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Theorem pntlemb 24435
Description: Lemma for pnt 24452. Unpack all the lower bounds contained in  W, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434,  Z is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemb  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
Distinct variable group:    E, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( a)    B( a)    C( a)    D( a)    R( a)    U( a)    F( a)    K( a)    L( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,) +oo ) )
2 pntlem1.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
3 pntlem1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4 pntlem1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
5 pntlem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
6 pntlem1.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( A  +  1 )
7 pntlem1.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
8 pntlem1.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
10 pntlem1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( U  /  D
)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
12 pntlem1.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
13 pntlem1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
14 pntlem1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
15 pntlem1.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 24434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR+ )
1716rpred 11341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
18 pnfxr 11412 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
19 elico2 11698 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( W [,) +oo )  <->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  < +oo ) ) )
2017, 18, 19sylancl 668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( W [,) +oo )  <->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  < +oo ) ) )
211, 20mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  < +oo ) )
2221simp1d 1020 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
2321simp2d 1021 . . 3  |-  ( ph  ->  W  <_  Z )
2422, 16, 23rpgecld 11377 . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
25 1re 9642 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
27 ere 14143 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
2924rpsqrtcld 13473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
3029rpred 11341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
31 1lt2 10776 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
32 egt2lt3 14258 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
3332simpli 460 . . . . . . . 8  |-  2  <  _e
34 2re 10679 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
3525, 34, 27lttri 9760 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
3631, 33, 35mp2an 678 . . . . . . 7  |-  1  <  _e
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  _e )
38 4re 10686 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
4032simpri 464 . . . . . . . . 9  |-  _e  <  3
41 3lt4 10779 . . . . . . . . 9  |-  3  <  4
42 3re 10683 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
4327, 42, 38lttri 9760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
4440, 41, 43mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  _e  <  4
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _e  <  4 )
46 4nn 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
47 nnrp 11311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 24432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
5049simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 24433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
5251simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5350, 52rpmulcld 11357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )
54 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
5548, 53, 54sylancr 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR+ )
5655rpred 11341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR )
5753rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
5852rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
5950rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
60 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  L  /\  L  <  1 ) )
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <  L  /\  L  <  1
) )
6261simprd 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 11393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  ( 1  x.  E ) )
6452rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
6564mulid2d 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
6663, 65breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  E )
6751simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
6867simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
69 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
7170simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  1 )
73 4pos 10705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  4
7439, 73jctir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
75 ltmul2 10456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( L  x.  E )  <  1  <->  ( 4  x.  ( L  x.  E
) )  <  (
4  x.  1 ) ) )
7657, 26, 74, 75syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  <  1  <->  ( 4  x.  ( L  x.  E ) )  <  ( 4  x.  1 ) ) )
7772, 76mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( L  x.  E )
)  <  ( 4  x.  1 ) )
78 4cn 10687 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
7978mulid1i 9645 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
8077, 79syl6breq 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( L  x.  E )
)  <  4 )
8139, 39, 53ltmuldivd 11385 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( L  x.  E
) )  <  4  <->  4  <  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
8280, 81mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )
8312simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
8483, 55rpaddcld 11356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR+ )
8584rpred 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR )
8656, 83ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
8785resqcld 12442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  RR )
8813simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
8951simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
90 2z 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
91 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR+ )
9289, 90, 91sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR+ )
9388, 92rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+ )
94 4z 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  ZZ
95 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+ )
9693, 94, 95sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+ )
97 3nn0 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  3  e.  NN0
98 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
9997, 98decnncl 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- ; 3 2  e.  NN
100 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (; 3 2  e.  NN  -> ; 3
2  e.  RR+ )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- ; 3 2  e.  RR+
102 rpmulcl 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (; 3
2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (; 3 2  x.  B )  e.  RR+ )
103101, 4, 102sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  (; 3 2  x.  B
)  e.  RR+ )
10467simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
105 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
10652, 90, 105sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
10750, 106rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  RR+ )
108104, 107rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  RR+ )
109103, 108rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  e.  RR+ )
110 3nn 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  e.  NN
111 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  RR+
113 rpmulcl 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( U  x.  3 )  e.  RR+ )
1148, 112, 113sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( U  x.  3 )  e.  RR+ )
115114, 14rpaddcld 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  RR+ )
116109, 115rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR+ )
117116rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR )
118117rpefcld 14159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  e.  RR+ )
11996, 118rpaddcld 11356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  RR+ )
12087, 119ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) ) )
121120, 15syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  W )
12287, 17, 22, 121, 23ltletrd 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  Z )
12324rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
124 resqrtth 13319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
126122, 125breqtrrd 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  Z ) ^ 2 ) )
12784rprege0d 11348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ) )
12829rprege0d 11348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z
) ) )
129 lt2sq 12348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )  /\  ( ( sqr `  Z )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z ) ) )  ->  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) )  < 
( sqr `  Z
)  <->  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
130127, 128, 129syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  <  ( sqr `  Z )  <->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  < 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
131126, 130mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  <  ( sqr `  Z ) )
13256, 85, 30, 86, 131lttrd 9796 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <  ( sqr `  Z ) )
13339, 56, 30, 82, 132lttrd 9796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  <  ( sqr `  Z ) )
13428, 39, 30, 45, 133lttrd 9796 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <  ( sqr `  Z ) )
13526, 28, 30, 37, 134lttrd 9796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( sqr `  Z ) )
136 0le1 10137 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
138 lt2sq 12348 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( sqr `  Z )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z ) ) )  ->  ( 1  < 
( sqr `  Z
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <  (
( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
13926, 137, 128, 138syl21anc 1267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( sqr `  Z )  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
140135, 139mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  <  ( ( sqr `  Z ) ^ 2 ) )
141 sq1 12369 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
142141a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
143140, 142, 1253brtr3d 4432 . . 3  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
14428, 30, 134ltled 9783 . . 3  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
14522, 83rerpdivcld 11369 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
14683rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
147146, 55ltaddrpd 11371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
148146, 85, 30, 147, 131lttrd 9796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  <  ( sqr `  Z ) )
149146, 30, 29, 148ltmul2dd 11394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  Y )  <  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z ) ) )
150 remsqsqrt 13320 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
151123, 150syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
152149, 151breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  Y )  <  Z )
15330, 22, 83ltmuldivd 11385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  Z )  x.  Y
)  <  Z  <->  ( sqr `  Z )  <  ( Z  /  Y ) ) )
154152, 153mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <  ( Z  /  Y ) )
15530, 145, 154ltled 9783 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  Y ) )
156143, 144, 1553jca 1188 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
15756, 30, 132ltled 9783 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z ) )
15888relogcld 23572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
15989rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
16067simp2d 1021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  K )
161159, 160rplogcld 23578 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  RR+ )
162158, 161rerpdivcld 11369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
163 readdcl 9622 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  e.  RR )
164162, 34, 163sylancl 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  e.  RR )
16524relogcld 23572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
166165, 161rerpdivcld 11369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
167 nndivre 10645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  e.  RR )
168166, 46, 167sylancl 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
16993relogcld 23572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  e.  RR )
170 nndivre 10645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( ( log `  Z
)  /  4 )  e.  RR )
171165, 46, 170sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  4 )  e.  RR )
172 relogexp 23545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 ) )  =  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) ) )
17393, 94, 172sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  =  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) ) )
17496rpred 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR )
175119rpred 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  RR )
176174, 118ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  <  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
177 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
17884, 90, 177sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
179175, 178ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
18087recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  CC )
181119rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  CC )
182180, 181addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
18315, 182syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  =  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
184179, 183breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  W )
185175, 17, 22, 184, 23ltletrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  Z )
186174, 175, 22, 176, 185lttrd 9796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  <  Z )
187 logltb 23549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+  /\  Z  e.  RR+ )  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  < 
Z  <->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) ) )
18896, 24, 187syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  <  Z  <->  ( log `  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) ) )
189186, 188mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) )
190173, 189eqbrtrrd 4425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  < 
( log `  Z
) )
191 ltmuldiv2 10479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  Z )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) ) )
192169, 165, 74, 191syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) ) )
193190, 192mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) )
194169, 171, 161, 193ltdiv1dd 11395 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  < 
( ( ( log `  Z )  /  4
)  /  ( log `  K ) ) )
19588, 92relogmuld 23574 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X )  +  ( log `  ( K ^ 2 ) ) ) )
196 relogexp 23545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( K ^
2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )
19789, 90, 196sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  K
) ) )
198197oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  +  ( log `  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X
)  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) ) )
199195, 198eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) ) )
200199oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )  /  ( log `  K
) ) )
201158recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
202 2cnd 10682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
203161rpcnd 11343 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  CC )
204202, 203mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  K ) )  e.  CC )
205161rpcnne0d 11350 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  e.  CC  /\  ( log `  K )  =/=  0 ) )
206 divdir 10293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  X
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( log `  K ) )  e.  CC  /\  (
( log `  K
)  e.  CC  /\  ( log `  K )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) )  / 
( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) ) )
207201, 204, 205, 206syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )  /  ( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) ) )
208205simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  =/=  0 )
209202, 203, 208divcan4d 10389 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) )  =  2 )
210209oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
211200, 207, 2103eqtrd 2489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
212165recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
213 rpcnne0 11319 . . . . . . 7  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
21448, 213mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
215 divdiv32 10315 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( log `  K )  e.  CC  /\  ( log `  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( log `  Z
)  /  4 )  /  ( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) )
216212, 214, 205, 215syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  4
)  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
217194, 211, 2163brtr3d 4432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  < 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
218164, 168, 217ltled 9783 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
219115rpred 11341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  RR )
220108, 103rpdivcld 11358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  e.  RR+ )
221220rpred 11341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  e.  RR )
222221, 165remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  x.  ( log `  Z
) )  e.  RR )
223115rpcnd 11343 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC )
224108rpcnne0d 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
225103rpcnne0d 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )
226 divdiv2 10319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC  /\  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  / 
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) ) )
227223, 224, 225, 226syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) ) )
228103rpcnd 11343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (; 3 2  x.  B
)  e.  CC )
229223, 228mulcomd 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B ) )  =  ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) ) )
230229oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) ) )
231 div23 10289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC  /\  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
(; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
232228, 223, 224, 231syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
233227, 230, 2323eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
234117reefcld 14142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  e.  RR )
235234, 96ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
236234, 175, 22, 235, 185lttrd 9796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
Z )
23724reeflogd 23573 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  Z ) )  =  Z )
238236, 237breqtrrd 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) )
239 eflt 14171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR  /\  ( log `  Z
)  e.  RR )  ->  ( ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  <  ( log `  Z )  <->  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) ) )
240117, 165, 239syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( (; 3
2  x.  B )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( U  x.  3 )  +  C ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) ) )
241238, 240mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  <  ( log `  Z ) )
242233, 241eqbrtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  < 
( log `  Z
) )
243219, 165, 220ltdivmuld 11389 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  / 
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  < 
( log `  Z
)  <->  ( ( U  x.  3 )  +  C )  <  (
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) ) )
244242, 243mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <  ( (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) )
245219, 222, 244ltled 9783 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) )
246104rpcnd 11343 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  CC )
247107rpcnd 11343 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
248 divass 10288 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  -  E
)  e.  CC  /\  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
(; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  =  ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) ) )
249246, 247, 225, 248syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  =  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) ) )
250249oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  x.  ( log `  Z
) )  =  ( ( ( U  -  E )  x.  (
( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) )
251245, 250breqtrd 4427 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) )
252157, 218, 2513jca 1188 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
( L  x.  E
) )  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
25324, 156, 2523jca 1188 1  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   ZZcz 10937  ;cdc 11051   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   expce 14114   _eceu 14115   logclog 23504  ψcchp 24019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-e 14122  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506
This theorem is referenced by:  pntlemg  24436  pntlemh  24437  pntlemn  24438  pntlemq  24439  pntlemr  24440  pntlemj  24441  pntlemf  24443  pntlemk  24444  pntlemo  24445
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