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Theorem pntlemb 22789
Description: Lemma for pnt 22806. Unpack all the lower bounds contained in  W, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434,  Z is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemb  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
Distinct variable group:    E, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( a)    B( a)    C( a)    D( a)    R( a)    U( a)    F( a)    K( a)    L( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
2 pntlem1.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
3 pntlem1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4 pntlem1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
5 pntlem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
6 pntlem1.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( A  +  1 )
7 pntlem1.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
8 pntlem1.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
10 pntlem1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( U  /  D
)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
12 pntlem1.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
13 pntlem1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
14 pntlem1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
15 pntlem1.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 22788 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR+ )
1716rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
18 pnfxr 11088 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
19 elico2 11355 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( W [,) +oo )  <->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  < +oo ) ) )
2017, 18, 19sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( W [,) +oo )  <->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  < +oo ) ) )
211, 20mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  < +oo ) )
2221simp1d 995 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
2321simp2d 996 . . 3  |-  ( ph  ->  W  <_  Z )
2422, 16, 23rpgecld 11058 . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
25 1re 9381 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
27 ere 13370 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
2924rpsqrcld 12894 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
3029rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
31 1lt2 10484 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
32 egt2lt3 13484 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
3332simpli 455 . . . . . . . 8  |-  2  <  _e
34 2re 10387 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
3525, 34, 27lttri 9496 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
3631, 33, 35mp2an 667 . . . . . . 7  |-  1  <  _e
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  _e )
38 4re 10394 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
4032simpri 459 . . . . . . . . 9  |-  _e  <  3
41 3lt4 10487 . . . . . . . . 9  |-  3  <  4
42 3re 10391 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
4327, 42, 38lttri 9496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
4440, 41, 43mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  _e  <  4
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _e  <  4 )
46 4nn 10477 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
47 nnrp 10996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 22786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
5049simp1d 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 22787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
5251simp1d 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5350, 52rpmulcld 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )
54 rpdivcl 11009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
5548, 53, 54sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR+ )
5655rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR )
5753rpred 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
5852rpred 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
5950rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
60 eliooord 11351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  L  /\  L  <  1 ) )
615, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <  L  /\  L  <  1
) )
6261simprd 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 11074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  ( 1  x.  E ) )
6452rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
6564mulid2d 9400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
6663, 65breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  E )
6751simp3d 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
6867simp1d 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
69 eliooord 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
7170simprd 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 9528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  1 )
73 4pos 10413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  4
7439, 73jctir 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
75 ltmul2 10176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( L  x.  E )  <  1  <->  ( 4  x.  ( L  x.  E
) )  <  (
4  x.  1 ) ) )
7657, 26, 74, 75syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  <  1  <->  ( 4  x.  ( L  x.  E ) )  <  ( 4  x.  1 ) ) )
7772, 76mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( L  x.  E )
)  <  ( 4  x.  1 ) )
78 4cn 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
7978mulid1i 9384 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
8077, 79syl6breq 4328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( L  x.  E )
)  <  4 )
8139, 39, 53ltmuldivd 11066 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( L  x.  E
) )  <  4  <->  4  <  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
8280, 81mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )
8312simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
8483, 55rpaddcld 11038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR+ )
8584rpred 11023 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR )
8656, 83ltaddrp2d 11053 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
8785resqcld 12030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  RR )
8813simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
8951simp2d 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
90 2z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
91 rpexpcl 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR+ )
9289, 90, 91sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR+ )
9388, 92rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+ )
9446nnzi 10666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  ZZ
95 rpexpcl 11880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+ )
9693, 94, 95sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+ )
97 3nn0 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  3  e.  NN0
98 2nn 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
9997, 98decnncl 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- ; 3 2  e.  NN
100 nnrp 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (; 3 2  e.  NN  -> ; 3
2  e.  RR+ )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- ; 3 2  e.  RR+
102 rpmulcl 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (; 3
2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (; 3 2  x.  B )  e.  RR+ )
103101, 4, 102sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  (; 3 2  x.  B
)  e.  RR+ )
10467simp3d 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
105 rpexpcl 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
10652, 90, 105sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
10750, 106rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  RR+ )
108104, 107rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  RR+ )
109103, 108rpdivcld 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  e.  RR+ )
110 3nn 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  e.  NN
111 nnrp 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  RR+
113 rpmulcl 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( U  x.  3 )  e.  RR+ )
1148, 112, 113sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( U  x.  3 )  e.  RR+ )
115114, 14rpaddcld 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  RR+ )
116109, 115rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR+ )
117116rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR )
118117rpefcld 13385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  e.  RR+ )
11996, 118rpaddcld 11038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  RR+ )
12087, 119ltaddrpd 11052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) ) )
121120, 15syl6breqr 4329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  W )
12287, 17, 22, 121, 23ltletrd 9527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  Z )
12324rprege0d 11030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
124 resqrth 12741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
126122, 125breqtrrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  Z ) ^ 2 ) )
12784rprege0d 11030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ) )
12829rprege0d 11030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z
) ) )
129 lt2sq 11935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )  /\  ( ( sqr `  Z )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z ) ) )  ->  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) )  < 
( sqr `  Z
)  <->  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
130127, 128, 129syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  <  ( sqr `  Z )  <->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  < 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
131126, 130mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  <  ( sqr `  Z ) )
13256, 85, 30, 86, 131lttrd 9528 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <  ( sqr `  Z ) )
13339, 56, 30, 82, 132lttrd 9528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  <  ( sqr `  Z ) )
13428, 39, 30, 45, 133lttrd 9528 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <  ( sqr `  Z ) )
13526, 28, 30, 37, 134lttrd 9528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( sqr `  Z ) )
136 0le1 9859 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
138 lt2sq 11935 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( sqr `  Z )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z ) ) )  ->  ( 1  < 
( sqr `  Z
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <  (
( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
13926, 137, 128, 138syl21anc 1212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( sqr `  Z )  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
140135, 139mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  <  ( ( sqr `  Z ) ^ 2 ) )
141 sq1 11956 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
142141a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
143140, 142, 1253brtr3d 4318 . . 3  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
14428, 30, 134ltled 9518 . . 3  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
14522, 83rerpdivcld 11050 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
14683rpred 11023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
147146, 55ltaddrpd 11052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
148146, 85, 30, 147, 131lttrd 9528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  <  ( sqr `  Z ) )
149146, 30, 29, 148ltmul2dd 11075 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  Y )  <  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z ) ) )
150 remsqsqr 12742 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
151123, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
152149, 151breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  Y )  <  Z )
15330, 22, 83ltmuldivd 11066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  Z )  x.  Y
)  <  Z  <->  ( sqr `  Z )  <  ( Z  /  Y ) ) )
154152, 153mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <  ( Z  /  Y ) )
15530, 145, 154ltled 9518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  Y ) )
156143, 144, 1553jca 1163 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
15756, 30, 132ltled 9518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z ) )
15888relogcld 22015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
15989rpred 11023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
16067simp2d 996 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  K )
161159, 160rplogcld 22021 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  RR+ )
162158, 161rerpdivcld 11050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
163 readdcl 9361 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  e.  RR )
164162, 34, 163sylancl 657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  e.  RR )
16524relogcld 22015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
166165, 161rerpdivcld 11050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
167 nndivre 10353 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  e.  RR )
168166, 46, 167sylancl 657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
16993relogcld 22015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  e.  RR )
170 nndivre 10353 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( ( log `  Z
)  /  4 )  e.  RR )
171165, 46, 170sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  4 )  e.  RR )
172 relogexp 21987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 ) )  =  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) ) )
17393, 94, 172sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  =  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) ) )
17496rpred 11023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR )
175119rpred 11023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  RR )
176174, 118ltaddrpd 11052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  <  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
177 rpexpcl 11880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
17884, 90, 177sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
179175, 178ltaddrpd 11052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
18087recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  CC )
181119rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  CC )
182180, 181addcomd 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
18315, 182syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  =  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
184179, 183breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  W )
185175, 17, 22, 184, 23ltletrd 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  Z )
186174, 175, 22, 176, 185lttrd 9528 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  <  Z )
187 logltb 21991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+  /\  Z  e.  RR+ )  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  < 
Z  <->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) ) )
18896, 24, 187syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  <  Z  <->  ( log `  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) ) )
189186, 188mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) )
190173, 189eqbrtrrd 4311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  < 
( log `  Z
) )
191 ltmuldiv2 10199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  Z )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) ) )
192169, 165, 74, 191syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) ) )
193190, 192mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) )
194169, 171, 161, 193ltdiv1dd 11076 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  < 
( ( ( log `  Z )  /  4
)  /  ( log `  K ) ) )
19588, 92relogmuld 22017 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X )  +  ( log `  ( K ^ 2 ) ) ) )
196 relogexp 21987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( K ^
2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )
19789, 90, 196sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  K
) ) )
198197oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  +  ( log `  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X
)  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) ) )
199195, 198eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) ) )
200199oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )  /  ( log `  K
) ) )
201158recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
202 2cnd 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
203161rpcnd 11025 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  CC )
204202, 203mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  K ) )  e.  CC )
205161rpcnne0d 11032 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  e.  CC  /\  ( log `  K )  =/=  0 ) )
206 divdir 10013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  X
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( log `  K ) )  e.  CC  /\  (
( log `  K
)  e.  CC  /\  ( log `  K )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) )  / 
( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) ) )
207201, 204, 205, 206syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )  /  ( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) ) )
208205simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  =/=  0 )
209202, 203, 208divcan4d 10109 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) )  =  2 )
210209oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
211200, 207, 2103eqtrd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
212165recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
213 rpcnne0 11004 . . . . . . 7  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
21448, 213mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
215 divdiv32 10035 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( log `  K )  e.  CC  /\  ( log `  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( log `  Z
)  /  4 )  /  ( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) )
216212, 214, 205, 215syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  4
)  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
217194, 211, 2163brtr3d 4318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  < 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
218164, 168, 217ltled 9518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
219115rpred 11023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  RR )
220108, 103rpdivcld 11040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  e.  RR+ )
221220rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  e.  RR )
222221, 165remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  x.  ( log `  Z
) )  e.  RR )
223115rpcnd 11025 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC )
224108rpcnne0d 11032 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
225103rpcnne0d 11032 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )
226 divdiv2 10039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC  /\  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  / 
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) ) )
227223, 224, 225, 226syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) ) )
228103rpcnd 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (; 3 2  x.  B
)  e.  CC )
229223, 228mulcomd 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B ) )  =  ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) ) )
230229oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) ) )
231 div23 10009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC  /\  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
(; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
232228, 223, 224, 231syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
233227, 230, 2323eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
234117reefcld 13369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  e.  RR )
235234, 96ltaddrp2d 11053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
236234, 175, 22, 235, 185lttrd 9528 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
Z )
23724reeflogd 22016 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  Z ) )  =  Z )
238236, 237breqtrrd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) )
239 eflt 13397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR  /\  ( log `  Z
)  e.  RR )  ->  ( ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  <  ( log `  Z )  <->  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) ) )
240117, 165, 239syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( (; 3
2  x.  B )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( U  x.  3 )  +  C ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) ) )
241238, 240mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  <  ( log `  Z ) )
242233, 241eqbrtrd 4309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  < 
( log `  Z
) )
243219, 165, 220ltdivmuld 11070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  / 
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  < 
( log `  Z
)  <->  ( ( U  x.  3 )  +  C )  <  (
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) ) )
244242, 243mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <  ( (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) )
245219, 222, 244ltled 9518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) )
246104rpcnd 11025 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  CC )
247107rpcnd 11025 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
248 divass 10008 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  -  E
)  e.  CC  /\  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
(; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  =  ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) ) )
249246, 247, 225, 248syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  =  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) ) )
250249oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  x.  ( log `  Z
) )  =  ( ( ( U  -  E )  x.  (
( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) )
251245, 250breqtrd 4313 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) )
252157, 218, 2513jca 1163 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
( L  x.  E
) )  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
25324, 156, 2523jca 1163 1  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   ZZcz 10642  ;cdc 10751   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   expce 13343   _eceu 13344   logclog 21949  ψcchp 22373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951
This theorem is referenced by:  pntlemg  22790  pntlemh  22791  pntlemn  22792  pntlemq  22793  pntlemr  22794  pntlemj  22795  pntlemf  22797  pntlemk  22798  pntlemo  22799
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