . . . . 9
24 pntlem1.w . . . . . . . . 9 ;
25 pntlem1.z . . . . . . . . 9
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25pntlemb 21244 . . . . . . . 8 ;
2726simp1d 969 . . . . . . 7
2827relogcld 20471 . . . . . 6
29 peano2re 9195 . . . . . 6
3028, 29syl 16 . . . . 5
3130resqcld 11504 . . . 4
32 3re 10027 . . . . . 6
33 readdcl 9029 . . . . . 6
3428, 32, 33sylancl 644 . . . . 5
3534, 28remulcld 9072 . . . 4
3627rpred 10604 . . . . . . . . . . 11
3721simpld 446 . . . . . . . . . . 11
3836, 37rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . 10
39 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4127rpsqrcld 12169 . . . . . . . . . . . 12
4241rpred 10604 . . . . . . . . . . 11
43 ere 12646 . . . . . . . . . . . . 13
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
45 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 egt2lt3 12760 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746simpli 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
4839, 1, 43lttri 9155 . . . . . . . . . . . . . . 15
4945, 47, 48mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14
5039, 43, 49ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . 13
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5226simp2d 970 . . . . . . . . . . . . 13
5352simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12
5440, 44, 42, 51, 53letrd 9183 . . . . . . . . . . 11
5552simp3d 971 . . . . . . . . . . 11
5640, 42, 38, 54, 55letrd 9183 . . . . . . . . . 10
57 flge1nn 11181 . . . . . . . . . 10
5838, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . . 9
5958nnrpd 10603 . . . . . . . 8
6059relogcld 20471 . . . . . . 7
6160, 40readdcld 9071 . . . . . 6
6261resqcld 11504 . . . . 5
63 logdivbnd 21203 . . . . . . 7
6458, 63syl 16 . . . . . 6
651a1i 11 . . . . . . 7
66 2pos 10038 . . . . . . . 8
6766a1i 11 . . . . . . 7
68 lemuldiv2 9846 . . . . . . 7
698, 62, 65, 67, 68syl112anc 1188 . . . . . 6
7064, 69mpbird 224 . . . . 5
71 reflcl 11160 . . . . . . . . . 10
7238, 71syl 16 . . . . . . . . 9
73 flle 11163 . . . . . . . . . 10
7438, 73syl 16 . . . . . . . . 9
7521simprd 450 . . . . . . . . . . 11
76 1rp 10572 . . . . . . . . . . . . 13
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7877, 37, 27lediv2d 10628 . . . . . . . . . . 11
7975, 78mpbid 202 . . . . . . . . . 10
8036recnd 9070 . . . . . . . . . . 11
8180div1d 9738 . . . . . . . . . 10
8279, 81breqtrd 4196 . . . . . . . . 9
8372, 38, 36, 74, 82letrd 9183 . . . . . . . 8
8459, 27logled 20475 . . . . . . . 8
8583, 84mpbid 202 . . . . . . 7
8660, 28, 40, 85leadd1dd 9596 . . . . . 6
87 0re 9047 . . . . . . . . 9
8887a1i 11 . . . . . . . 8
89 log1 20433 . . . . . . . . 9
9058nnge1d 9998 . . . . . . . . . 10
91 logleb 20451 . . . . . . . . . . 11
9276, 59, 91sylancr 645 . . . . . . . . . 10
9390, 92mpbid 202 . . . . . . . . 9
9489, 93syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8
9560lep1d 9898 . . . . . . . 8
9688, 60, 61, 94, 95letrd 9183 . . . . . . 7
9788, 61, 30, 96, 86letrd 9183 . . . . . . 7
9861, 30, 96, 97le2sqd 11513 . . . . . 6
9986, 98mpbid 202 . . . . 5
10010, 62, 31, 70, 99letrd 9183 . . . 4
10128resqcld 11504 . . . . . . 7
10265, 28remulcld 9072 . . . . . . 7
103101, 102readdcld 9071 . . . . . 6
104 loge 20434 . . . . . . 7
10541rpge0d 10608 . . . . . . . . . . 11
10642, 42, 105, 54lemulge12d 9905 . . . . . . . . . 10
10727rprege0d 10611 . . . . . . . . . . 11
108 remsqsqr 12017 . . . . . . . . . . 11
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . 10
110106, 109breqtrd 4196 . . . . . . . . 9
11144, 42, 36, 53, 110letrd 9183 . . . . . . . 8
112 epr 12762 . . . . . . . . 9
113 logleb 20451 . . . . . . . . 9
114112, 27, 113sylancr 645 . . . . . . . 8
115111, 114mpbid 202 . . . . . . 7
116104, 115syl5eqbrr 4206 . . . . . 6
11740, 28, 103, 116leadd2dd 9597 . . . . 5
11828recnd 9070 . . . . . 6
119 binom21 11452 . . . . . 6
120118, 119syl 16 . . . . 5
121118sqvald 11475 . . . . . . 7
122 df-3 10015 . . . . . . . . . 10
123122oveq1i 6050 . . . . . . . . 9
124 2cn 10026 . . . . . . . . . . 11
125124a1i 11 . . . . . . . . . 10
126 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10
128125, 127, 118adddird 9069 . . . . . . . . 9
129123, 128syl5eq 2448 . . . . . . . 8
130118mulid2d 9062 . . . . . . . . 9
131130oveq2d 6056 . . . . . . . 8
132129, 131eqtr2d 2437 . . . . . . 7
133121, 132oveq12d 6058 . . . . . 6
134118sqcld 11476 . . . . . . 7
135 mulcl 9030 . . . . . . . 8
136124, 118, 135sylancr 645 . . . . . . 7
137134, 136, 118addassd 9066 . . . . . 6
138 3cn 10028 . . . . . . . 8
139138a1i 11 . . . . . . 7
140118, 139, 118adddird 9069 . . . . . 6
141133, 137, 1403eqtr4rd 2447 . . . . 5
142117, 120, 1413brtr4d 4202 . . . 4
14310, 31, 35, 100, 142letrd 9183 . . 3
14410, 35, 17lemul2d 10644 . . 3
145143, 144mpbid 202 . 2
14617rpred 10604 . . . . . . . . 9
147146adantr 452 . . . . . . . 8
148147recnd 9070 . . . . . . 7
1496recnd 9070 . . . . . . 7
1505rpcnne0d 10613 . . . . . . 7
151 div23 9653 . . . . . . . 8
152 divass 9652 . . . . . . . 8
153151, 152eqtr3d 2438 . . . . . . 7
154148, 149, 150, 153syl3anc 1184 . . . . . 6
155154sumeq2dv 12452 . . . . 5
156146recnd 9070 . . . . . 6
1577recnd 9070 . . . . . 6
1582, 156, 157fsummulc2 12522 . . . . 5
159155, 158eqtr4d 2439 . . . 4
160159oveq2d 6056 . . 3
1618recnd 9070 . . . 4
162125, 156, 161mul12d 9231 . . 3
163160, 162eqtrd 2436 . 2
16434recnd 9070 . . 3
165156, 164, 118mulassd 9067 . 2
166145, 163, 1653brtr4d 4202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667   class class class wbr 4172   cmpt 4226  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   cpnf 9073   clt 9076   cle 9077   cmin 9247   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  c3 10006  c4 10007  ;cdc 10338  crp 10568  cioo 10872  cico 10874  cicc 10875  cfz 10999  cfl 11156  cexp 11337  csqr 11993  cabs 11994  csu 12434  ce 12619  ceu 12620  clog 20405  ψcchp 20828 This theorem is referenced by:  pntlemo  21254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-em 20784
 Copyright terms: Public domain W3C validator