Theorem pntlemb 24514

Description: Lemma for pnt 24531. Unpack all the lower bounds contained in W, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, Z is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
pntlemb	|- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )

Distinct variable group:   E, a

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( a)   B( a)   C( a)   D( a)   R( a)   U( a)   F( a)   K( a)   L( a)   W( a)   X( a)   Y( a)   Z( a)

Proof of Theorem pntlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
2		pntlem1.r	. . . . . . . 8 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
3		pntlem1.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
4		pntlem1.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR+ )
5		pntlem1.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
6		pntlem1.d	. . . . . . . 8 |- D = ( A + 1 )
7		pntlem1.f	. . . . . . . 8 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
8		pntlem1.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. RR+ )
9		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U <_ A )
10		pntlem1.e	. . . . . . . 8 |- E = ( U / D )
11		pntlem1.k	. . . . . . . 8 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
12		pntlem1.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
13		pntlem1.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
14		pntlem1.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR+ )
15		pntlem1.w	. . . . . . . 8 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	pntlema 24513	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR+ )
17	16	rpred 11364	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. RR )
18		pnfxr 11435	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
19		elico2 11723	. . . . . 6 |- ( ( W e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( Z e. ( W [,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 675	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. ( W [,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) ) )
21	1, 20	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) )
22	21	simp1d 1042	. . 3 |- ( ph -> Z e. RR )
23	21	simp2d 1043	. . 3 |- ( ph -> W <_ Z )
24	22, 16, 23	rpgecld 11400	. 2 |- ( ph -> Z e. RR+ )
25		1re 9660	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
26	25	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		ere 14220	. . . . . . 7 |- _e e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> _e e. RR )
29	24	rpsqrtcld 13550	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR+ )
30	29	rpred 11364	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR )
31		1lt2 10799	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
32		egt2lt3 14335	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
33	32	simpli 465	. . . . . . . 8 |- 2 < _e
34		2re 10701	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
35	25, 34, 27	lttri 9778	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < 2 /\ 2 < _e ) -> 1 < _e )
36	31, 33, 35	mp2an 686	. . . . . . 7 |- 1 < _e
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < _e )
38		4re 10708	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR )
40	32	simpri 469	. . . . . . . . 9 |- _e < 3
41		3lt4 10802	. . . . . . . . 9 |- 3 < 4
42		3re 10705	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
43	27, 42, 38	lttri 9778	. . . . . . . . 9 |- ( ( _e < 3 /\ 3 < 4 ) -> _e < 4 )
44	40, 41, 43	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- _e < 4
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e < 4 )
46		4nn 10792	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
47		nnrp 11334	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
49	2, 3, 4, 5, 6, 7	pntlemd 24511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
50	49	simp1d 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. RR+ )
51	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	pntlemc 24512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
52	51	simp1d 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR+ )
53	50, 52	rpmulcld 11380	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR+ )
54		rpdivcl 11348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR+ /\ ( L x. E ) e. RR+ ) -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
55	48, 53, 54	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 11364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR )
57	53	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR )
58	52	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR )
59	50	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L e. RR )
60		eliooord 11719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
61	5, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
62	61	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L < 1 )
63	59, 26, 52, 62	ltmul1dd 11416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( L x. E ) < ( 1 x. E ) )
64	52	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. CC )
65	64	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
66	63, 65	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L x. E ) < E )
67	51	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
68	67	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
69		eliooord 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
71	70	simprd 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E < 1 )
72	57, 58, 26, 66, 71	lttrd 9813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L x. E ) < 1 )
73		4pos 10727	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 4
74	39, 73	jctir 547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) )
75		ltmul2 10478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L x. E ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( L x. E ) < 1 <-> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) ) )
76	57, 26, 74, 75	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( L x. E ) < 1 <-> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) ) )
77	72, 76	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) )
78		4cn 10709	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. CC
79	78	mulid1i 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 x. 1 ) = 4
80	77, 79	syl6breq 4435	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 x. ( L x. E ) ) < 4 )
81	39, 39, 53	ltmuldivd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( L x. E ) ) < 4 <-> 4 < ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
82	80, 81	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 < ( 4 / ( L x. E ) ) )
83	12	simpld 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR+ )
84	83, 55	rpaddcld 11379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR+ )
85	84	rpred 11364	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR )
86	56, 83	ltaddrp2d 11395	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) < ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
87	85	resqcld 12480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
88	13	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. RR+ )
89	51	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. RR+ )
90		2z 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
91		rpexpcl 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( K ^ 2 ) e. RR+ )
92	89, 90, 91	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K ^ 2 ) e. RR+ )
93	88, 92	rpmulcld 11380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ )
94		4z 10995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. ZZ
95		rpexpcl 12329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ )
96	93, 94, 95	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ )
97		3nn0 10911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. NN0
98		2nn 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN
99	97, 98	decnncl 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ; 3 2 e. NN
100		nnrp 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 3 2 e. RR+
102		rpmulcl 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
103	101, 4, 102	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
104	67	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
105		rpexpcl 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
106	52, 90, 105	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
107	50, 106	rpmulcld 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
108	104, 107	rpmulcld 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
109	103, 108	rpdivcld 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ )
110		3nn 10791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 3 e. NN
111		nnrp 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. RR+
113		rpmulcl 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( U x. 3 ) e. RR+ )
114	8, 112, 113	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. RR+ )
115	114, 14	rpaddcld 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR+ )
116	109, 115	rpmulcld 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR+ )
117	116	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR )
118	117	rpefcld 14236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) e. RR+ )
119	96, 118	rpaddcld 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. RR+ )
120	87, 119	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) ) )
121	120, 15	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < W )
122	87, 17, 22, 121, 23	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < Z )
123	24	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
124		resqrtth 13396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
126	122, 125	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) )
127	84	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) )
128	29	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) )
129		lt2sq 12386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) /\ ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) ) -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) <-> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
130	127, 128, 129	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) <-> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
131	126, 130	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) )
132	56, 85, 30, 86, 131	lttrd 9813	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) < ( sqr ` Z ) )
133	39, 56, 30, 82, 132	lttrd 9813	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 < ( sqr ` Z ) )
134	28, 39, 30, 45, 133	lttrd 9813	. . . . . 6 |- ( ph -> _e < ( sqr ` Z ) )
135	26, 28, 30, 37, 134	lttrd 9813	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( sqr ` Z ) )
136		0le1 10158	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
138		lt2sq 12386	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) ) -> ( 1 < ( sqr ` Z ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
139	26, 137, 128, 138	syl21anc 1291	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 < ( sqr ` Z ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
140	135, 139	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) )
141		sq1 12407	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
142	141	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
143	140, 142, 125	3brtr3d 4425	. . 3 |- ( ph -> 1 < Z )
144	28, 30, 134	ltled 9800	. . 3 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` Z ) )
145	22, 83	rerpdivcld 11392	. . . 4 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR )
146	83	rpred 11364	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
147	146, 55	ltaddrpd 11394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y < ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
148	146, 85, 30, 147, 131	lttrd 9813	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y < ( sqr ` Z ) )
149	146, 30, 29, 148	ltmul2dd 11417	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) )
150		remsqsqrt 13397	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
151	123, 150	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
152	149, 151	breqtrd 4420	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < Z )
153	30, 22, 83	ltmuldivd 11408	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < Z <-> ( sqr ` Z ) < ( Z / Y ) ) )
154	152, 153	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) < ( Z / Y ) )
155	30, 145, 154	ltled 9800	. . 3 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) )
156	143, 144, 155	3jca 1210	. 2 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
157	56, 30, 132	ltled 9800	. . 3 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) )
158	88	relogcld 23651	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` X ) e. RR )
159	89	rpred 11364	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
160	67	simp2d 1043	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < K )
161	159, 160	rplogcld 23657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` K ) e. RR+ )
162	158, 161	rerpdivcld 11392	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) e. RR )
163		readdcl 9640	. . . . 5 |- ( ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) e. RR )
164	162, 34, 163	sylancl 675	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) e. RR )
165	24	relogcld 23651	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
166	165, 161	rerpdivcld 11392	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR )
167		nndivre 10667	. . . . 5 |- ( ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
168	166, 46, 167	sylancl 675	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
169	93	relogcld 23651	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) e. RR )
170		nndivre 10667	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` Z ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( log ` Z ) / 4 ) e. RR )
171	165, 46, 170	sylancl 675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / 4 ) e. RR )
172		relogexp 23624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) )
173	93, 94, 172	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) )
174	96	rpred 11364	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR )
175	119	rpred 11364	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. RR )
176	174, 118	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
177		rpexpcl 12329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
178	84, 90, 177	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
179	175, 178	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
180	87	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
181	119	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. CC )
182	180, 181	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
183	15, 182	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W = ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
184	179, 183	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < W )
185	175, 17, 22, 184, 23	ltletrd 9812	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < Z )
186	174, 175, 22, 176, 185	lttrd 9813	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z )
187		logltb 23628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ /\ Z e. RR+ ) -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z <-> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) ) )
188	96, 24, 187	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z <-> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) ) )
189	186, 188	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) )
190	173, 189	eqbrtrrd 4418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) )
191		ltmuldiv2 10501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) e. RR /\ ( log ` Z ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) ) )
192	169, 165, 74, 191	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) ) )
193	190, 192	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) )
194	169, 171, 161, 193	ltdiv1dd 11418	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) < ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) )
195	88, 92	relogmuld 23653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( log ` ( K ^ 2 ) ) ) )
196		relogexp 23624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( log ` ( K ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` K ) ) )
197	89, 90, 196	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( K ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` K ) ) )
198	197	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` X ) + ( log ` ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) )
199	195, 198	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) )
200	199	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) )
201	158	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` X ) e. CC )
202		2cnd 10704	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
203	161	rpcnd 11366	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` K ) e. CC )
204	202, 203	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( log ` K ) ) e. CC )
205	161	rpcnne0d 11373	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) )
206		divdir 10315	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` X ) e. CC /\ ( 2 x. ( log ` K ) ) e. CC /\ ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) )
207	201, 204, 205, 206	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) )
208	205	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` K ) =/= 0 )
209	202, 203, 208	divcan4d 10411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) = 2 )
210	209	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) )
211	200, 207, 210	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) )
212	165	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
213		rpcnne0 11342	. . . . . . 7 |- ( 4 e. RR+ -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
214	48, 213	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
215		divdiv32 10337	. . . . . 6 |- ( ( ( log ` Z ) e. CC /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) /\ ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
216	212, 214, 205, 215	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
217	194, 211, 216	3brtr3d 4425	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) < ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
218	164, 168, 217	ltled 9800	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
219	115	rpred 11364	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR )
220	108, 103	rpdivcld 11381	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
221	220	rpred 11364	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR )
222	221, 165	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
223	115	rpcnd 11366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC )
224	108	rpcnne0d 11373	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) )
225	103	rpcnne0d 11373	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
226		divdiv2 10341	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC /\ ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
227	223, 224, 225, 226	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
228	103	rpcnd 11366	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. CC )
229	223, 228	mulcomd 9682	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) = ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
230	229	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
231		div23 10311	. . . . . . . . 9 |- ( ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC /\ ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
232	228, 223, 224, 231	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
233	227, 230, 232	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
234	117	reefcld 14219	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) e. RR )
235	234, 96	ltaddrp2d 11395	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
236	234, 175, 22, 235, 185	lttrd 9813	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < Z )
237	24	reeflogd 23652	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` Z ) ) = Z )
238	236, 237	breqtrrd 4422	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) )
239		eflt 14248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR /\ ( log ` Z ) e. RR ) -> ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) <-> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) ) )
240	117, 165, 239	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) <-> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) ) )
241	238, 240	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) )
242	233, 241	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) < ( log ` Z ) )
243	219, 165, 220	ltdivmuld 11412	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( ( U x. 3 ) + C ) < ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
244	242, 243	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) < ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
245	219, 222, 244	ltled 9800	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
246	104	rpcnd 11366	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
247	107	rpcnd 11366	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC )
248		divass 10310	. . . . . 6 |- ( ( ( U - E ) e. CC /\ ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) )
249	246, 247, 225, 248	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) )
250	249	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
251	245, 250	breqtrd 4420	. . 3 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
252	157, 218, 251	3jca 1210	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
253	24, 156, 252	3jca 1210	1 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   ZZcz 10961  ;cdc 11074   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   expce 14191   _eceu 14192   logclog 23583  ψcchp 24098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585

This theorem is referenced by:  pntlemg  24515  pntlemh  24516  pntlemn  24517  pntlemq  24518  pntlemr  24519  pntlemj  24520  pntlemf  24522  pntlemk  24523  pntlemo  24524