Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlema Structured version   Unicode version

Theorem pntlema 24162
 Description: Lemma for pnt 24180. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for . For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, is x2, is x1, is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
Assertion
Ref Expression
pntlema
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlema
StepHypRef Expression
1 pntlem1.w . 2 ;
2 pntlem1.y . . . . . 6
32simpld 457 . . . . 5
4 4nn 10736 . . . . . . 7
5 nnrp 11274 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6
7 pntlem1.r . . . . . . . . 9 ψ
8 pntlem1.a . . . . . . . . 9
9 pntlem1.b . . . . . . . . 9
10 pntlem1.l . . . . . . . . 9
11 pntlem1.d . . . . . . . . 9
12 pntlem1.f . . . . . . . . 9 ;
137, 8, 9, 10, 11, 12pntlemd 24160 . . . . . . . 8
1413simp1d 1009 . . . . . . 7
15 pntlem1.u . . . . . . . . 9
16 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9
17 pntlem1.e . . . . . . . . 9
18 pntlem1.k . . . . . . . . 9
197, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18pntlemc 24161 . . . . . . . 8
2019simp1d 1009 . . . . . . 7
2114, 20rpmulcld 11320 . . . . . 6
22 rpdivcl 11288 . . . . . 6
236, 21, 22sylancr 661 . . . . 5
243, 23rpaddcld 11319 . . . 4
25 2z 10937 . . . 4
26 rpexpcl 12229 . . . 4
2724, 25, 26sylancl 660 . . 3
28 pntlem1.x . . . . . . 7
2928simpld 457 . . . . . 6
3019simp2d 1010 . . . . . . 7
31 rpexpcl 12229 . . . . . . 7
3230, 25, 31sylancl 660 . . . . . 6
3329, 32rpmulcld 11320 . . . . 5
34 4z 10939 . . . . 5
35 rpexpcl 12229 . . . . 5
3633, 34, 35sylancl 660 . . . 4
37 3nn0 10854 . . . . . . . . . . 11
38 2nn 10734 . . . . . . . . . . 11
3937, 38decnncl 11032 . . . . . . . . . 10 ;
40 nnrp 11274 . . . . . . . . . 10 ; ;
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ;
42 rpmulcl 11287 . . . . . . . . 9 ; ;
4341, 9, 42sylancr 661 . . . . . . . 8 ;
4419simp3d 1011 . . . . . . . . . 10
4544simp3d 1011 . . . . . . . . 9
46 rpexpcl 12229 . . . . . . . . . . 11
4720, 25, 46sylancl 660 . . . . . . . . . 10
4814, 47rpmulcld 11320 . . . . . . . . 9
4945, 48rpmulcld 11320 . . . . . . . 8
5043, 49rpdivcld 11321 . . . . . . 7 ;
51 3nn 10735 . . . . . . . . . 10
52 nnrp 11274 . . . . . . . . . 10
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9
54 rpmulcl 11287 . . . . . . . . 9
5515, 53, 54sylancl 660 . . . . . . . 8
56 pntlem1.c . . . . . . . 8
5755, 56rpaddcld 11319 . . . . . . 7
5850, 57rpmulcld 11320 . . . . . 6 ;
5958rpred 11304 . . . . 5 ;
6059rpefcld 14049 . . . 4 ;
6136, 60rpaddcld 11319 . . 3 ;
6227, 61rpaddcld 11319 . 2 ;
631, 62syl5eqel 2494 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   class class class wbr 4395   cmpt 4453  cfv 5569  (class class class)co 6278  cc0 9522  c1 9523   caddc 9525   cmul 9527   clt 9658   cle 9659   cmin 9841   cdiv 10247  cn 10576  c2 10626  c3 10627  c4 10628  cz 10905  ;cdc 11019  crp 11265  cioo 11582  cexp 12210  ce 14006  ψcchp 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012 This theorem is referenced by:  pntlemb  24163  pntleme  24174
 Copyright terms: Public domain W3C validator