MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlem3 Structured version   Unicode version

Theorem pntlem3 23920
Description: Lemma for pnt 23925. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlem3.1  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
pntlem3.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem3.3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
Assertion
Ref Expression
pntlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, A    u, a, x, y, z    u, C    u, t, R, x, y, z    t, a   
u, T, x    ph, t, x, y, u, z
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( u, a)    C( x, y, z, t, a)    R( a)    T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3
Dummy variables  s  w  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 11255 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32subcn 21496 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
6 cncfmptid 21542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
75, 5, 6mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC )
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9 pntlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  C  e.  RR+ )
1110rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  C  e.  CC )
125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  CC  C_  CC )
13 cncfmptc 21541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1411, 12, 12, 13syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
15 3nn0 10834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN0
162expcn 21502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1715, 16mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^
3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
182cncfcn1 21540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1917, 18syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^
3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
2014, 19mulcncf 21985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
212, 4, 8, 20cncfmpt2f 21544 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
22 pntlem3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
23 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  C_  ( 0 [,] A
)
2422, 23eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  ( 0 [,] A
)
25 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
26 pntlem3.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2726rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
28 iccssre 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
2925, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
3024, 29syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  RR )
31 0xr 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
3326rpxrd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3426rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
35 ubicc2 11662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,] A
) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] A ) )
37 1rp 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
38 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
39 elicopnf 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_ 
z ) ) )
4038, 39mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_  z ) ) )
4140simprbda 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR )
42 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
4338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
44 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  1
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  1 )
4640simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  z )
4742, 43, 41, 45, 46ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  z )
4841, 47elrpd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR+ )
49 pntlem3.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
51 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( R `  x )  =  ( R `  z ) )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
5351, 52oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 z )  / 
z ) )
5453fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
5554breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
5655rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  ->  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
5748, 50, 56sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  <_  A )
5857ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
59 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  1  ->  (
y [,) +oo )  =  ( 1 [,) +oo ) )
6059raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  1  ->  ( A. z  e.  (
y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A  <->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6160rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
6237, 58, 61sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A )
63 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  A  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
6463rexralbidv 2976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  A  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6564, 22elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  T  <->  ( A  e.  ( 0 [,] A
)  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6636, 62, 65sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  T )
67 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
69 elicc2 11614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7025, 27, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7170biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) )
7271simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  0  <_  t )
7372a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7473ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7522raleqi 3058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } 0  <_  w )
76 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  t  ->  (
0  <_  w  <->  0  <_  t ) )
7776ralrab2 3265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7875, 77bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7974, 78sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. w  e.  T 
0  <_  w )
80 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8180ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  T  x  <_  w  <->  A. w  e.  T  0  <_  w ) )
8281rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  T  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
8325, 79, 82sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
84 infmrcl 10542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8530, 68, 83, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8685recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
8786adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
88 elrp 11247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ 
<->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
8988biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
9085, 89sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
91 3z 10918 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ZZ
92 rpexpcl 12188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 )  e.  RR+ )
9390, 91, 92sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 )  e.  RR+ )
9410, 93rpmulcld 11297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR+ )
95 cncfi 21524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC  /\  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) )  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9621, 87, 94, 95syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9785ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
98 rphalfcl 11269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
10097, 99ltaddrpd 11310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) ) )
10199rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
10297, 101readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
10397, 102ltnled 9749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  < 
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
104100, 103mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
105 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
10630, 105syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  CC )
108 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T 
C_  CC  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
11030ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
111110sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  RR )
112102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
113111, 112ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
11485ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
115101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
116114, 115resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  e.  RR )
11797, 99ltsubrpd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
118117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
11930ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  T  C_  RR )
12083ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  T )
122 infmrlb 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  u  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  u
)
123119, 120, 121, 122syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  u
)
124116, 114, 111, 118, 123ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u
)
125111, 114, 115absdifltd 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  <->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u  /\  u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) ) ) ) )
126125biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  (
s  /  2 ) )  <  u  /\  u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  /  2 ) ) )
127124, 126mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 ) ) )
128 rphalflt 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  < 
s )
129128ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
s  /  2 )  <  s )
130111, 114resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )
131130recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  CC )
132131abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  RR )
133 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
134133ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  s  e.  RR )
135 lttr 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  RR  /\  (
s  /  2 )  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  /\  (
s  /  2 )  <  s )  -> 
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
136132, 115, 134, 135syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  /\  (
s  /  2 )  <  s )  -> 
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
137129, 136mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
138127, 137syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
139113, 138sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
140139con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( -.  ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
141111recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  CC )
142 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  p  =  u )
143 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  u  ->  (
p ^ 3 )  =  ( u ^
3 ) )
144143oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )
145142, 144oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  u  ->  (
p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) )  =  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) ) )
146 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  =  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )
147 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e. 
_V
148145, 146, 147fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
149141, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
15087ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
151 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
152 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( p ^ 3 )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )
153152oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )
154151, 153oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
155 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  e.  _V
156154, 146, 155fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC  ->  ( (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
157150, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
158149, 157oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
159158fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  =  ( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) ) )
160159breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( abs `  ( ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
1619rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
162161ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  C  e.  RR )
163 reexpcl 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( u ^ 3 )  e.  RR )
164111, 15, 163sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u ^ 3 )  e.  RR )
165162, 164remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( u ^ 3 ) )  e.  RR )
166111, 165resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  RR )
16715a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  3  e.  NN0 )
168114, 167reexpcld 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 )  e.  RR )
169162, 168remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR )
170114, 169resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  e.  RR )
171166, 170, 169absdifltd 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( (
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  <  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  /\  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
172169recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  CC )
173150, 172npcand 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
174173breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  <->  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
175 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ph )
176 pntlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
177175, 176sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
178 infmrlb 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) ) )
179119, 120, 177, 178syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) ) )
180114, 166lenltd 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <->  -.  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
181179, 180mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  -.  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
182181pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
183174, 182sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
184183adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  <  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  /\  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
185171, 184sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
186160, 185sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
187140, 186jad 162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
188187ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  T  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
18968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
19083ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
191 infmrgelb 10543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
192110, 189, 190, 102, 191syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  / 
2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
193188, 192sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  T  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
194109, 193syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
195104, 194mtod 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
196195nrexdv 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  -.  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
19796, 196pm2.65da 576 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
198197adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
19930adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
20068adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
20183adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
202133adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR )
203 infmrgelb 10543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  s  e.  RR )  ->  (
s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
204199, 200, 201, 202, 203syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
20522raleqi 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } s  <_  w )
206 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  t  ->  (
s  <_  w  <->  s  <_  t ) )
207206ralrab2 3265 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
208205, 207bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
209204, 208syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. t  e.  (
0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) ) )
210 rpgt0 11256 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  < 
s )
211210adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  <  s )
212 0red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
21385adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
214 ltletr 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  s  /\  s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
215212, 202, 213, 214syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
0  <  s  /\  s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
216211, 215mpand 675 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
217209, 216sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
218198, 217mtod 177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
219 rexanali 2910 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  <->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
220218, 219sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t ) )
221 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( R `  z )  =  ( R `  x ) )
222 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
223221, 222oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 x )  /  x ) )
224223fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) ) )
225224breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
226225cbvralv 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  <->  A. x  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  t )
227 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
228227ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  RR )
229 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  <_  x )
230 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
231230rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR )
232 elicopnf 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( y [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x ) ) )
233231, 232syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  ( y [,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x )
) )
234228, 229, 233mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( y [,) +oo ) )
235 pntlem3.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
236235pntrval 23873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
237236ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
238237oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( R `  x )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  -  x )  /  x ) )
239 chpcl 23524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
240228, 239syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
241240recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
242 rpcn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
243242ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  CC )
244 rpne0 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
245244ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  =/=  0 )
246241, 243, 243, 245divsubdird 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  -  x )  /  x
)  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) ) )
247243, 245dividd 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
248247oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )
249238, 246, 2483eqtrrd 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  =  ( ( R `  x )  /  x ) )
250249fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  =  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) ) )
251250breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
252 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  -.  s  <_  t )
253252ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  -.  s  <_  t )
25429ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
255254ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
256 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
t  e.  ( 0 [,] A ) )
257256adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  ( 0 [,] A
) )
258255, 257sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  RR )
259 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR+ )
260259rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR )
261258, 260ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( t  <  s  <->  -.  s  <_  t ) )
262253, 261mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  <  s )
263227, 239syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
264 rerpdivcl 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
265263, 264mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
266265ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
267 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  /  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 )  e.  RR )
268266, 38, 267sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  RR )
269268recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  CC )
270269abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  e.  RR )
271 lelttr 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  e.  RR  /\  t  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
272270, 258, 260, 271syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
273262, 272mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) )
274251, 273sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
275234, 274embantd 54 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
x  e.  ( y [,) +oo )  -> 
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
276275exp32 605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  <_  x  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  ( y [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
277276com24 87 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  ( y [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
278277ralimdv2 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
279226, 278syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
280279reximdva 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
281280anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  -.  s  <_ 
t )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
282281impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t )  ->  ( -.  s  <_ 
t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
283282expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
284283rexlimdva 2949 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
285220, 284mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
286 ssrexv 3561 . . . 4  |-  ( RR+  C_  RR  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
2871, 285, 286mpsyl 63 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
288287ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
289265recnd 9639 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
290289rgen 2817 . . . 4  |-  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC
291290a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x )  e.  CC )
2921a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
293 1cnd 9629 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
294291, 292, 293rlim2 13331 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
295288, 294mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   3c3 10607   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   [,)cico 11556   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   abscabs 13079    ~~> r crli 13320   TopOpenctopn 14839  ℂfldccnfld 18547    Cn ccn 19852    tX ctx 20187   -cn->ccncf 21506  ψcchp 23492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-vma 23497  df-chp 23498
This theorem is referenced by:  pntleml  23922
  Copyright terms: Public domain W3C validator