Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pntlemg 24436
 Description: Lemma for pnt 24452. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, is j^* and is ĵ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
pntlem1.z
pntlem1.m
pntlem1.n
Assertion
Ref Expression
pntlemg
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlemg
StepHypRef Expression
1 pntlem1.m . . 3
2 pntlem1.x . . . . . . . . 9
32simpld 461 . . . . . . . 8
43rpred 11341 . . . . . . 7
5 1red 9658 . . . . . . . 8
6 pntlem1.y . . . . . . . . . 10
76simpld 461 . . . . . . . . 9
87rpred 11341 . . . . . . . 8
96simprd 465 . . . . . . . 8
102simprd 465 . . . . . . . 8
115, 8, 4, 9, 10lelttrd 9793 . . . . . . 7
124, 11rplogcld 23578 . . . . . 6
13 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 ψ
14 pntlem1.a . . . . . . . . . 10
15 pntlem1.b . . . . . . . . . 10
16 pntlem1.l . . . . . . . . . 10
17 pntlem1.d . . . . . . . . . 10
18 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 ;
19 pntlem1.u . . . . . . . . . 10
20 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10
21 pntlem1.e . . . . . . . . . 10
22 pntlem1.k . . . . . . . . . 10
2313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22pntlemc 24433 . . . . . . . . 9
2423simp2d 1021 . . . . . . . 8
2524rpred 11341 . . . . . . 7
2623simp3d 1022 . . . . . . . 8
2726simp2d 1021 . . . . . . 7
2825, 27rplogcld 23578 . . . . . 6
2912, 28rpdivcld 11358 . . . . 5
3029rprege0d 11348 . . . 4
31 flge0nn0 12054 . . . 4
32 nn0p1nn 10909 . . . 4
3330, 31, 323syl 18 . . 3
341, 33syl5eqel 2533 . 2
3534nnzd 11039 . . 3
36 pntlem1.n . . . 4
37 pntlem1.c . . . . . . . . . 10
38 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 ;
39 pntlem1.z . . . . . . . . . 10
4013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 6, 2, 37, 38, 39pntlemb 24435 . . . . . . . . 9 ;
4140simp1d 1020 . . . . . . . 8
4241relogcld 23572 . . . . . . 7
4342, 28rerpdivcld 11369 . . . . . 6
4443rehalfcld 10859 . . . . 5
4544flcld 12034 . . . 4
4636, 45syl5eqel 2533 . . 3
47 0red 9644 . . . . 5
48 4nn 10769 . . . . . 6
49 nndivre 10645 . . . . . 6
5043, 48, 49sylancl 668 . . . . 5
5146zred 11040 . . . . . 6
5234nnred 10624 . . . . . 6
5351, 52resubcld 10047 . . . . 5
5441rpred 11341 . . . . . . . . 9
5540simp2d 1021 . . . . . . . . . 10
5655simp1d 1020 . . . . . . . . 9
5754, 56rplogcld 23578 . . . . . . . 8
5857, 28rpdivcld 11358 . . . . . . 7
59 4re 10686 . . . . . . . 8
60 4pos 10705 . . . . . . . 8
6159, 60elrpii 11305 . . . . . . 7
62 rpdivcl 11325 . . . . . . 7
6358, 61, 62sylancl 668 . . . . . 6
6463rpge0d 11345 . . . . 5
6550recnd 9669 . . . . . . . . 9
6634nncnd 10625 . . . . . . . . 9
67 1cnd 9659 . . . . . . . . 9
6865, 66, 67addassd 9665 . . . . . . . 8
6952, 5readdcld 9670 . . . . . . . . . 10
7050, 69readdcld 9670 . . . . . . . . 9
71 peano2re 9806 . . . . . . . . . 10
7251, 71syl 17 . . . . . . . . 9
7329rpred 11341 . . . . . . . . . . . . 13
74 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . 14
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7673, 75readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12
77 reflcl 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7873, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079, 67, 67addassd 9665 . . . . . . . . . . . . . 14
811oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . 14
82 df-2 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . 14
8480, 81, 833eqtr4g 2510 . . . . . . . . . . . . 13
85 flle 12035 . . . . . . . . . . . . . . 15
8673, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
8778, 73, 75, 86leadd1dd 10227 . . . . . . . . . . . . 13
8884, 87eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . 12
8940simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . 13 ;
9089simp2d 1021 . . . . . . . . . . . 12
9169, 76, 50, 88, 90letrd 9792 . . . . . . . . . . 11
9269, 50, 50, 91leadd2dd 10228 . . . . . . . . . 10
9343recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14
94 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . 14
95 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9793, 94, 94, 96, 96divdiv1d 10414 . . . . . . . . . . . . 13
98 2t2e4 10759 . . . . . . . . . . . . . 14
9998oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . 13
10097, 99syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12
101100oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
10244recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12
103102, 94, 96divcan2d 10385 . . . . . . . . . . 11
104652timesd 10855 . . . . . . . . . . 11
105101, 103, 1043eqtr3d 2493 . . . . . . . . . 10
10692, 105breqtrrd 4429 . . . . . . . . 9
107 fllep1 12037 . . . . . . . . . . 11
10844, 107syl 17 . . . . . . . . . 10
10936oveq1i 6300 . . . . . . . . . 10
110108, 109syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9
11170, 44, 72, 106, 110letrd 9792 . . . . . . . 8
11268, 111eqbrtrd 4423 . . . . . . 7
11350, 52readdcld 9670 . . . . . . . 8
114113, 51, 5leadd1d 10207 . . . . . . 7
115112, 114mpbird 236 . . . . . 6
116 leaddsub 10090 . . . . . . 7
11750, 52, 51, 116syl3anc 1268 . . . . . 6
118115, 117mpbid 214 . . . . 5
11947, 50, 53, 64, 118letrd 9792 . . . 4
12051, 52subge0d 10203 . . . 4
121119, 120mpbid 214 . . 3
122 eluz2 11165 . . 3
12335, 46, 121, 122syl3anbrc 1192 . 2
12434, 123, 1183jca 1188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   class class class wbr 4402   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cpnf 9672   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  c3 10660  c4 10661  cn0 10869  cz 10937  ;cdc 11051  cuz 11159  crp 11302  cioo 11635  cico 11637  cfl 12026  cexp 12272  csqrt 13296  ce 14114  ceu 14115  clog 23504  ψcchp 24019 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-e 14122  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506 This theorem is referenced by:  pntlemh  24437  pntlemq  24439  pntlemr  24440  pntlemj  24441  pntlemf  24443
 Copyright terms: Public domain W3C validator