Theorem pntlem3 24526

Description: Lemma for pnt 24531. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem3.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem3.A	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntlem3.1	|- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
pntlem3.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem3.3	|- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
pntlem3	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Distinct variable groups:   x, t, y, z, A   u, a, x, y, z   u, C   u, t, R, x, y, z   t, a   u, T, x   ph, t, x, y, u, z

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( u, a)   C( x, y, z, t, a)   R( a)   T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3

Dummy variables s w p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11335	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	subcn 21976	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
5		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
6		cncfmptid 22022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
7	5, 5, 6	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		pntlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR+ )
10	9	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> C e. RR+ )
11	10	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> C e. CC )
12	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> CC C_ CC )
13		cncfmptc 22021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
14	11, 12, 12, 13	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15		3nn0 10911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. NN0
16	2	expcn 21982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. NN0 -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
17	15, 16	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
18	2	cncfcn1 22020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
19	17, 18	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	14, 19	mulcncf 22476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
21	2, 4, 8, 20	cncfmpt2f 22024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
22		pntlem3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
23		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } C_ ( 0 [,] A )
24	22, 23	eqsstri 3448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ ( 0 [,] A )
25		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
26		pntlem3.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR+ )
27	26	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
28		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
29	25, 27, 28	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
30	24, 29	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ RR )
31		0xr 9705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR*
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 e. RR* )
33	26	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
34	26	rpge0d 11368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ A )
35		ubicc2 11775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A e. ( 0 [,] A ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. ( 0 [,] A ) )
37		1rp 11329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR+
38		1re 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
39		elicopnf 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. RR -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
41	40	simprbda 635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR )
42		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
43	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
44		0lt1 10157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 1
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < 1 )
46	40	simplbda 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ z )
47	42, 43, 41, 45, 46	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < z )
48	41, 47	elrpd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR+ )
49		pntlem3.A	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
50	49	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
51		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( R ` x ) = ( R ` z ) )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> x = z )
53	51, 52	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( R ` z ) / z ) )
54	53	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) = ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) )
55	54	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
56	55	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
57	48, 50, 56	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
58	57	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
59		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 1 -> ( y [,) +oo ) = ( 1 [,) +oo ) )
60	59	raleqdv 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 1 -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A <-> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
61	60	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
62	37, 58, 61	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
63		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = A -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
64	63	rexralbidv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = A -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
65	64, 22	elrab2 3186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. T <-> ( A e. ( 0 [,] A ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
66	36, 62, 65	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. T )
67		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. T -> T =/= (/) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
69		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
70	25, 27, 69	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
71	70	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) )
72	71	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> 0 <_ t )
73	72	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
74	73	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
75	22	raleqi 2977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w )
76		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = t -> ( 0 <_ w <-> 0 <_ t ) )
77	76	ralrab2 3192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
78	75, 77	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
79	74, 78	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. w e. T 0 <_ w )
80		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
81	80	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( A. w e. T x <_ w <-> A. w e. T 0 <_ w ) )
82	81	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. T 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
83	25, 79, 82	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
84		infrecl 10612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
85	30, 68, 83, 84	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
86	85	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
87	86	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
88		elrp 11327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (inf ( T , RR , < ) e. RR+ <-> (inf ( T , RR , < ) e. RR /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
89	88	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (inf ( T , RR , < ) e. RR /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR+ )
90	85, 89	sylan 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR+ )
91		3z 10994	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. ZZ
92		rpexpcl 12329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (inf ( T , RR , < ) e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR+ )
93	90, 91, 92	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR+ )
94	10, 93	rpmulcld 11380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR+ )
95		cncfi 22004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) /\ inf ( T , RR , < ) e. CC /\ ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
96	21, 87, 94, 95	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
97	85	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
98		rphalfcl 11350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) e. RR+ )
99	98	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR+ )
100	97, 99	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) )
101	99	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR )
102	97, 101	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
103	97, 102	ltnled 9799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
104	100, 103	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) )
105		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
106	30, 105	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ CC )
107	106	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ CC )
108		ssralv 3479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T C_ CC -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
110	30	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
111	110	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. RR )
112	102	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
113	111, 112	ltnled 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
114	85	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
115	101	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) e. RR )
116	114, 115	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) e. RR )
117	97, 99	ltsubrpd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < inf ( T , RR , < ) )
118	117	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < inf ( T , RR , < ) )
119	30	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> T C_ RR )
120	83	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
121		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. T )
122		infrelb 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ u )
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ u )
124	116, 114, 111, 118, 123	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u )
125	111, 114, 115	absdifltd 13572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) <-> ( (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) ) ) )
126	125	biimprd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
127	124, 126	mpand 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
128		rphalflt 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) < s )
129	128	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) < s )
130	111, 114	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - inf ( T , RR , < ) ) e. RR )
131	130	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - inf ( T , RR , < ) ) e. CC )
132	131	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) e. RR )
133		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
134	133	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> s e. RR )
135		lttr 9728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) e. RR /\ ( s / 2 ) e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
136	132, 115, 134, 135	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
137	129, 136	mpan2d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
138	127, 137	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
139	113, 138	sylbird 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
140	139	con1d 129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
141	111	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. CC )
142		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> p = u )
143		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = u -> ( p ^ 3 ) = ( u ^ 3 ) )
144	143	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. ( u ^ 3 ) ) )
145	142, 144	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = u -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
146		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) = ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) )
147		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. _V
148	145, 146, 147	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
149	141, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
150	87	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
151		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> p = inf ( T , RR , < ) )
152		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( p ^ 3 ) = (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) )
153	152	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) )
154	151, 153	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
155		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) e. _V
156	154, 146, 155	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (inf ( T , RR , < ) e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
157	150, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
158	149, 157	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) = ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
159	158	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
160	159	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) <-> ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
161	9	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
162	161	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> C e. RR )
163		reexpcl 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
164	111, 15, 163	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
165	162, 164	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( u ^ 3 ) ) e. RR )
166	111, 165	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. RR )
167	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> 3 e. NN0 )
168	114, 167	reexpcld 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR )
169	162, 168	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR )
170	114, 169	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) e. RR )
171	166, 170, 169	absdifltd 13572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) <-> ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
172	169	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. CC )
173	150, 172	npcand 10009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) = inf ( T , RR , < ) )
174	173	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) <-> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) ) )
175		pntlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
176	175	ad4ant14 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
177		infrelb 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
178	119, 120, 176, 177	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
179	114, 166, 178	lensymd 9803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> -. ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) )
180	179	pm2.21d 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
181	174, 180	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
182	181	adantld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
183	171, 182	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
184	160, 183	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
185	140, 184	jad 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
186	185	ralimdva 2805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
187	68	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
188	83	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
189		infregelb 10616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR ) -> ( (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
190	110, 187, 188, 102, 189	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
191	186, 190	sylibrd 242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
192	109, 191	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
193	104, 192	mtod 182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
194	193	nrexdv 2842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> -. E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
195	96, 194	pm2.65da 586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 < inf ( T , RR , < ) )
196	195	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. 0 < inf ( T , RR , < ) )
197	30	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
198	68	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
199	83	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
200	133	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> s e. RR )
201		infregelb 10616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ s e. RR ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
202	197, 198, 199, 200, 201	syl31anc 1295	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
203	22	raleqi 2977	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w )
204		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = t -> ( s <_ w <-> s <_ t ) )
205	204	ralrab2 3192	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
206	203, 205	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
207	202, 206	syl6bb 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) ) )
208		rpgt0 11336	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR+ -> 0 < s )
209	208	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 < s )
210		0red 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 e. RR )
211	85	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
212		ltletr 9743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ s e. RR /\ inf ( T , RR , < ) e. RR ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ inf ( T , RR , < ) ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
213	210, 200, 211, 212	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ inf ( T , RR , < ) ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
214	209, 213	mpand 689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
215	207, 214	sylbird 243	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
216	196, 215	mtod 182	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
217		rexanali 2839	. . . . . 6 |- ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) <-> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
218	216, 217	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) )
219		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( R ` z ) = ( R ` x ) )
220		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> z = x )
221	219, 220	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( R ` z ) / z ) = ( ( R ` x ) / x ) )
222	221	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
223	222	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
224	223	cbvralv 3005	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t )
225		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
226	225	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. RR )
227		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y <_ x )
228		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR+ )
229	228	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR )
230		elicopnf 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
231	229, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
232	226, 227, 231	mpbir2and 936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. ( y [,) +oo ) )
233		pntlem3.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
234	233	pntrval 24479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
235	234	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
236	235	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) )
237		chpcl 24130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
238	226, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
239	238	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
240		rpcn 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
241	240	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. CC )
242		rpne0 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
243	242	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x =/= 0 )
244	239, 241, 241, 243	divsubdird 10444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) )
245	241, 243	dividd 10403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x / x ) = 1 )
246	245	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
247	236, 244, 246	3eqtrrd 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) = ( ( R ` x ) / x ) )
248	247	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
249	248	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
250		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> -. s <_ t )
251	250	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> -. s <_ t )
252	29	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
253	252	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
254		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
255	254	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
256	253, 255	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. RR )
257		simp-4r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR+ )
258	257	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR )
259	256, 258	ltnled 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( t < s <-> -. s <_ t ) )
260	251, 259	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t < s )
261	225, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. RR )
262		rerpdivcl 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (ψ ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
263	261, 262	mpancom 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
264	263	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
265		resubcl 9958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( (ψ ` x ) / x ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
266	264, 38, 265	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
267	266	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. CC )
268	267	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR )
269		lelttr 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR /\ t e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
270	268, 256, 258, 269	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
271	260, 270	mpan2d 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
272	249, 271	sylbird 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
273	232, 272	embantd 55	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
274	273	exp32 616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y <_ x -> ( x e. RR+ -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
275	274	com24 89	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( x e. RR+ -> ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
276	275	ralimdv2 2804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
277	224, 276	syl5bi 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
278	277	reximdva 2858	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
279	278	anassrs 660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ -. s <_ t ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
280	279	impancom 447	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t ) -> ( -. s <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
281	280	expimpd 614	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
282	281	rexlimdva 2871	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
283	218, 282	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
284		ssrexv 3480	. . . 4 |- ( RR+ C_ RR -> ( E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
285	1, 283, 284	mpsyl 64	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
286	285	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
287	263	recnd 9687	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
288	287	rgen 2766	. . . 4 |- A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC
289	288	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
290	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
291		1cnd 9677	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
292	289, 290, 291	rlim2 13637	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 <-> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
293	286, 292	mpbird 240	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   2c2 10681   3c3 10682   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   abscabs 13374   ~~> r crli 13626   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047   Cn ccn 20317   tX ctx 20652   -cn->ccncf 21986  ψcchp 24098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-vma 24103  df-chp 24104

This theorem is referenced by:  pntleml  24528