Theorem pntlem3 21256

Description: Lemma for pnt 21261. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem3.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem3.A	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntlem3.1	|- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
pntlem3.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem3.3	|- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
pntlem3	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Distinct variable groups:   x, t, y, z, A   u, a, x, y, z   u, C   u, t, R, x, y, z   t, a   u, T, x   ph, t, x, y, u, z

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( u, a)   C( x, y, z, t, a)   R( a)   T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3

Dummy variables s w p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 10578	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	subcn 18849	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
5		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
6		cncfmptid 18895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
7	5, 5, 6	mp2an 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9	2	mulcn 18850	. . . . . . . . . . . . 13 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
11		pntlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR+ )
12	11	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> C e. RR+ )
13	12	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> C e. CC )
14	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> CC C_ CC )
15		cncfmptc 18894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	13, 14, 14, 15	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17		3nn0 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. NN0
18	2	expcn 18855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. NN0 -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
19	17, 18	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
20	2	cncfcn1 18893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
21	19, 20	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
22	2, 10, 16, 21	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
23	2, 4, 8, 22	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
24		pntlem3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
25		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } C_ ( 0 [,] A )
26	24, 25	eqsstri 3338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ ( 0 [,] A )
27		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
28		pntlem3.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR+ )
29	28	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
30		iccssre 10948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
31	27, 29, 30	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
32	26, 31	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ RR )
33		0xr 9087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 e. RR* )
35	28	rpxrd 10605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
36	28	rpge0d 10608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ A )
37		ubicc2 10970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A e. ( 0 [,] A ) )
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. ( 0 [,] A ) )
39		1rp 10572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR+
40		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
41		elicopnf 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. RR -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
42	40, 41	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
43	42	simprbda 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR )
44	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
45	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
46		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < 1 )
48	42	simplbda 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ z )
49	44, 45, 43, 47, 48	ltletrd 9186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < z )
50	43, 49	elrpd 10602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR+ )
51		pntlem3.A	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
52	51	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
53		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( R ` x ) = ( R ` z ) )
54		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> x = z )
55	53, 54	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( R ` z ) / z ) )
56	55	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) = ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) )
57	56	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
58	57	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
59	50, 52, 58	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
60	59	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
61		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 1 -> ( y [,) +oo ) = ( 1 [,) +oo ) )
62	61	raleqdv 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 1 -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A <-> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
63	62	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
64	39, 60, 63	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
65		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = A -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
66	65	rexralbidv 2710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = A -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
67	66, 24	elrab2 3054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. T <-> ( A e. ( 0 [,] A ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
68	38, 64, 67	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. T )
69		ne0i 3594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. T -> T =/= (/) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
71		elicc2 10931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
72	27, 29, 71	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
73	72	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) )
74	73	simp2d 970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> 0 <_ t )
75	74	a1d 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
76	75	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
77	24	raleqi 2868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w )
78		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = t -> ( 0 <_ w <-> 0 <_ t ) )
79	78	ralrab2 3060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
80	77, 79	bitri 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
81	76, 80	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. w e. T 0 <_ w )
82		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
83	82	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( A. w e. T x <_ w <-> A. w e. T 0 <_ w ) )
84	83	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. T 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
85	27, 81, 84	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
86		infmrcl 9943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
87	32, 70, 85, 86	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
88	87	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) e. CC )
89	88	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. CC )
90		elrp 10570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ <-> ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
91	90	biimpri 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ )
92	87, 91	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ )
93	17	nn0zi 10262	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. ZZ
94		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) e. RR+ )
95	92, 93, 94	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) e. RR+ )
96	12, 95	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. RR+ )
97		cncfi 18877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) /\ sup ( T , RR , `' < ) e. CC /\ ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
98	23, 89, 96, 97	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
99	87	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
100		rphalfcl 10592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) e. RR+ )
101	100	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR+ )
102	99, 101	ltaddrpd 10633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> sup ( T , RR , `' < ) < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) )
103	101	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR )
104	99, 103	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
105	99, 104	ltnled 9176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) ) )
106	102, 105	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) )
107		ax-resscn 9003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
108	32, 107	syl6ss 3320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ CC )
109	108	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ CC )
110		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T C_ CC -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) )
111	109, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) )
112	32	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
113	112	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. RR )
114	104	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
115	113, 114	ltnled 9176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
116	87	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
117	103	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) e. RR )
118	116, 117	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) e. RR )
119	99, 101	ltsubrpd 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < sup ( T , RR , `' < ) )
120	119	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < sup ( T , RR , `' < ) )
121	32	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> T C_ RR )
122	85	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
123		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. T )
124		infmrlb 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ u )
125	121, 122, 123, 124	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ u )
126	118, 116, 113, 120, 125	ltletrd 9186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < u )
127	113, 116, 117	absdifltd 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) <-> ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) ) ) )
128	127	biimprd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
129	126, 128	mpand 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
130		rphalflt 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) < s )
131	130	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) < s )
132	113, 116	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) e. RR )
133	132	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) e. CC )
134	133	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) e. RR )
135		rpre 10574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
136	135	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> s e. RR )
137		lttr 9108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) e. RR /\ ( s / 2 ) e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
138	134, 117, 136, 137	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
139	131, 138	mpan2d 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
140	129, 139	syld 42	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
141	115, 140	sylbird 227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
142	141	con1d 118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
143	113	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. CC )
144		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> p = u )
145		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = u -> ( p ^ 3 ) = ( u ^ 3 ) )
146	145	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. ( u ^ 3 ) ) )
147	144, 146	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = u -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
148		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) = ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) )
149		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. _V
150	147, 148, 149	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
151	143, 150	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
152	89	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. CC )
153		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> p = sup ( T , RR , `' < ) )
154		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> ( p ^ 3 ) = ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) )
155	154	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) )
156	153, 155	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
157		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) e. _V
158	156, 148, 157	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( sup ( T , RR , `' < ) e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) = ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
159	152, 158	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) = ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
160	151, 159	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) = ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) )
161	160	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
162	161	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) <-> ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
163	11	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
164	163	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> C e. RR )
165		reexpcl 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
166	113, 17, 165	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
167	164, 166	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( u ^ 3 ) ) e. RR )
168	113, 167	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. RR )
169	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> 3 e. NN0 )
170	116, 169	reexpcld 11495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) e. RR )
171	164, 170	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. RR )
172	116, 171	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) e. RR )
173	168, 172, 171	absdifltd 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) <-> ( ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
174	171	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. CC )
175	152, 174	npcand 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) = sup ( T , RR , `' < ) )
176	175	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) <-> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) ) )
177		simpll 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ph )
178		pntlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
179	177, 178	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
180		infmrlb 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
181	121, 122, 179, 180	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
182	116, 168	lenltd 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) <-> -. ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) ) )
183	181, 182	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> -. ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) )
184	183	pm2.21d 100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
185	176, 184	sylbid 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
186	185	adantld 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
187	173, 186	sylbid 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
188	162, 187	sylbid 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
189	142, 188	jad 156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
190	189	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
191	70	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
192	85	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
193		infmrgelb 9944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. u e. T ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
194	112, 191, 192, 104, 193	syl31anc 1187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. u e. T ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
195	190, 194	sylibrd 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) ) )
196	111, 195	syld 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) ) )
197	106, 196	mtod 170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
198	197	nrexdv 2769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> -. E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
199	98, 198	pm2.65da 560	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 < sup ( T , RR , `' < ) )
200	199	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. 0 < sup ( T , RR , `' < ) )
201	32	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
202	70	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
203	85	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
204	135	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> s e. RR )
205		infmrgelb 9944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ s e. RR ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
206	201, 202, 203, 204, 205	syl31anc 1187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
207	24	raleqi 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w )
208		breq2 4176	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = t -> ( s <_ w <-> s <_ t ) )
209	208	ralrab2 3060	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
210	207, 209	bitri 241	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
211	206, 210	syl6bb 253	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) ) )
212		rpgt0 10579	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR+ -> 0 < s )
213	212	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 < s )
214	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 e. RR )
215	87	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
216		ltletr 9122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ s e. RR /\ sup ( T , RR , `' < ) e. RR ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ sup ( T , RR , `' < ) ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
217	214, 204, 215, 216	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ sup ( T , RR , `' < ) ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
218	213, 217	mpand 657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
219	211, 218	sylbird 227	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
220	200, 219	mtod 170	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
221		rexanali 2712	. . . . . 6 |- ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) <-> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
222	220, 221	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) )
223		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( R ` z ) = ( R ` x ) )
224		id 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> z = x )
225	223, 224	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( R ` z ) / z ) = ( ( R ` x ) / x ) )
226	225	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
227	226	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
228	227	cbvralv 2892	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t )
229		rpre 10574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
230	229	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. RR )
231		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y <_ x )
232		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR+ )
233	232	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR )
234		elicopnf 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
235	233, 234	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
236	230, 231, 235	mpbir2and 889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. ( y [,) +oo ) )
237		pntlem3.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
238	237	pntrval 21209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
239	238	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
240	239	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) )
241		chpcl 20860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
242	230, 241	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
243	242	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
244		rpcn 10576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
245	244	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. CC )
246		rpne0 10583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
247	246	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x =/= 0 )
248	243, 245, 245, 247	divsubdird 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) )
249	245, 247	dividd 9744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x / x ) = 1 )
250	249	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
251	240, 248, 250	3eqtrrd 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) = ( ( R ` x ) / x ) )
252	251	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
253	252	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
254		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> -. s <_ t )
255	254	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> -. s <_ t )
256	31	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
257	256	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
258		simplrl 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
259	258	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
260	257, 259	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. RR )
261		simp-4r 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR+ )
262	261	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR )
263	260, 262	ltnled 9176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( t < s <-> -. s <_ t ) )
264	255, 263	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t < s )
265	229, 241	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. RR )
266		rerpdivcl 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (ψ ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
267	265, 266	mpancom 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
268	267	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
269		resubcl 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( (ψ ` x ) / x ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
270	268, 40, 269	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
271	270	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. CC )
272	271	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR )
273		lelttr 9121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR /\ t e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
274	272, 260, 262, 273	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
275	264, 274	mpan2d 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
276	253, 275	sylbird 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
277	236, 276	embantd 52	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
278	277	exp32 589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y <_ x -> ( x e. RR+ -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
279	278	com24 83	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( x e. RR+ -> ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
280	279	ralimdv2 2746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
281	228, 280	syl5bi 209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
282	281	reximdva 2778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
283	282	anassrs 630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ -. s <_ t ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
284	283	impancom 428	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t ) -> ( -. s <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
285	284	expimpd 587	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
286	285	rexlimdva 2790	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
287	222, 286	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
288		ssrexv 3368	. . . 4 |- ( RR+ C_ RR -> ( E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
289	1, 287, 288	mpsyl 61	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
290	289	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
291	267	recnd 9070	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
292	291	rgen 2731	. . . 4 |- A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC
293	292	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
294	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
295		ax-1cn 9004	. . . 4 |- 1 e. CC
296	295	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
297	293, 294, 296	rlim2 12245	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 <-> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
298	290, 297	mpbird 224	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ^cexp 11337   abscabs 11994   ~~> r crli 12234   TopOpenctopn 13604  ℂ_fldccnfld 16658   Cn ccn 17242   tX ctx 17545   -cn->ccncf 18859  ψcchp 20828

This theorem is referenced by:  pntleml  21258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-vma 20833  df-chp 20834