Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pntlemb 24435
 Description: Lemma for pnt 24452. Unpack all the lower bounds contained in , in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
pntlem1.z
Assertion
Ref Expression
pntlemb ;
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5
2 pntlem1.r . . . . . . . 8 ψ
3 pntlem1.a . . . . . . . 8
4 pntlem1.b . . . . . . . 8
5 pntlem1.l . . . . . . . 8
6 pntlem1.d . . . . . . . 8
7 pntlem1.f . . . . . . . 8 ;
8 pntlem1.u . . . . . . . 8
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8
10 pntlem1.e . . . . . . . 8
11 pntlem1.k . . . . . . . 8
12 pntlem1.y . . . . . . . 8
13 pntlem1.x . . . . . . . 8
14 pntlem1.c . . . . . . . 8
15 pntlem1.w . . . . . . . 8 ;
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 24434 . . . . . . 7
1716rpred 11341 . . . . . 6
18 pnfxr 11412 . . . . . 6
19 elico2 11698 . . . . . 6
2017, 18, 19sylancl 668 . . . . 5
211, 20mpbid 214 . . . 4
2221simp1d 1020 . . 3
2321simp2d 1021 . . 3
2422, 16, 23rpgecld 11377 . 2
25 1re 9642 . . . . . . 7
2625a1i 11 . . . . . 6
27 ere 14143 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
2924rpsqrtcld 13473 . . . . . . 7
3029rpred 11341 . . . . . 6
31 1lt2 10776 . . . . . . . 8
32 egt2lt3 14258 . . . . . . . . 9
3332simpli 460 . . . . . . . 8
34 2re 10679 . . . . . . . . 9
3525, 34, 27lttri 9760 . . . . . . . 8
3631, 33, 35mp2an 678 . . . . . . 7
3736a1i 11 . . . . . 6
38 4re 10686 . . . . . . . 8
3938a1i 11 . . . . . . 7
4032simpri 464 . . . . . . . . 9
41 3lt4 10779 . . . . . . . . 9
42 3re 10683 . . . . . . . . . 10
4327, 42, 38lttri 9760 . . . . . . . . 9
4440, 41, 43mp2an 678 . . . . . . . 8
4544a1i 11 . . . . . . 7
46 4nn 10769 . . . . . . . . . . 11
47 nnrp 11311 . . . . . . . . . . 11
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 24432 . . . . . . . . . . . 12
5049simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 24433 . . . . . . . . . . . 12
5251simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11
5350, 52rpmulcld 11357 . . . . . . . . . 10
54 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . 10
5548, 53, 54sylancr 669 . . . . . . . . 9
5655rpred 11341 . . . . . . . 8
5753rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12
5852rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12
5950rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . 14
60 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261simprd 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 11393 . . . . . . . . . . . . 13
6452rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . 14
6564mulid2d 9661 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 65breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . 12
6751simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . 14
69 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
7170simprd 465 . . . . . . . . . . . 12
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 9796 . . . . . . . . . . 11
73 4pos 10705 . . . . . . . . . . . . 13
7439, 73jctir 541 . . . . . . . . . . . 12
75 ltmul2 10456 . . . . . . . . . . . 12
7657, 26, 74, 75syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
7772, 76mpbid 214 . . . . . . . . . 10
78 4cn 10687 . . . . . . . . . . 11
7978mulid1i 9645 . . . . . . . . . 10
8077, 79syl6breq 4442 . . . . . . . . 9
8139, 39, 53ltmuldivd 11385 . . . . . . . . 9
8280, 81mpbid 214 . . . . . . . 8
8312simpld 461 . . . . . . . . . . 11
8483, 55rpaddcld 11356 . . . . . . . . . 10
8584rpred 11341 . . . . . . . . 9
8656, 83ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . 9
8785resqcld 12442 . . . . . . . . . . . 12
8813simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8951simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90 2z 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9289, 90, 91sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9388, 92rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 4z 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 94, 95sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 3nn0 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9997, 98decnncl 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ;
100 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ; ;
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ;
102 rpmulcl 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ; ;
103101, 4, 102sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ;
10467simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10652, 90, 105sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10750, 106rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108104, 107rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109103, 108rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ;
110 3nn 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113 rpmulcl 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1148, 112, 113sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115114, 14rpaddcld 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116109, 115rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
117116rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
118117rpefcld 14159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ;
11996, 118rpaddcld 11356 . . . . . . . . . . . . . 14 ;
12087, 119ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . . . . 13 ;
121120, 15syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . 12
12287, 17, 22, 121, 23ltletrd 9795 . . . . . . . . . . 11
12324rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . 12
124 resqrtth 13319 . . . . . . . . . . . 12
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11
126122, 125breqtrrd 4429 . . . . . . . . . 10
12784rprege0d 11348 . . . . . . . . . . 11
12829rprege0d 11348 . . . . . . . . . . 11
129 lt2sq 12348 . . . . . . . . . . 11
130127, 128, 129syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
131126, 130mpbird 236 . . . . . . . . 9
13256, 85, 30, 86, 131lttrd 9796 . . . . . . . 8
13339, 56, 30, 82, 132lttrd 9796 . . . . . . 7
13428, 39, 30, 45, 133lttrd 9796 . . . . . 6
13526, 28, 30, 37, 134lttrd 9796 . . . . 5
136 0le1 10137 . . . . . . 7
137136a1i 11 . . . . . 6
138 lt2sq 12348 . . . . . 6
13926, 137, 128, 138syl21anc 1267 . . . . 5
140135, 139mpbid 214 . . . 4
141 sq1 12369 . . . . 5
142141a1i 11 . . . 4
143140, 142, 1253brtr3d 4432 . . 3
14428, 30, 134ltled 9783 . . 3
14522, 83rerpdivcld 11369 . . . 4
14683rpred 11341 . . . . . . 7
147146, 55ltaddrpd 11371 . . . . . . . 8
148146, 85, 30, 147, 131lttrd 9796 . . . . . . 7
149146, 30, 29, 148ltmul2dd 11394 . . . . . 6
150 remsqsqrt 13320 . . . . . . 7
151123, 150syl 17 . . . . . 6
152149, 151breqtrd 4427 . . . . 5
15330, 22, 83ltmuldivd 11385 . . . . 5
154152, 153mpbid 214 . . . 4
15530, 145, 154ltled 9783 . . 3
156143, 144, 1553jca 1188 . 2
15756, 30, 132ltled 9783 . . 3
15888relogcld 23572 . . . . . 6
15989rpred 11341 . . . . . . 7
16067simp2d 1021 . . . . . . 7
161159, 160rplogcld 23578 . . . . . 6
162158, 161rerpdivcld 11369 . . . . 5
163 readdcl 9622 . . . . 5
164162, 34, 163sylancl 668 . . . 4
16524relogcld 23572 . . . . . 6
166165, 161rerpdivcld 11369 . . . . 5
167 nndivre 10645 . . . . 5
168166, 46, 167sylancl 668 . . . 4
16993relogcld 23572 . . . . . 6
170 nndivre 10645 . . . . . . 7
171165, 46, 170sylancl 668 . . . . . 6
172 relogexp 23545 . . . . . . . . 9
17393, 94, 172sylancl 668 . . . . . . . 8
17496rpred 11341 . . . . . . . . . 10
175119rpred 11341 . . . . . . . . . 10 ;
176174, 118ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . 10 ;
177 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . 14
17884, 90, 177sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13
179175, 178ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . . . 12 ; ;
18087recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14
181119rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 ;
182180, 181addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . 13 ; ;
18315, 182syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . 12 ;
184179, 183breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . 11 ;
185175, 17, 22, 184, 23ltletrd 9795 . . . . . . . . . 10 ;
186174, 175, 22, 176, 185lttrd 9796 . . . . . . . . 9
187 logltb 23549 . . . . . . . . . 10
18896, 24, 187syl2anc 667 . . . . . . . . 9
189186, 188mpbid 214 . . . . . . . 8
190173, 189eqbrtrrd 4425 . . . . . . 7
191 ltmuldiv2 10479 . . . . . . . 8
192169, 165, 74, 191syl3anc 1268 . . . . . . 7
193190, 192mpbid 214 . . . . . 6
194169, 171, 161, 193ltdiv1dd 11395 . . . . 5
19588, 92relogmuld 23574 . . . . . . . 8
196 relogexp 23545 . . . . . . . . . 10
19789, 90, 196sylancl 668 . . . . . . . . 9
198197oveq2d 6306 . . . . . . . 8
199195, 198eqtrd 2485 . . . . . . 7
200199oveq1d 6305 . . . . . 6
201158recnd 9669 . . . . . . 7
202 2cnd 10682 . . . . . . . 8
203161rpcnd 11343 . . . . . . . 8
204202, 203mulcld 9663 . . . . . . 7
205161rpcnne0d 11350 . . . . . . 7
206 divdir 10293 . . . . . . 7
207201, 204, 205, 206syl3anc 1268 . . . . . 6
208205simprd 465 . . . . . . . 8
209202, 203, 208divcan4d 10389 . . . . . . 7
210209oveq2d 6306 . . . . . 6
211200, 207, 2103eqtrd 2489 . . . . 5
212165recnd 9669 . . . . . 6
213 rpcnne0 11319 . . . . . . 7
21448, 213mp1i 13 . . . . . 6
215 divdiv32 10315 . . . . . 6
216212, 214, 205, 215syl3anc 1268 . . . . 5
217194, 211, 2163brtr3d 4432 . . . 4
218164, 168, 217ltled 9783 . . 3
219115rpred 11341 . . . . 5
220108, 103rpdivcld 11358 . . . . . . 7 ;
221220rpred 11341 . . . . . 6 ;
222221, 165remulcld 9671 . . . . 5 ;
223115rpcnd 11343 . . . . . . . . 9
224108rpcnne0d 11350 . . . . . . . . 9
225103rpcnne0d 11350 . . . . . . . . 9 ; ;
226 divdiv2 10319 . . . . . . . . 9 ; ; ; ;
227223, 224, 225, 226syl3anc 1268 . . . . . . . 8 ; ;
228103rpcnd 11343 . . . . . . . . . 10 ;
229223, 228mulcomd 9664 . . . . . . . . 9 ; ;
230229oveq1d 6305 . . . . . . . 8 ; ;
231 div23 10289 . . . . . . . . 9 ; ; ;
232228, 223, 224, 231syl3anc 1268 . . . . . . . 8 ; ;
233227, 230, 2323eqtrd 2489 . . . . . . 7 ; ;
234117reefcld 14142 . . . . . . . . . 10 ;
235234, 96ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . . 10 ; ;
236234, 175, 22, 235, 185lttrd 9796 . . . . . . . . 9 ;
23724reeflogd 23573 . . . . . . . . 9
238236, 237breqtrrd 4429 . . . . . . . 8 ;
239 eflt 14171 . . . . . . . . 9 ; ; ;
240117, 165, 239syl2anc 667 . . . . . . . 8 ; ;
241238, 240mpbird 236 . . . . . . 7 ;
242233, 241eqbrtrd 4423 . . . . . 6 ;
243219, 165, 220ltdivmuld 11389 . . . . . 6 ; ;
244242, 243mpbid 214 . . . . 5 ;
245219, 222, 244ltled 9783 . . . 4 ;
246104rpcnd 11343 . . . . . 6
247107rpcnd 11343 . . . . . 6
248 divass 10288 . . . . . 6 ; ; ; ;
249246, 247, 225, 248syl3anc 1268 . . . . 5 ; ;
250249oveq1d 6305 . . . 4 ; ;
251245, 250breqtrd 4427 . . 3 ;
252157, 218, 2513jca 1188 . 2 ;
25324, 156, 2523jca 1188 1 ;
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   class class class wbr 4402   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  c3 10660  c4 10661  cz 10937  ;cdc 11051  crp 11302  cioo 11635  cico 11637  cexp 12272  csqrt 13296  ce 14114  ceu 14115  clog 23504  ψcchp 24019 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-e 14122  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506 This theorem is referenced by:  pntlemg  24436  pntlemh  24437  pntlemn  24438  pntlemq  24439  pntlemr  24440  pntlemj  24441  pntlemf  24443  pntlemk  24444  pntlemo  24445
 Copyright terms: Public domain W3C validator