Theorem pntlemf 24522

Description: Lemma for pnt 24531. Add up the pieces in pntlemi 24521 to get an estimate slightly better than the naive lower bound 0. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K	|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )

Assertion

Ref	Expression
pntlemf	|- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   y, n, z, u, L   n, K, y, z   n, M, z   ph, n   n, N, z   R, n, u, y, z   U, n, z   n, W, z   n, X, y, z   n, Y, z   n, a, u, y, z, E   n, Z, u, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, a)   A( y, z, u, n, a)   B( y, z, u, n, a)   C( y, u, n, a)   D( y, z, u, n, a)   R( a)   U( y, u, a)   F( y, z, u, n, a)   K( u, a)   L( a)   M( y, u, a)   N( y, u, a)   W( y, u, a)   X( u, a)   Y( y, u, a)   Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemf

Dummy variables j m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . 7 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2		pntlem1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR+ )
3		pntlem1.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR+ )
4		pntlem1.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
5		pntlem1.d	. . . . . . 7 |- D = ( A + 1 )
6		pntlem1.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
7		pntlem1.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. RR+ )
8		pntlem1.u2	. . . . . . 7 |- ( ph -> U <_ A )
9		pntlem1.e	. . . . . . 7 |- E = ( U / D )
10		pntlem1.k	. . . . . . 7 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 24512	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
12	11	simp3d 1044	. . . . 5 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
13	12	simp3d 1044	. . . 4 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 24511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
15	14	simp1d 1042	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR+ )
16	11	simp1d 1042	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
17		2z 10993	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
18		rpexpcl 12329	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
19	16, 17, 18	sylancl 675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
20	15, 19	rpmulcld 11380	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
21		3nn0 10911	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
22		2nn 10790	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
23	21, 22	decnncl 11087	. . . . . . . 8 |- ; 3 2 e. NN
24		nnrp 11334	. . . . . . . 8 |- (; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ; 3 2 e. RR+
26		rpmulcl 11347	. . . . . . 7 |- ( (; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
27	25, 3, 26	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
28	20, 27	rpdivcld 11381	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
29		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
30		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
31		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR+ )
32		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
33		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33	pntlemb 24514	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
35	34	simp1d 1042	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. RR+ )
36	35	rpred 11364	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. RR )
37	34	simp2d 1043	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
38	37	simp1d 1042	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < Z )
39	36, 38	rplogcld 23657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR+ )
40		rpexpcl 12329	. . . . . 6 |- ( ( ( log ` Z ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. RR+ )
41	39, 17, 40	sylancl 675	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. RR+ )
42	28, 41	rpmulcld 11380	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) e. RR+ )
43	13, 42	rpmulcld 11380	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
44	43	rpred 11364	. 2 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
45	15, 16	rpmulcld 11380	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR+ )
46		8re 10716	. . . . . . . 8 |- 8 e. RR
47		8pos 10732	. . . . . . . 8 |- 0 < 8
48	46, 47	elrpii 11328	. . . . . . 7 |- 8 e. RR+
49		rpdivcl 11348	. . . . . . 7 |- ( ( ( L x. E ) e. RR+ /\ 8 e. RR+ ) -> ( ( L x. E ) / 8 ) e. RR+ )
50	45, 48, 49	sylancl 675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 8 ) e. RR+ )
51	50, 39	rpmulcld 11380	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) e. RR+ )
52	13, 51	rpmulcld 11380	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR+ )
53	52	rpred 11364	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
54		pntlem1.m	. . . . . . . 8 |- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
55		pntlem1.n	. . . . . . . 8 |- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
56	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55	pntlemg 24515	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) <_ ( N - M ) ) )
57	56	simp1d 1042	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
58	56	simp2d 1043	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
59		eluznn 11252	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. NN )
60	57, 58, 59	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
61	60	nnred 10646	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR )
62	57	nnred 10646	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
63	61, 62	resubcld 10068	. . 3 |- ( ph -> ( N - M ) e. RR )
64	53, 63	remulcld 9689	. 2 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( N - M ) ) e. RR )
65		fzfid 12224	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
66	7	rpred 11364	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
67		elfznn 11854	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n e. NN )
68		nndivre 10667	. . . . . 6 |- ( ( U e. RR /\ n e. NN ) -> ( U / n ) e. RR )
69	66, 67, 68	syl2an 485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. RR )
70	35	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. RR+ )
71	67	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. NN )
72	71	nnrpd 11362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
73	70, 72	rpdivcld 11381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z / n ) e. RR+ )
74	1	pntrf 24480	. . . . . . . . . 10 |- R : RR+ --> RR
75	74	ffvelrni 6036	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z / n ) e. RR+ -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
77	76, 70	rerpdivcld 11392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. RR )
78	77	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. CC )
79	78	abscld 13575	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. RR )
80	69, 79	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) e. RR )
81	72	relogcld 23651	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
82	80, 81	remulcld 9689	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
83	65, 82	fsumrecl 13877	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
84	45	rpcnd 11366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L x. E ) e. CC )
85	11	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR+ )
86	85	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. RR )
87	12	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 < K )
88	86, 87	rplogcld 23657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` K ) e. RR+ )
89	39, 88	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR+ )
90	89	rpcnd 11366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. CC )
91		rpcnne0 11342	. . . . . . . . . 10 |- ( 8 e. RR+ -> ( 8 e. CC /\ 8 =/= 0 ) )
92	48, 91	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 8 e. CC /\ 8 =/= 0 ) )
93		4re 10708	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
94		4pos 10727	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
95	93, 94	elrpii 11328	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
96		rpcnne0 11342	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. RR+ -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
97	95, 96	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
98		divmuldiv 10329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L x. E ) e. CC /\ ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. CC ) /\ ( ( 8 e. CC /\ 8 =/= 0 ) /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) = ( ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) ) / ( 8 x. 4 ) ) )
99	84, 90, 92, 97, 98	syl22anc 1293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) = ( ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) ) / ( 8 x. 4 ) ) )
100	10	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` K ) = ( log ` ( exp ` ( B / E ) ) )
101	3, 16	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B / E ) e. RR+ )
102	101	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B / E ) e. RR )
103	102	relogefd 23656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( log ` ( exp ` ( B / E ) ) ) = ( B / E ) )
104	100, 103	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( log ` K ) = ( B / E ) )
105	104	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) = ( ( log ` Z ) / ( B / E ) ) )
106	39	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
107	3	rpcnne0d 11373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
108	16	rpcnne0d 11373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E e. CC /\ E =/= 0 ) )
109		divdiv2 10341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` Z ) e. CC /\ ( B e. CC /\ B =/= 0 ) /\ ( E e. CC /\ E =/= 0 ) ) -> ( ( log ` Z ) / ( B / E ) ) = ( ( ( log ` Z ) x. E ) / B ) )
110	106, 107, 108, 109	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( B / E ) ) = ( ( ( log ` Z ) x. E ) / B ) )
111	105, 110	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` Z ) x. E ) / B ) )
112	111	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) ) = ( ( L x. E ) x. ( ( ( log ` Z ) x. E ) / B ) ) )
113	16	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. CC )
114	106, 113	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) x. E ) e. CC )
115		divass 10310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L x. E ) e. CC /\ ( ( log ` Z ) x. E ) e. CC /\ ( B e. CC /\ B =/= 0 ) ) -> ( ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) x. E ) ) / B ) = ( ( L x. E ) x. ( ( ( log ` Z ) x. E ) / B ) ) )
116	84, 114, 107, 115	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) x. E ) ) / B ) = ( ( L x. E ) x. ( ( ( log ` Z ) x. E ) / B ) ) )
117	15	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. CC )
118	117, 113, 106, 113	mul4d 9863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) x. E ) ) = ( ( L x. ( log ` Z ) ) x. ( E x. E ) ) )
119	113	sqvald 12451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) = ( E x. E ) )
120	119	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( L x. ( log ` Z ) ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( L x. ( log ` Z ) ) x. ( E x. E ) ) )
121	113	sqcld 12452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
122	117, 106, 121	mul32d 9861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( L x. ( log ` Z ) ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) )
123	118, 120, 122	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) x. E ) ) = ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) )
124	123	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) x. E ) ) / B ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / B ) )
125	112, 116, 124	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / B ) )
126		8t4e32 11164	. . . . . . . . . 10 |- ( 8 x. 4 ) = ; 3 2
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 8 x. 4 ) = ; 3 2 )
128	125, 127	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) x. ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) ) / ( 8 x. 4 ) ) = ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / B ) / ; 3 2 ) )
129	20	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC )
130	129, 106	mulcld 9681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
131		rpcnne0 11342	. . . . . . . . . . 11 |- (; 3 2 e. RR+ -> (; 3 2 e. CC /\ ; 3 2 =/= 0 ) )
132	25, 131	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 e. CC /\ ; 3 2 =/= 0 ) )
133		divdiv1 10340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC /\ ( B e. CC /\ B =/= 0 ) /\ (; 3 2 e. CC /\ ; 3 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / B ) / ; 3 2 ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / ( B x. ; 3 2 ) ) )
134	130, 107, 132, 133	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / B ) / ; 3 2 ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / ( B x. ; 3 2 ) ) )
135	23	nncni 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ; 3 2 e. CC
136	3	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
137		mulcom 9643	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 3 2 e. CC /\ B e. CC ) -> (; 3 2 x. B ) = ( B x. ; 3 2 ) )
138	135, 136, 137	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) = ( B x. ; 3 2 ) )
139	138	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / ( B x. ; 3 2 ) ) )
140	27	rpcnne0d 11373	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
141		div23 10311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC /\ ( log ` Z ) e. CC /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
142	129, 106, 140, 141	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
143	134, 139, 142	3eqtr2d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) x. ( log ` Z ) ) / B ) / ; 3 2 ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
144	99, 128, 143	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
145	144	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
146	50	rpcnd 11366	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 8 ) e. CC )
147	89	rpred 11364	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR )
148		4nn 10792	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN
149		nndivre 10667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
150	147, 148, 149	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
151	150	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. CC )
152	146, 106, 151	mul32d 9861	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) x. ( log ` Z ) ) )
153	106	sqvald 12451	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) = ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) )
154	153	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
155	28	rpcnd 11366	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. CC )
156	155, 106, 106	mulassd 9684	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
157	154, 156	eqtr4d 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
158	145, 152, 157	3eqtr4d 2515	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) = ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) )
159	56	simp3d 1044	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) <_ ( N - M ) )
160	150, 63, 51	lemul2d 11405	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) <_ ( N - M ) <-> ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) <_ ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) ) )
161	159, 160	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) ) <_ ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) )
162	158, 161	eqbrtrrd 4418	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) )
163	42	rpred 11364	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) e. RR )
164	51	rpred 11364	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
165	164, 63	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) e. RR )
166	163, 165, 13	lemul2d 11405	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) <-> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ ( ( U - E ) x. ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) ) ) )
167	162, 166	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ ( ( U - E ) x. ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) ) )
168	13	rpcnd 11366	. . . 4 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
169	51	rpcnd 11366	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
170	63	recnd 9687	. . . 4 |- ( ph -> ( N - M ) e. CC )
171	168, 169, 170	mulassd 9684	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( N - M ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) x. ( N - M ) ) ) )
172	167, 171	breqtrrd 4422	. 2 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( N - M ) ) )
173		fzfid 12224	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
174	60	nnzd 11062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
175	85, 174	rpexpcld 12477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. RR+ )
176	35, 175	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z / ( K ^ N ) ) e. RR+ )
177	176	rprege0d 11371	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Z / ( K ^ N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ N ) ) ) )
178		flge0nn0 12087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Z / ( K ^ N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ N ) ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) e. NN0 )
179		nn0p1nn 10933	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) e. NN )
180	177, 178, 179	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) e. NN )
181		nnuz 11218	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
182	180, 181	syl6eleq 2559	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
183		fzss1 11863	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
184	182, 183	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
185	184	sselda 3418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
186	185, 82	syldan 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
187	173, 186	fsumrecl 13877	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
188		eluzfz2 11833	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
189	58, 188	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
190		oveq1 6315	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( m - M ) = ( M - M ) )
191	190	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( M - M ) ) )
192		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( K ^ m ) = ( K ^ M ) )
193	192	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( Z / ( K ^ m ) ) = ( Z / ( K ^ M ) ) )
194	193	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) )
195	194	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) )
196	195	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
197	196	sumeq1d 13844	. . . . . . 7 |- ( m = M -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
198	191, 197	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( M - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
199	198	imbi2d 323	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( M - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
200		oveq1 6315	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> ( m - M ) = ( j - M ) )
201	200	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) )
202		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = j -> ( K ^ m ) = ( K ^ j ) )
203	202	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = j -> ( Z / ( K ^ m ) ) = ( Z / ( K ^ j ) ) )
204	203	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( m = j -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) )
205	204	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( m = j -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) )
206	205	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
207	206	sumeq1d 13844	. . . . . . 7 |- ( m = j -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
208	201, 207	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( m = j -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
209	208	imbi2d 323	. . . . 5 |- ( m = j -> ( ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
210		oveq1 6315	. . . . . . . 8 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( m - M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
211	210	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( ( j + 1 ) - M ) ) )
212		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( K ^ m ) = ( K ^ ( j + 1 ) ) )
213	212	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( Z / ( K ^ m ) ) = ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) )
214	213	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
215	214	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
216	215	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
217	216	sumeq1d 13844	. . . . . . 7 |- ( m = ( j + 1 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
218	211, 217	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( ( j + 1 ) - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
219	218	imbi2d 323	. . . . 5 |- ( m = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( ( j + 1 ) - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
220		oveq1 6315	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( m - M ) = ( N - M ) )
221	220	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( N - M ) ) )
222		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = N -> ( K ^ m ) = ( K ^ N ) )
223	222	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = N -> ( Z / ( K ^ m ) ) = ( Z / ( K ^ N ) ) )
224	223	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) )
225	224	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) )
226	225	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
227	226	sumeq1d 13844	. . . . . . 7 |- ( m = N -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
228	221, 227	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( N - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
229	228	imbi2d 323	. . . . 5 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( m - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ m ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( N - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ N ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
230	57	nncnd 10647	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
231	230	subidd 9993	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
232	231	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( M - M ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. 0 ) )
233	52	rpcnd 11366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. CC )
234	233	mul01d 9850	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. 0 ) = 0 )
235	232, 234	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( M - M ) ) = 0 )
236		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
237	57	nnzd 11062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
238	85, 237	rpexpcld 12477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K ^ M ) e. RR+ )
239	35, 238	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Z / ( K ^ M ) ) e. RR+ )
240	239	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Z / ( K ^ M ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ M ) ) ) )
241		flge0nn0 12087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z / ( K ^ M ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ M ) ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) e. NN0 )
242		nn0p1nn 10933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) e. NN )
243	240, 241, 242	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) e. NN )
244	243, 181	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
245		fzss1 11863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
246	244, 245	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
247	246	sselda 3418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
248	247, 82	syldan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
249		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
250	249	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
251	29	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR+ )
252	35, 251	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR+ )
253	252	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR )
254		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n e. ZZ )
255		flge 12074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z / Y ) e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ ( Z / Y ) <-> n <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
256	253, 254, 255	syl2an 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( n <_ ( Z / Y ) <-> n <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
257	250, 256	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n <_ ( Z / Y ) )
258	71, 257	jca 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( n e. NN /\ n <_ ( Z / Y ) ) )
259		pntlem1.U	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
260	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55, 259	pntlemn 24517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n <_ ( Z / Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
261	258, 260	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
262	247, 261	syldan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
263	236, 248, 262	fsumge0 13932	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
264	235, 263	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( M - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
265	264	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( M - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ M ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
266		pntlem1.K	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
267		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) )
268	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55, 259, 266, 267	pntlemi 24521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
269	52	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR+ )
270	269	rpred 11364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
271		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ZZ )
272	271	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ZZ )
273	272	zred 11063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. RR )
274	57	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> M e. NN )
275	274	nnred 10646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
276	273, 275	resubcld 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j - M ) e. RR )
277	270, 276	remulcld 9689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) e. RR )
278		fzfid 12224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) e. Fin )
279		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) C_ ( ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
280	36	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> Z e. RR )
281	85	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> K e. RR+ )
282	272	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
283	281, 282	rpexpcld 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( K ^ ( j + 1 ) ) e. RR+ )
284	280, 283	rerpdivcld 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR )
285	281, 272	rpexpcld 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( K ^ j ) e. RR+ )
286	280, 285	rerpdivcld 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Z / ( K ^ j ) ) e. RR )
287	86	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> K e. RR )
288		1re 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. RR
289		ltle 9740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 1 e. RR /\ K e. RR ) -> ( 1 < K -> 1 <_ K ) )
290	288, 86, 289	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 1 < K -> 1 <_ K ) )
291	87, 290	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 1 <_ K )
292	291	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> 1 <_ K )
293		uzid 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
294		peano2uz 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
295	272, 293, 294	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
296	287, 292, 295	leexp2ad 12486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( K ^ j ) <_ ( K ^ ( j + 1 ) ) )
297	35	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> Z e. RR+ )
298	285, 283, 297	lediv2d 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( K ^ j ) <_ ( K ^ ( j + 1 ) ) <-> ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) <_ ( Z / ( K ^ j ) ) ) )
299	296, 298	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) <_ ( Z / ( K ^ j ) ) )
300		flword2 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR /\ ( Z / ( K ^ j ) ) e. RR /\ ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) <_ ( Z / ( K ^ j ) ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) ) )
301	284, 286, 299, 300	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) ) )
302		eluzp1p1 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
303	301, 302	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
304	286	flcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) e. ZZ )
305	252	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Z / Y ) e. RR+ )
306	305	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Z / Y ) e. RR )
307	306	flcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. ZZ )
308	251	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR+ )
309	308	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
310	285	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( K ^ j ) e. RR )
311	30	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> X e. RR+ )
312	311	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> X e. RR )
313	312	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
314	30	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Y < X )
315	314	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> Y < X )
316		elfzofz 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
317	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 54, 55	pntlemh 24516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( X < ( K ^ j ) /\ ( K ^ j ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
318	316, 317	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( X < ( K ^ j ) /\ ( K ^ j ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
319	318	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> X < ( K ^ j ) )
320	309, 313, 310, 315, 319	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> Y < ( K ^ j ) )
321	309, 310, 320	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> Y <_ ( K ^ j ) )
322	308, 285, 297	lediv2d 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Y <_ ( K ^ j ) <-> ( Z / ( K ^ j ) ) <_ ( Z / Y ) ) )
323	321, 322	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Z / ( K ^ j ) ) <_ ( Z / Y ) )
324		flwordi 12080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Z / ( K ^ j ) ) e. RR /\ ( Z / Y ) e. RR /\ ( Z / ( K ^ j ) ) <_ ( Z / Y ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
325	286, 306, 323, 324	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
326		eluz2 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
327	304, 307, 325, 326	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) )
328		fzsplit2 11850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) = ( ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) )
329	303, 327, 328	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) = ( ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) )
330	279, 329	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) C_ ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
331	297, 283	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
332	331	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
333		flge0nn0 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. NN0 )
334		nn0p1nn 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) e. NN )
335	332, 333, 334	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) e. NN )
336	335, 181	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
337		fzss1 11863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
338	336, 337	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
339	330, 338	sstrd 3428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
340	339	sselda 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
341	82	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
342	340, 341	syldan 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
343	278, 342	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
344		fzfid 12224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
345		ssun2 3589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
346	345, 329	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
347	346, 338	sstrd 3428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
348	347	sselda 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
349	348, 341	syldan 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
350	344, 349	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
351		le2add 10117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR /\ ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) e. RR ) /\ ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR /\ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) /\ ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
352	270, 277, 343, 350, 351	syl22anc 1293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) /\ ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( j + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
353	268, 352	mpand 689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ j ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( j - M ) ) ) <_ (