MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pntlem3 24526
Description: Lemma for pnt 24531. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlem3.1  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
pntlem3.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem3.3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
Assertion
Ref Expression
pntlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, A    u, a, x, y, z    u, C    u, t, R, x, y, z    t, a   
u, T, x    ph, t, x, y, u, z
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( u, a)    C( x, y, z, t, a)    R( a)    T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3
Dummy variables  s  w  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 11335 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32subcn 21976 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
5 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
6 cncfmptid 22022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
75, 5, 6mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC )
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9 pntlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  C  e.  RR+ )
1110rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  C  e.  CC )
125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  CC  C_  CC )
13 cncfmptc 22021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1411, 12, 12, 13syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
15 3nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN0
162expcn 21982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1715, 16mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
182cncfcn1 22020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1917, 18syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
2014, 19mulcncf 22476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
212, 4, 8, 20cncfmpt2f 22024 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
22 pntlem3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
23 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  C_  ( 0 [,] A
)
2422, 23eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  ( 0 [,] A
)
25 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
26 pntlem3.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2726rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
28 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
2925, 27, 28sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
3024, 29syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  RR )
31 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
3326rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3426rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
35 ubicc2 11775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,] A
) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] A ) )
37 1rp 11329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
38 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
39 elicopnf 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_ 
z ) ) )
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_  z ) ) )
4140simprbda 635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR )
42 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
4338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
44 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  1
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  1 )
4640simplbda 636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  z )
4742, 43, 41, 45, 46ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  z )
4841, 47elrpd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR+ )
49 pntlem3.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
51 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( R `  x )  =  ( R `  z ) )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
5351, 52oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 z )  / 
z ) )
5453fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
5554breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
5655rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  ->  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
5748, 50, 56sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  <_  A )
5857ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
59 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  1  ->  (
y [,) +oo )  =  ( 1 [,) +oo ) )
6059raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  1  ->  ( A. z  e.  (
y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A  <->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6160rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
6237, 58, 61sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A )
63 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  A  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
6463rexralbidv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  A  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6564, 22elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  T  <->  ( A  e.  ( 0 [,] A
)  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6636, 62, 65sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  T )
67 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
69 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7025, 27, 69sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7170biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) )
7271simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  0  <_  t )
7372a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7473ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7522raleqi 2977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } 0  <_  w )
76 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  t  ->  (
0  <_  w  <->  0  <_  t ) )
7776ralrab2 3192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7875, 77bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7974, 78sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. w  e.  T 
0  <_  w )
80 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8180ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  T  x  <_  w  <->  A. w  e.  T  0  <_  w ) )
8281rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  T  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
8325, 79, 82sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
84 infrecl 10612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8530, 68, 83, 84syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8685recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC )
8786adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC )
88 elrp 11327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+  <->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
8988biimpri 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  )
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
9085, 89sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
91 3z 10994 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ZZ
92 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 )  e.  RR+ )
9390, 91, 92sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 )  e.  RR+ )
9410, 93rpmulcld 11380 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR+ )
95 cncfi 22004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\ inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC  /\  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9621, 87, 94, 95syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9785ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
98 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( s  /  2
)  e.  RR+ )
10097, 99ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) ) )
10199rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( s  /  2
)  e.  RR )
10297, 101readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
10397, 102ltnled 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  < 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <->  -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
104100, 103mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) )
105 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
10630, 105syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
107106ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  CC )
108 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T 
C_  CC  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
11030ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
111110sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  u  e.  RR )
112102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  e.  RR )
113111, 112ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <->  -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
11485ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
115101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
116114, 115resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  e.  RR )
11797, 99ltsubrpd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2
) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
118117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
11930ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  T  C_  RR )
12083ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
121 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  u  e.  T )
122 infrelb 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  u )
123119, 120, 121, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  u )
124116, 114, 111, 118, 123ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  <  u )
125111, 114, 115absdifltd 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
)  <->  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  <  u  /\  u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) ) ) ) )
126125biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u  /\  u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
) ) )
127124, 126mpand 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
) ) )
128 rphalflt 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  < 
s )
129128ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( s  /  2 )  < 
s )
130111, 114resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
131130recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) )  e.  CC )
132131abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  e.  RR )
133 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
134133ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  s  e.  RR )
135 lttr 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  e.  RR  /\  ( s  /  2
)  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
)  /\  ( s  /  2 )  < 
s )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
136132, 115, 134, 135syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  (
s  /  2 )  /\  ( s  / 
2 )  <  s
)  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
137129, 136mpan2d 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
)  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
138127, 137syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
139113, 138sylbird 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  <  s ) )
140139con1d 129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( -.  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  <  s  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
141111recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  u  e.  CC )
142 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  p  =  u )
143 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  u  ->  (
p ^ 3 )  =  ( u ^
3 ) )
144143oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )
145142, 144oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  u  ->  (
p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) )  =  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) ) )
146 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  =  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )
147 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e. 
_V
148145, 146, 147fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
149141, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  =  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) ) )
15087ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC )
151 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  ->  p  = inf ( T ,  RR ,  <  )
)
152 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
( p ^ 3 )  =  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )
153152oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
( C  x.  (
p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )
154151, 153oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  =  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
155 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  e.  _V
156154, 146, 155fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC  ->  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) )  =  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
157150, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  )
)  =  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
158149, 157oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  =  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
159158fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  =  ( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
160159breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )  < 
( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
1619rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
162161ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  C  e.  RR )
163 reexpcl 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( u ^ 3 )  e.  RR )
164111, 15, 163sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u ^ 3 )  e.  RR )
165162, 164remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( C  x.  ( u ^ 3 ) )  e.  RR )
166111, 165resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e.  RR )
16715a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  3  e.  NN0 )
168114, 167reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 )  e.  RR )
169162, 168remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^
3 ) )  e.  RR )
170114, 169resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  e.  RR )
171166, 170, 169absdifltd 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  <  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  <  (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
172169recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^
3 ) )  e.  CC )
173150, 172npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  = inf ( T ,  RR ,  <  ) )
174173breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  <  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  <->  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
175 pntlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
176175ad4ant14 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e.  T )
177 infrelb 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
178119, 120, 176, 177syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
179114, 166, 178lensymd 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  -.  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
180179pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
181174, 180sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  <  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
182181adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  <  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  <  (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
183171, 182sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
184160, 183sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
185140, 184jad 167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
186185ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
18768ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
18883ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
189 infregelb 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  / 
2 ) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. u  e.  T  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
190110, 187, 188, 102, 189syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  / 
2 ) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. u  e.  T  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
191186, 190sylibrd 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
192109, 191syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
193104, 192mtod 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
194193nrexdv 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  -.  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
19596, 194pm2.65da 586 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
196195adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
19730adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
19868adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
19983adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
200133adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR )
201 infregelb 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  s  e.  RR )  ->  (
s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
202197, 198, 199, 200, 201syl31anc 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
20322raleqi 2977 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } s  <_  w )
204 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  t  ->  (
s  <_  w  <->  s  <_  t ) )
205204ralrab2 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
206203, 205bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
207202, 206syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) ) )
208 rpgt0 11336 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  < 
s )
209208adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  <  s )
210 0red 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
21185adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
212 ltletr 9743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\ inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  s  /\  s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) )  -> 
0  < inf ( T ,  RR ,  <  )
) )
213210, 200, 211, 212syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
0  <  s  /\  s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
214209, 213mpand 689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  ->  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
215207, 214sylbird 243 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t )  ->  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
216196, 215mtod 182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
217 rexanali 2839 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  <->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
218216, 217sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t ) )
219 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( R `  z )  =  ( R `  x ) )
220 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
221219, 220oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 x )  /  x ) )
222221fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) ) )
223222breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
224223cbvralv 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  <->  A. x  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  t )
225 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
226225ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  RR )
227 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  <_  x )
228 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
229228rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR )
230 elicopnf 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( y [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x ) ) )
231229, 230syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  ( y [,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x )
) )
232226, 227, 231mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( y [,) +oo ) )
233 pntlem3.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
234233pntrval 24479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
235234ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
236235oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( R `  x )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  -  x )  /  x ) )
237 chpcl 24130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
238226, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
239238recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
240 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
241240ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  CC )
242 rpne0 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
243242ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  =/=  0 )
244239, 241, 241, 243divsubdird 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  -  x )  /  x
)  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) ) )
245241, 243dividd 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
246245oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )
247236, 244, 2463eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  =  ( ( R `  x )  /  x ) )
248247fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  =  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) ) )
249248breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
250 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  -.  s  <_  t )
251250ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  -.  s  <_  t )
25229ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
253252ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
254 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
t  e.  ( 0 [,] A ) )
255254adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  ( 0 [,] A
) )
256253, 255sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  RR )
257 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR+ )
258257rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR )
259256, 258ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( t  <  s  <->  -.  s  <_  t ) )
260251, 259mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  <  s )
261225, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
262 rerpdivcl 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
263261, 262mpancom 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
264263ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
265 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  /  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 )  e.  RR )
266264, 38, 265sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  RR )
267266recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  CC )
268267abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  e.  RR )
269 lelttr 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  e.  RR  /\  t  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
270268, 256, 258, 269syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
271260, 270mpan2d 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) )
272249, 271sylbird 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
273232, 272embantd 55 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
x  e.  ( y [,) +oo )  -> 
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
274273exp32 616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  <_  x  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  ( y [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
275274com24 89 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  ( y [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
276275ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
277224, 276syl5bi 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
278277reximdva 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
279278anassrs 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  -.  s  <_ 
t )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
280279impancom 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t )  ->  ( -.  s  <_ 
t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
281280expimpd 614 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
282281rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
283218, 282mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
284 ssrexv 3480 . . . 4  |-  ( RR+  C_  RR  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
2851, 283, 284mpsyl 64 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
286285ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
287263recnd 9687 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
288287rgen 2766 . . . 4  |-  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC
289288a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x )  e.  CC )
2901a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
291 1cnd 9677 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
292289, 290, 291rlim2 13637 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
293286, 292mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   3c3 10682   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   abscabs 13374    ~~> r crli 13626   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047    Cn ccn 20317    tX ctx 20652   -cn->ccncf 21986  ψcchp 24098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-vma 24103  df-chp 24104
This theorem is referenced by:  pntleml  24528
  Copyright terms: Public domain W3C validator