Theorem pntlemb 24435

Description: Lemma for pnt 24452. Unpack all the lower bounds contained in W, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, Z is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
pntlemb	|- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )

Distinct variable group:   E, a

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( a)   B( a)   C( a)   D( a)   R( a)   U( a)   F( a)   K( a)   L( a)   W( a)   X( a)   Y( a)   Z( a)

Proof of Theorem pntlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
2		pntlem1.r	. . . . . . . 8 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
3		pntlem1.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
4		pntlem1.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR+ )
5		pntlem1.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
6		pntlem1.d	. . . . . . . 8 |- D = ( A + 1 )
7		pntlem1.f	. . . . . . . 8 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
8		pntlem1.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. RR+ )
9		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U <_ A )
10		pntlem1.e	. . . . . . . 8 |- E = ( U / D )
11		pntlem1.k	. . . . . . . 8 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
12		pntlem1.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
13		pntlem1.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
14		pntlem1.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR+ )
15		pntlem1.w	. . . . . . . 8 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	pntlema 24434	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR+ )
17	16	rpred 11341	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. RR )
18		pnfxr 11412	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
19		elico2 11698	. . . . . 6 |- ( ( W e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( Z e. ( W [,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. ( W [,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) ) )
21	1, 20	mpbid 214	. . . 4 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) )
22	21	simp1d 1020	. . 3 |- ( ph -> Z e. RR )
23	21	simp2d 1021	. . 3 |- ( ph -> W <_ Z )
24	22, 16, 23	rpgecld 11377	. 2 |- ( ph -> Z e. RR+ )
25		1re 9642	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
26	25	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		ere 14143	. . . . . . 7 |- _e e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> _e e. RR )
29	24	rpsqrtcld 13473	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR+ )
30	29	rpred 11341	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR )
31		1lt2 10776	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
32		egt2lt3 14258	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
33	32	simpli 460	. . . . . . . 8 |- 2 < _e
34		2re 10679	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
35	25, 34, 27	lttri 9760	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < 2 /\ 2 < _e ) -> 1 < _e )
36	31, 33, 35	mp2an 678	. . . . . . 7 |- 1 < _e
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < _e )
38		4re 10686	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR )
40	32	simpri 464	. . . . . . . . 9 |- _e < 3
41		3lt4 10779	. . . . . . . . 9 |- 3 < 4
42		3re 10683	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
43	27, 42, 38	lttri 9760	. . . . . . . . 9 |- ( ( _e < 3 /\ 3 < 4 ) -> _e < 4 )
44	40, 41, 43	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- _e < 4
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e < 4 )
46		4nn 10769	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
47		nnrp 11311	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
49	2, 3, 4, 5, 6, 7	pntlemd 24432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
50	49	simp1d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. RR+ )
51	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	pntlemc 24433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
52	51	simp1d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR+ )
53	50, 52	rpmulcld 11357	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR+ )
54		rpdivcl 11325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR+ /\ ( L x. E ) e. RR+ ) -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
55	48, 53, 54	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 11341	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR )
57	53	rpred 11341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR )
58	52	rpred 11341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR )
59	50	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L e. RR )
60		eliooord 11694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
61	5, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
62	61	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L < 1 )
63	59, 26, 52, 62	ltmul1dd 11393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( L x. E ) < ( 1 x. E ) )
64	52	rpcnd 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. CC )
65	64	mulid2d 9661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
66	63, 65	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L x. E ) < E )
67	51	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
68	67	simp1d 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
69		eliooord 11694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
71	70	simprd 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E < 1 )
72	57, 58, 26, 66, 71	lttrd 9796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L x. E ) < 1 )
73		4pos 10705	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 4
74	39, 73	jctir 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) )
75		ltmul2 10456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L x. E ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( L x. E ) < 1 <-> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) ) )
76	57, 26, 74, 75	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( L x. E ) < 1 <-> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) ) )
77	72, 76	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) )
78		4cn 10687	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. CC
79	78	mulid1i 9645	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 x. 1 ) = 4
80	77, 79	syl6breq 4442	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 x. ( L x. E ) ) < 4 )
81	39, 39, 53	ltmuldivd 11385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( L x. E ) ) < 4 <-> 4 < ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
82	80, 81	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 < ( 4 / ( L x. E ) ) )
83	12	simpld 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR+ )
84	83, 55	rpaddcld 11356	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR+ )
85	84	rpred 11341	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR )
86	56, 83	ltaddrp2d 11372	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) < ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
87	85	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
88	13	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. RR+ )
89	51	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. RR+ )
90		2z 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
91		rpexpcl 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( K ^ 2 ) e. RR+ )
92	89, 90, 91	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K ^ 2 ) e. RR+ )
93	88, 92	rpmulcld 11357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ )
94		4z 10971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. ZZ
95		rpexpcl 12291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ )
96	93, 94, 95	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ )
97		3nn0 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. NN0
98		2nn 10767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN
99	97, 98	decnncl 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ; 3 2 e. NN
100		nnrp 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 3 2 e. RR+
102		rpmulcl 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
103	101, 4, 102	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
104	67	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
105		rpexpcl 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
106	52, 90, 105	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
107	50, 106	rpmulcld 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
108	104, 107	rpmulcld 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
109	103, 108	rpdivcld 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ )
110		3nn 10768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 3 e. NN
111		nnrp 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. RR+
113		rpmulcl 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( U x. 3 ) e. RR+ )
114	8, 112, 113	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. RR+ )
115	114, 14	rpaddcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR+ )
116	109, 115	rpmulcld 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR+ )
117	116	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR )
118	117	rpefcld 14159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) e. RR+ )
119	96, 118	rpaddcld 11356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. RR+ )
120	87, 119	ltaddrpd 11371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) ) )
121	120, 15	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < W )
122	87, 17, 22, 121, 23	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < Z )
123	24	rprege0d 11348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
124		resqrtth 13319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
126	122, 125	breqtrrd 4429	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) )
127	84	rprege0d 11348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) )
128	29	rprege0d 11348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) )
129		lt2sq 12348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) /\ ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) ) -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) <-> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
130	127, 128, 129	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) <-> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
131	126, 130	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) )
132	56, 85, 30, 86, 131	lttrd 9796	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) < ( sqr ` Z ) )
133	39, 56, 30, 82, 132	lttrd 9796	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 < ( sqr ` Z ) )
134	28, 39, 30, 45, 133	lttrd 9796	. . . . . 6 |- ( ph -> _e < ( sqr ` Z ) )
135	26, 28, 30, 37, 134	lttrd 9796	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( sqr ` Z ) )
136		0le1 10137	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
138		lt2sq 12348	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) ) -> ( 1 < ( sqr ` Z ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
139	26, 137, 128, 138	syl21anc 1267	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 < ( sqr ` Z ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
140	135, 139	mpbid 214	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) )
141		sq1 12369	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
142	141	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
143	140, 142, 125	3brtr3d 4432	. . 3 |- ( ph -> 1 < Z )
144	28, 30, 134	ltled 9783	. . 3 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` Z ) )
145	22, 83	rerpdivcld 11369	. . . 4 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR )
146	83	rpred 11341	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
147	146, 55	ltaddrpd 11371	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y < ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
148	146, 85, 30, 147, 131	lttrd 9796	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y < ( sqr ` Z ) )
149	146, 30, 29, 148	ltmul2dd 11394	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) )
150		remsqsqrt 13320	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
151	123, 150	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
152	149, 151	breqtrd 4427	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < Z )
153	30, 22, 83	ltmuldivd 11385	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < Z <-> ( sqr ` Z ) < ( Z / Y ) ) )
154	152, 153	mpbid 214	. . . 4 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) < ( Z / Y ) )
155	30, 145, 154	ltled 9783	. . 3 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) )
156	143, 144, 155	3jca 1188	. 2 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
157	56, 30, 132	ltled 9783	. . 3 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) )
158	88	relogcld 23572	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` X ) e. RR )
159	89	rpred 11341	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
160	67	simp2d 1021	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < K )
161	159, 160	rplogcld 23578	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` K ) e. RR+ )
162	158, 161	rerpdivcld 11369	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) e. RR )
163		readdcl 9622	. . . . 5 |- ( ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) e. RR )
164	162, 34, 163	sylancl 668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) e. RR )
165	24	relogcld 23572	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
166	165, 161	rerpdivcld 11369	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR )
167		nndivre 10645	. . . . 5 |- ( ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
168	166, 46, 167	sylancl 668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
169	93	relogcld 23572	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) e. RR )
170		nndivre 10645	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` Z ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( log ` Z ) / 4 ) e. RR )
171	165, 46, 170	sylancl 668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / 4 ) e. RR )
172		relogexp 23545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) )
173	93, 94, 172	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) )
174	96	rpred 11341	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR )
175	119	rpred 11341	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. RR )
176	174, 118	ltaddrpd 11371	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
177		rpexpcl 12291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
178	84, 90, 177	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
179	175, 178	ltaddrpd 11371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
180	87	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
181	119	rpcnd 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. CC )
182	180, 181	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
183	15, 182	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W = ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
184	179, 183	breqtrrd 4429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < W )
185	175, 17, 22, 184, 23	ltletrd 9795	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < Z )
186	174, 175, 22, 176, 185	lttrd 9796	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z )
187		logltb 23549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ /\ Z e. RR+ ) -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z <-> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) ) )
188	96, 24, 187	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z <-> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) ) )
189	186, 188	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) )
190	173, 189	eqbrtrrd 4425	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) )
191		ltmuldiv2 10479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) e. RR /\ ( log ` Z ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) ) )
192	169, 165, 74, 191	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) ) )
193	190, 192	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) )
194	169, 171, 161, 193	ltdiv1dd 11395	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) < ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) )
195	88, 92	relogmuld 23574	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( log ` ( K ^ 2 ) ) ) )
196		relogexp 23545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( log ` ( K ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` K ) ) )
197	89, 90, 196	sylancl 668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( K ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` K ) ) )
198	197	oveq2d 6306	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` X ) + ( log ` ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) )
199	195, 198	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) )
200	199	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) )
201	158	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` X ) e. CC )
202		2cnd 10682	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
203	161	rpcnd 11343	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` K ) e. CC )
204	202, 203	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( log ` K ) ) e. CC )
205	161	rpcnne0d 11350	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) )
206		divdir 10293	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` X ) e. CC /\ ( 2 x. ( log ` K ) ) e. CC /\ ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) )
207	201, 204, 205, 206	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) )
208	205	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` K ) =/= 0 )
209	202, 203, 208	divcan4d 10389	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) = 2 )
210	209	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) )
211	200, 207, 210	3eqtrd 2489	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) )
212	165	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
213		rpcnne0 11319	. . . . . . 7 |- ( 4 e. RR+ -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
214	48, 213	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
215		divdiv32 10315	. . . . . 6 |- ( ( ( log ` Z ) e. CC /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) /\ ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
216	212, 214, 205, 215	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
217	194, 211, 216	3brtr3d 4432	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) < ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
218	164, 168, 217	ltled 9783	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
219	115	rpred 11341	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR )
220	108, 103	rpdivcld 11358	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
221	220	rpred 11341	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR )
222	221, 165	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
223	115	rpcnd 11343	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC )
224	108	rpcnne0d 11350	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) )
225	103	rpcnne0d 11350	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
226		divdiv2 10319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC /\ ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
227	223, 224, 225, 226	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
228	103	rpcnd 11343	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. CC )
229	223, 228	mulcomd 9664	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) = ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
230	229	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
231		div23 10289	. . . . . . . . 9 |- ( ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC /\ ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
232	228, 223, 224, 231	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
233	227, 230, 232	3eqtrd 2489	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
234	117	reefcld 14142	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) e. RR )
235	234, 96	ltaddrp2d 11372	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
236	234, 175, 22, 235, 185	lttrd 9796	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < Z )
237	24	reeflogd 23573	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` Z ) ) = Z )
238	236, 237	breqtrrd 4429	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) )
239		eflt 14171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR /\ ( log ` Z ) e. RR ) -> ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) <-> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) ) )
240	117, 165, 239	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) <-> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) ) )
241	238, 240	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) )
242	233, 241	eqbrtrd 4423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) < ( log ` Z ) )
243	219, 165, 220	ltdivmuld 11389	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( ( U x. 3 ) + C ) < ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
244	242, 243	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) < ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
245	219, 222, 244	ltled 9783	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
246	104	rpcnd 11343	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
247	107	rpcnd 11343	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC )
248		divass 10288	. . . . . 6 |- ( ( ( U - E ) e. CC /\ ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) )
249	246, 247, 225, 248	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) )
250	249	oveq1d 6305	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
251	245, 250	breqtrd 4427	. . 3 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
252	157, 218, 251	3jca 1188	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
253	24, 156, 252	3jca 1188	1 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   ZZcz 10937  ;cdc 11051   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   expce 14114   _eceu 14115   logclog 23504  ψcchp 24019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-e 14122  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506

This theorem is referenced by:  pntlemg  24436  pntlemh  24437  pntlemn  24438  pntlemq  24439  pntlemr  24440  pntlemj  24441  pntlemf  24443  pntlemk  24444  pntlemo  24445