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Theorem pntlemj 22988
Description: Lemma for pnt 22999. The induction step. Using pntibnd 22978, we find an interval in  K ^ J ... K ^ ( J  + 
1 ) which is sufficiently large and has a much smaller value,  R ( z )  / 
z  <_  E (instead of our original bound 
R ( z )  /  z  <_  U). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
pntlem1.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
pntlem1.K  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
pntlem1.o  |-  O  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )
pntlem1.v  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
pntlem1.V  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
pntlem1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
pntlem1.i  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemj  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
Distinct variable groups:    z, C    n, I    y, n, z, J    u, n, L, y, z    n, K, y, z    n, M, z    n, O, z    ph, n    n, N, z    R, n, u, y, z   
n, V, u    U, n, z    n, W, z   
n, X, y, z   
n, Y, z    n, a, u, y, z, E   
n, Z, u, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, a)    A( y, z, u, n, a)    B( y, z, u, n, a)    C( y, u, n, a)    D( y, z, u, n, a)    R( a)    U( y, u, a)    F( y, z, u, n, a)    I( y, z, u, a)    J( u, a)    K( u, a)    L( a)    M( y, u, a)    N( y, u, a)    O( y, u, a)    V( y, z, a)    W( y, u, a)    X( u, a)    Y( y, u, a)    Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemj
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlem1.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4 pntlem1.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlem1.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( A  +  1 )
6 pntlem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
7 pntlem1.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
8 pntlem1.u2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
9 pntlem1.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( U  /  D
)
10 pntlem1.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 22980 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
1211simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
1312simp3d 1002 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
141, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 22979 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
1514simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
1611simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1715, 16rpmulcld 11157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )
18 8nn 10599 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN
19 nnrp 11114 . . . . . . 7  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6  |-  8  e.  RR+
21 rpdivcl 11127 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( L  x.  E
)  /  8 )  e.  RR+ )
2217, 20, 21sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  /  8
)  e.  RR+ )
23 pntlem1.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
24 pntlem1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
25 pntlem1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
26 pntlem1.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
27 pntlem1.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27pntlemb 22982 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
2928simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
3029rpred 11141 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
3128simp2d 1001 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
3231simp1d 1000 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
3330, 32rplogcld 22214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR+ )
3422, 33rpmulcld 11157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  x.  E )  / 
8 )  x.  ( log `  Z ) )  e.  RR+ )
3513, 34rpmulcld 11157 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  e.  RR+ )
3635rpred 11141 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  e.  RR )
37 pntlem1.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
38 fzfid 11915 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  e.  Fin )
3937, 38syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
40 hashcl 12246 . . . . 5  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  NN0 )
4241nn0red 10751 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
4313rpred 11141 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR )
44 pntlem1.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  RR+ )
4529, 44rpdivcld 11158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR+ )
4645relogcld 22208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
4746, 45rerpdivcld 11168 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
4843, 47remulcld 9528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
4942, 48remulcld 9528 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  e.  RR )
50 pntlem1.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )
51 fzfid 11915 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) )  e.  Fin )
5250, 51syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
537rpred 11141 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5453adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  U  e.  RR )
5511simp2d 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
56 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M..^ N ) )
57 elfzoelz 11673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ZZ )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
5958peano2zd 10864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
6055, 59rpexpcld 12151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR+ )
6129, 60rpdivcld 11158 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
6261rprege0d 11148 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) ) )
63 flge0nn0 11786 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  NN0 )
64 nn0p1nn 10733 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
6562, 63, 643syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
66 elfzuz 11569 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ) )
6766, 50eleq2s 2562 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  O  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ) )
68 eluznn 11039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
6965, 67, 68syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  NN )
7054, 69nndivred 10484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( U  /  n )  e.  RR )
7129adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  Z  e.  RR+ )
7269nnrpd 11140 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  RR+ )
7371, 72rpdivcld 11158 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  n )  e.  RR+ )
741pntrf 22948 . . . . . . . . . 10  |-  R : RR+
--> RR
7574ffvelrni 5954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( Z  /  n ) )  e.  RR )
7673, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  RR )
7776, 71rerpdivcld 11168 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  e.  RR )
7877recnd 9526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  e.  CC )
7978abscld 13043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  e.  RR )
8070, 79resubcld 9890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  e.  RR )
8172relogcld 22208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
8280, 81remulcld 9528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8352, 82fsumrecl 13332 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
84 pntlem1.m . . 3  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
85 pntlem1.n . . 3  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
86 pntlem1.U . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
87 pntlem1.K . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( K  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
88 pntlem1.V . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K ^ J )  < 
V  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  < 
( K  x.  ( K ^ J ) ) )  /\  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
891, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemr 22987 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
9048recnd 9526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )
91 fsumconst 13378 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  I  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
9239, 90, 91syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  ( ( # `  I )  x.  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ) )
931, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemq 22986 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  C_  O )
9490ralrimivw 2831 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )
9552olcd 393 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  C_  ( ZZ>=
`  1 )  \/  O  e.  Fin )
)
96 sumss2 13324 . . . . 5  |-  ( ( ( I  C_  O  /\  A. n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  CC )  /\  ( O  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  O  e.  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  I  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 ) )
9793, 94, 95, 96syl21anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  I 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 ) )
9892, 97eqtr3d 2497 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  =  sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 ) )
9948adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
10099adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  e.  RR )
101 0red 9501 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  -.  n  e.  I )  ->  0  e.  RR )
102100, 101ifclda 3932 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
103 breq1 4406 . . . . 5  |-  ( ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  =  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) )  <->  if (
n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )
104 breq1 4406 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) )  <->  if (
n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )
10513rpregt0d 11147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  e.  RR  /\  0  <  ( U  -  E ) ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  e.  RR  /\  0  <  ( U  -  E ) ) )
107106simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  -  E )  e.  RR )
108 1rp 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR+
109 rpaddcl 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
110108, 17, 109sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
111110, 44rpmulcld 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR+ )
11229, 111rpdivcld 11158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR+ )
113112rprege0d 11148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
114 flge0nn0 11786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  -> 
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  NN0 )
115 nn0p1nn 10733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  NN )
116113, 114, 1153syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  NN )
117 elfzuz 11569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ) )
118117, 37eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  I  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ) )
119 eluznn 11039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
120116, 118, 119syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  NN )
121120nnrpd 11140 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  RR+ )
122121relogcld 22208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
123122, 120nndivred 10484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
124107, 123remulcld 9528 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  n )  /  n ) )  e.  RR )
12593sselda 3467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  O )
126125, 82syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
127 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  I )
128127, 37syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) ) )
129 elfzle2 11575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )
13145rpred 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  /  V
)  e.  RR )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  V )  e.  RR )
133 elfzelz 11573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
134128, 133syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  ZZ )
135 flge 11775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  /  V
)  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  ( Z  /  V )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) ) )
136132, 134, 135syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  <_  ( Z  /  V )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  V ) ) ) )
137130, 136mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  <_  ( Z  /  V
) )
138120nnred 10451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  RR )
139 ere 13495 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
140139a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  e.  RR )
141112rpred 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR )
143139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
14429rpsqrcld 13019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
145144rpred 11141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
14631simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
147111rpred 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR )
14860rpred 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  e.  RR )
14988simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ J )  <  V  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) ) )
150149simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K  x.  ( K ^ J
) ) )
15155rpcnd 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
15255, 58rpexpcld 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  RR+ )
153152rpcnd 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  CC )
154151, 153mulcomd 9521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
1551, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemg 22983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  <_  ( N  -  M )
) )
156155simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
157 elfzouz 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M )
)
15856, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )
159 eluznn 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN  /\  J  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  J  e.  NN )
160156, 158, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
161160nnnn0d 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
162151, 161expp1d 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  =  ( ( K ^ J )  x.  K ) )
163154, 162eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( K ^ J ) )  =  ( K ^
( J  +  1 ) ) )
164150, 163breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
165147, 148, 164ltled 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( K ^ ( J  + 
1 ) ) )
166 fzofzp1 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
16756, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
1681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 22984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( J  +  1 )  e.  ( M ... N
) )  ->  ( X  <  ( K ^
( J  +  1 ) )  /\  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  <_ 
( sqr `  Z
) ) )
169167, 168mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  <  ( K ^ ( J  + 
1 ) )  /\  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z
) ) )
170169simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ^ ( J  +  1 ) )  <_  ( sqr `  Z ) )
171147, 148, 145, 165, 170letrd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  <_  ( sqr `  Z ) )
172147, 145, 144lemul2d 11181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  <_  ( sqr `  Z )  <->  ( ( sqr `  Z )  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  <_  (
( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) ) ) )
173171, 172mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z ) ) )
17429rprege0d 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
175 remsqsqr 12867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
177173, 176breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z )
178145, 30, 111lemuldivd 11186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  Z )  x.  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  Z  <->  ( sqr `  Z )  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
179177, 178mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
180143, 145, 141, 146, 179letrd 9642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
181180adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  <_  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
182 reflcl 11766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  e.  RR )
183 peano2re 9656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  RR )
184141, 182, 1833syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  RR )
185184adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  e.  RR )
186 fllep1 11771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  e.  RR  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_ 
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) )
187142, 186syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_ 
( ( |_ `  ( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) )
188 elfzle1 11574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  V ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) ) )  +  1 )  <_  n
)
189128, 188syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( |_ `  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )  +  1 )  <_  n )
190142, 185, 138, 187, 189letrd 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  n )
191140, 142, 138, 181, 190letrd 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  <_  n )
192140, 138, 132, 191, 137letrd 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  _e  <_  ( Z  /  V
) )
193 logdivle 22207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  _e  <_  n )  /\  ( ( Z  /  V )  e.  RR  /\  _e  <_  ( Z  /  V ) ) )  ->  ( n  <_ 
( Z  /  V
)  <->  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) )  <_  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
194138, 191, 132, 192, 193syl22anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  <_  ( Z  /  V )  <->  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  / 
( Z  /  V
) )  <_  (
( log `  n
)  /  n ) ) )
195137, 194mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  <_ 
( ( log `  n
)  /  n ) )
19647adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR )
197 lemul2 10296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR  /\  ( ( U  -  E )  e.  RR  /\  0  <  ( U  -  E
) ) )  -> 
( ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) )  <_  ( ( log `  n )  /  n
)  <->  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
198196, 123, 106, 197syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) )  <_ 
( ( log `  n
)  /  n )  <-> 
( ( U  -  E )  x.  (
( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) ) )
199195, 198mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
20013rpcnd 11143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  CC )
201200adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  -  E )  e.  CC )
202122recnd 9526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
203121rpcnne0d 11150 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
204 div23 10127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  -  E
)  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( ( U  -  E
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )
205201, 202, 203, 204syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  x.  ( log `  n ) )  /  n )  =  ( ( ( U  -  E )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )
206 divass 10126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  -  E
)  e.  CC  /\  ( log `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
207201, 202, 203, 206syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  x.  ( log `  n ) )  /  n )  =  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  n
)  /  n ) ) )
208205, 207eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  =  ( ( U  -  E )  x.  (
( log `  n
)  /  n ) ) )
20943adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  -  E )  e.  RR )
210209, 120nndivred 10484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  /  n )  e.  RR )
211125, 80syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  e.  RR )
212 log1 22170 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  1 )  =  0
213120nnge1d 10478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  1  <_  n )
214 logleb 22188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  n  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  n ) ) )
215108, 121, 214sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
1  <_  n  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  n ) ) )
216213, 215mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  n
) )
217212, 216syl5eqbrr 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  0  <_  ( log `  n
) )
2187rpcnd 11143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
219218adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  U  e.  CC )
22016rpred 11141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
221220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  E  e.  RR )
222221recnd 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  E  e.  CC )
223 divsubdir 10141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( U  -  E )  /  n )  =  ( ( U  /  n
)  -  ( E  /  n ) ) )
224219, 222, 203, 223syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  /  n )  =  ( ( U  /  n )  -  ( E  /  n
) ) )
225125, 79syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  e.  RR )
226221, 120nndivred 10484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( E  /  n )  e.  RR )
227125, 70syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( U  /  n )  e.  RR )
228125, 76syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  RR )
229228recnd 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  CC )
23029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  Z  e.  RR+ )
231230rpcnne0d 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )
232 divdiv2 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 )  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  n
) )  x.  n
)  /  Z ) )
233229, 231, 203, 232syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  ( Z  /  n ) )  =  ( ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  x.  n )  /  Z
) )
234121rpcnd 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  CC )
235 div23 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  ( Z  e.  CC  /\  Z  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  x.  n )  /  Z
)  =  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n ) )
236229, 234, 231, 235syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( R `  ( Z  /  n
) )  x.  n
)  /  Z )  =  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n ) )
237233, 236eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  ( Z  /  n ) )  =  ( ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n
) )
238237fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  =  ( abs `  (
( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
)  x.  n ) ) )
239125, 78syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  e.  CC )
240239, 234absmuld 13061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z )  x.  n ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  n
) ) )
241121rprege0d 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
242 absid 12906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
243241, 242syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  n )  =  n )
244243oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  ( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n ) )
245238, 240, 2443eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n ) )
24630adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  Z  e.  RR )
247246, 120nndivred 10484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  n )  e.  RR )
24844rpregt0d 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( V  e.  RR  /\  0  <  V ) )
249248adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( V  e.  RR  /\  0  <  V ) )
250 lemuldiv2 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  RR  /\  Z  e.  RR  /\  ( V  e.  RR  /\  0  <  V ) )  -> 
( ( V  x.  n )  <_  Z  <->  n  <_  ( Z  /  V ) ) )
251138, 246, 249, 250syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( V  x.  n
)  <_  Z  <->  n  <_  ( Z  /  V ) ) )
252137, 251mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( V  x.  n )  <_  Z )
253249simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  V  e.  RR )
254253, 246, 121lemuldivd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( V  x.  n
)  <_  Z  <->  V  <_  ( Z  /  n ) ) )
255252, 254mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  V  <_  ( Z  /  n
) )
256111rpregt0d 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
257256adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
258121rpregt0d 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
259 lediv23 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  ( ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( Z  / 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  <_  n  <->  ( Z  /  n )  <_  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
260246, 257, 258, 259syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( Z  /  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <_  n  <->  ( Z  /  n )  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
261190, 260mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  n )  <_ 
( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )
26244rpred 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  V  e.  RR )
263262adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  V  e.  RR )
264147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V )  e.  RR )
265 elicc2 11474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  RR  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
)  e.  RR )  ->  ( ( Z  /  n )  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <->  ( ( Z  /  n )  e.  RR  /\  V  <_ 
( Z  /  n
)  /\  ( Z  /  n )  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
266263, 264, 265syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( Z  /  n
)  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) )  <->  ( ( Z  /  n )  e.  RR  /\  V  <_ 
( Z  /  n
)  /\  ( Z  /  n )  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ) )
267247, 255, 261, 266mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( Z  /  n )  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) )
26888simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
269268adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A. u  e.  ( V [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
270 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  ( R `  u )  =  ( R `  ( Z  /  n
) ) )
271 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  u  =  ( Z  /  n ) )
272270, 271oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  (
( R `  u
)  /  u )  =  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )
273272fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  ( abs `  ( ( R `
 u )  /  u ) )  =  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  ( Z  /  n ) ) ) )
274273breq1d 4413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( Z  /  n )  ->  (
( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  ( Z  /  n ) ) )  <_  E )
)
275274rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  /  n )  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  V
) )  ->  ( A. u  e.  ( V [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  V ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  <_  E ) )
276267, 269, 275sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  / 
( Z  /  n
) ) )  <_  E )
277245, 276eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n )  <_  E )
278225, 221, 121lemuldivd 11186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  x.  n )  <_  E 
<->  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  <_  ( E  /  n ) ) )
279277, 278mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) )  <_ 
( E  /  n
) )
280225, 226, 227, 279lesub2dd 10070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  /  n
)  -  ( E  /  n ) )  <_  ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) ) )
281224, 280eqbrtrd 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  /  n )  <_  ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) ) )
282210, 211, 122, 217, 281lemul1ad 10386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( U  -  E )  /  n
)  x.  ( log `  n ) )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
283208, 282eqbrtrrd 4425 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  n )  /  n ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
28499, 124, 126, 199, 283letrd 9642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
285284adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  n  e.  I )  ->  (
( U  -  E
)  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) )  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  (
( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
28669nnred 10451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  RR )
28729, 152rpdivcld 11158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR+ )
288287rpred 11141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR )
289288adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR )
29023simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
29129, 290rpdivcld 11158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR+ )
292291rpred 11141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
293292adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  Y )  e.  RR )
294 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  O )
295294, 50syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  ( ( ( |_
`  ( Z  / 
( K ^ ( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  / 
( K ^ J
) ) ) ) )
296 elfzle2 11575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( Z  /  ( K ^
( J  +  1 ) ) ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )
297295, 296syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) )
29869nnzd 10860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  e.  ZZ )
299 flge 11775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  /  ( K ^ J ) )  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
n  <_  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) ) )
300289, 298, 299syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
n  <_  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <->  n  <_  ( |_ `  ( Z  /  ( K ^ J ) ) ) ) )
301297, 300mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  <_  ( Z  /  ( K ^ J ) ) )
302290rpred 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
30324simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
304303rpred 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
305152rpred 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K ^ J
)  e.  RR )
30624simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  X )
307302, 304, 306ltled 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <_  X )
308 elfzofz 11687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ( M..^ N
)  ->  J  e.  ( M ... N ) )
30956, 308syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
3101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 22984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( M ... N ) )  ->  ( X  <  ( K ^ J
)  /\  ( K ^ J )  <_  ( sqr `  Z ) ) )
311309, 310mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  <  ( K ^ J )  /\  ( K ^ J )  <_  ( sqr `  Z
) ) )
312311simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  <  ( K ^ J ) )
313304, 305, 312ltled 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  ( K ^ J ) )
314302, 304, 305, 307, 313letrd 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( K ^ J ) )
315290, 152, 29lediv2d 11165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  ( K ^ J )  <->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
316314, 315mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <_  ( Z  /  Y ) )
317316adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  ( Z  /  ( K ^ J ) )  <_ 
( Z  /  Y
) )
318286, 289, 293, 301, 317letrd 9642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  n  <_  ( Z  /  Y
) )
31969, 318jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  (
n  e.  NN  /\  n  <_  ( Z  /  Y ) ) )
3201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86pntlemn 22985 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( Z  /  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
321319, 320syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  0  <_  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
322321adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  O )  /\  -.  n  e.  I )  ->  0  <_  ( (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
323103, 104, 285, 322ifbothda 3935 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  O )  ->  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
32452, 102, 82, 323fsumle 13383 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  O  if ( n  e.  I ,  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V ) )  /  ( Z  /  V ) ) ) ,  0 )  <_  sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `
 ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
32598, 324eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  I
)  x.  ( ( U  -  E )  x.  ( ( log `  ( Z  /  V
) )  /  ( Z  /  V ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  O  ( (
( U  /  n
)  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n
) )  /  Z
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
32636, 49, 83, 89, 325letrd 9642 1  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  (
( ( L  x.  E )  /  8
)  x.  ( log `  Z ) ) )  <_  sum_ n  e.  O  ( ( ( U  /  n )  -  ( abs `  ( ( R `  ( Z  /  n ) )  /  Z ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401   +oocpnf 9529    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709    / cdiv 10107   NNcn 10436   2c2 10485   3c3 10486   4c4 10487   8c8 10491   NN0cn0 10693   ZZcz 10760  ;cdc 10869   ZZ>=cuz 10975   RR+crp 11105   (,)cioo 11414   [,)cico 11416   [,]cicc 11417   ...cfz 11557  ..^cfzo 11668   |_cfl 11760   ^cexp 11985   #chash 12223   sqrcsqr 12843   abscabs 12844   sum_csu 13284   expce 13468   _eceu 13469   logclog 22142  ψcchp 22566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-e 13475  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-dvds 13657  df-gcd 13812  df-prm 13885  df-pc 14025  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478  df-log 22144  df-vma 22571  df-chp 22572
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