Theorem pntlem3 23522

Description: Lemma for pnt 23527. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem3.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem3.A	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntlem3.1	|- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
pntlem3.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem3.3	|- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
pntlem3	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Distinct variable groups:   x, t, y, z, A   u, a, x, y, z   u, C   u, t, R, x, y, z   t, a   u, T, x   ph, t, x, y, u, z

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( u, a)   C( x, y, z, t, a)   R( a)   T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3

Dummy variables s w p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11226	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	subcn 21105	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
5		ssid 3523	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
6		cncfmptid 21151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
7	5, 5, 6	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9	2	mulcn 21106	. . . . . . . . . . . . 13 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
11		pntlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR+ )
12	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> C e. RR+ )
13	12	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> C e. CC )
14	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> CC C_ CC )
15		cncfmptc 21150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	13, 14, 14, 15	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17		3nn0 10809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. NN0
18	2	expcn 21111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. NN0 -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
19	17, 18	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
20	2	cncfcn1 21149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
21	19, 20	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
22	2, 10, 16, 21	cncfmpt2f 21153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
23	2, 4, 8, 22	cncfmpt2f 21153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
24		pntlem3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
25		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } C_ ( 0 [,] A )
26	24, 25	eqsstri 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ ( 0 [,] A )
27		0re 9592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
28		pntlem3.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR+ )
29	28	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
30		iccssre 11602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
31	27, 29, 30	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
32	26, 31	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ RR )
33		0xr 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 e. RR* )
35	28	rpxrd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
36	28	rpge0d 11256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ A )
37		ubicc2 11633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A e. ( 0 [,] A ) )
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. ( 0 [,] A ) )
39		1rp 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR+
40		1re 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
41		elicopnf 11616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. RR -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
42	40, 41	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
43	42	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR )
44		0red 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
45	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
46		0lt1 10071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < 1 )
48	42	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ z )
49	44, 45, 43, 47, 48	ltletrd 9737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < z )
50	43, 49	elrpd 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR+ )
51		pntlem3.A	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
53		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( R ` x ) = ( R ` z ) )
54		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> x = z )
55	53, 54	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( R ` z ) / z ) )
56	55	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) = ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) )
57	56	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
58	57	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
59	50, 52, 58	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
60	59	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
61		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 1 -> ( y [,) +oo ) = ( 1 [,) +oo ) )
62	61	raleqdv 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 1 -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A <-> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
63	62	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
64	39, 60, 63	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
65		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = A -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
66	65	rexralbidv 2981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = A -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
67	66, 24	elrab2 3263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. T <-> ( A e. ( 0 [,] A ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
68	38, 64, 67	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. T )
69		ne0i 3791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. T -> T =/= (/) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
71		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
72	27, 29, 71	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
73	72	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) )
74	73	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> 0 <_ t )
75	74	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
76	75	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
77	24	raleqi 3062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w )
78		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = t -> ( 0 <_ w <-> 0 <_ t ) )
79	78	ralrab2 3269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
80	77, 79	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
81	76, 80	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. w e. T 0 <_ w )
82		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
83	82	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( A. w e. T x <_ w <-> A. w e. T 0 <_ w ) )
84	83	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. T 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
85	27, 81, 84	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
86		infmrcl 10518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
87	32, 70, 85, 86	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
88	87	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) e. CC )
89	88	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. CC )
90		elrp 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ <-> ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
91	90	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ )
92	87, 91	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ )
93		3z 10893	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. ZZ
94		rpexpcl 12149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sup ( T , RR , `' < ) e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) e. RR+ )
95	92, 93, 94	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) e. RR+ )
96	12, 95	rpmulcld 11268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. RR+ )
97		cncfi 21133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) /\ sup ( T , RR , `' < ) e. CC /\ ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
98	23, 89, 96, 97	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
99	87	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
100		rphalfcl 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) e. RR+ )
101	100	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR+ )
102	99, 101	ltaddrpd 11281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> sup ( T , RR , `' < ) < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) )
103	101	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR )
104	99, 103	readdcld 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
105	99, 104	ltnled 9727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) ) )
106	102, 105	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) )
107		ax-resscn 9545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
108	32, 107	syl6ss 3516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ CC )
109	108	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ CC )
110		ssralv 3564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T C_ CC -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) )
111	109, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) )
112	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
113	112	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. RR )
114	104	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
115	113, 114	ltnled 9727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
116	87	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
117	103	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) e. RR )
118	116, 117	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) e. RR )
119	99, 101	ltsubrpd 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < sup ( T , RR , `' < ) )
120	119	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < sup ( T , RR , `' < ) )
121	32	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> T C_ RR )
122	85	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
123		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. T )
124		infmrlb 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ u )
125	121, 122, 123, 124	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ u )
126	118, 116, 113, 120, 125	ltletrd 9737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < u )
127	113, 116, 117	absdifltd 13224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) <-> ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) ) ) )
128	127	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
129	126, 128	mpand 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
130		rphalflt 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) < s )
131	130	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) < s )
132	113, 116	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) e. RR )
133	132	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) e. CC )
134	133	abscld 13226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) e. RR )
135		rpre 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
136	135	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> s e. RR )
137		lttr 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) e. RR /\ ( s / 2 ) e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
138	134, 117, 136, 137	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
139	131, 138	mpan2d 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < ( s / 2 ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
140	129, 139	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
141	115, 140	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u -> ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s ) )
142	141	con1d 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
143	113	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. CC )
144		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> p = u )
145		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = u -> ( p ^ 3 ) = ( u ^ 3 ) )
146	145	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. ( u ^ 3 ) ) )
147	144, 146	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = u -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
148		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) = ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) )
149		ovex 6307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. _V
150	147, 148, 149	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
151	143, 150	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
152	89	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. CC )
153		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> p = sup ( T , RR , `' < ) )
154		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> ( p ^ 3 ) = ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) )
155	154	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) )
156	153, 155	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = sup ( T , RR , `' < ) -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
157		ovex 6307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) e. _V
158	156, 148, 157	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( sup ( T , RR , `' < ) e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) = ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
159	152, 158	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) = ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
160	151, 159	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) = ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) )
161	160	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
162	161	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) <-> ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
163	11	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
164	163	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> C e. RR )
165		reexpcl 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
166	113, 17, 165	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
167	164, 166	remulcld 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( u ^ 3 ) ) e. RR )
168	113, 167	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. RR )
169	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> 3 e. NN0 )
170	116, 169	reexpcld 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) e. RR )
171	164, 170	remulcld 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. RR )
172	116, 171	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) e. RR )
173	168, 172, 171	absdifltd 13224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) <-> ( ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
174	171	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) e. CC )
175	152, 174	npcand 9930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) = sup ( T , RR , `' < ) )
176	175	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) <-> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) ) )
177		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ph )
178		pntlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
179	177, 178	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
180		infmrlb 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
181	121, 122, 179, 180	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
182	116, 168	lenltd 9726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) <-> -. ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) ) )
183	181, 182	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> -. ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) )
184	183	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < sup ( T , RR , `' < ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
185	176, 184	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
186	185	adantld 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
187	173, 186	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - ( sup ( T , RR , `' < ) - ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
188	162, 187	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
189	142, 188	jad 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
190	189	ralimdva 2872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
191	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
192	85	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
193		infmrgelb 10519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. u e. T ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
194	112, 191, 192, 104, 193	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. u e. T ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
195	190, 194	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) ) )
196	111, 195	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) -> ( sup ( T , RR , `' < ) + ( s / 2 ) ) <_ sup ( T , RR , `' < ) ) )
197	106, 196	mtod 177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
198	197	nrexdv 2920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) -> -. E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - sup ( T , RR , `' < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` sup ( T , RR , `' < ) ) ) ) < ( C x. ( sup ( T , RR , `' < ) ^ 3 ) ) ) )
199	98, 198	pm2.65da 576	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 < sup ( T , RR , `' < ) )
200	199	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. 0 < sup ( T , RR , `' < ) )
201	32	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
202	70	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
203	85	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
204	135	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> s e. RR )
205		infmrgelb 10519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ s e. RR ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
206	201, 202, 203, 204, 205	syl31anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
207	24	raleqi 3062	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w )
208		breq2 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = t -> ( s <_ w <-> s <_ t ) )
209	208	ralrab2 3269	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
210	207, 209	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
211	206, 210	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) ) )
212		rpgt0 11227	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR+ -> 0 < s )
213	212	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 < s )
214		0red 9593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 e. RR )
215	87	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. RR )
216		ltletr 9672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ s e. RR /\ sup ( T , RR , `' < ) e. RR ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ sup ( T , RR , `' < ) ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
217	214, 204, 215, 216	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ sup ( T , RR , `' < ) ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
218	213, 217	mpand 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ sup ( T , RR , `' < ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
219	211, 218	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) -> 0 < sup ( T , RR , `' < ) ) )
220	200, 219	mtod 177	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
221		rexanali 2917	. . . . . 6 |- ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) <-> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
222	220, 221	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) )
223		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( R ` z ) = ( R ` x ) )
224		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> z = x )
225	223, 224	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( R ` z ) / z ) = ( ( R ` x ) / x ) )
226	225	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
227	226	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
228	227	cbvralv 3088	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t )
229		rpre 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
230	229	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. RR )
231		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y <_ x )
232		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR+ )
233	232	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR )
234		elicopnf 11616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
235	233, 234	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
236	230, 231, 235	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. ( y [,) +oo ) )
237		pntlem3.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
238	237	pntrval 23475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
239	238	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
240	239	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) )
241		chpcl 23126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
242	230, 241	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
243	242	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
244		rpcn 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
245	244	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. CC )
246		rpne0 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
247	246	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x =/= 0 )
248	243, 245, 245, 247	divsubdird 10355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) )
249	245, 247	dividd 10314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x / x ) = 1 )
250	249	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
251	240, 248, 250	3eqtrrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) = ( ( R ` x ) / x ) )
252	251	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
253	252	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
254		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> -. s <_ t )
255	254	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> -. s <_ t )
256	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
257	256	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
258		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
259	258	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
260	257, 259	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. RR )
261		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR+ )
262	261	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR )
263	260, 262	ltnled 9727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( t < s <-> -. s <_ t ) )
264	255, 263	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t < s )
265	229, 241	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. RR )
266		rerpdivcl 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (ψ ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
267	265, 266	mpancom 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
268	267	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
269		resubcl 9879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( (ψ ` x ) / x ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
270	268, 40, 269	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
271	270	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. CC )
272	271	abscld 13226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR )
273		lelttr 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR /\ t e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
274	272, 260, 262, 273	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
275	264, 274	mpan2d 674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
276	253, 275	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
277	236, 276	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
278	277	exp32 605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y <_ x -> ( x e. RR+ -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
279	278	com24 87	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( x e. RR+ -> ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
280	279	ralimdv2 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
281	228, 280	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
282	281	reximdva 2938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
283	282	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ -. s <_ t ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
284	283	impancom 440	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t ) -> ( -. s <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
285	284	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
286	285	rexlimdva 2955	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
287	222, 286	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
288		ssrexv 3565	. . . 4 |- ( RR+ C_ RR -> ( E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
289	1, 287, 288	mpsyl 63	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
290	289	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
291	267	recnd 9618	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
292	291	rgen 2824	. . . 4 |- A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC
293	292	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
294	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
295		1cnd 9608	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
296	293, 294, 295	rlim2 13278	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 <-> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
297	290, 296	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   2c2 10581   3c3 10582   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11216   [,)cico 11527   [,]cicc 11528   ^cexp 12130   abscabs 13026   ~~> r crli 13267   TopOpenctopn 14673  ℂ_fldccnfld 18191   Cn ccn 19491   tX ctx 19796   -cn->ccncf 21115  ψcchp 23094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-vma 23099  df-chp 23100

This theorem is referenced by:  pntleml  23524