MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlem3 Structured version   Unicode version

Theorem pntlem3 24445
Description: Lemma for pnt 24450. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlem3.1  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
pntlem3.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem3.3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
Assertion
Ref Expression
pntlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, A    u, a, x, y, z    u, C    u, t, R, x, y, z    t, a   
u, T, x    ph, t, x, y, u, z
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( u, a)    C( x, y, z, t, a)    R( a)    T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3
Dummy variables  s  w  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 11319 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32subcn 21896 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
5 ssid 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
6 cncfmptid 21942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
75, 5, 6mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC )
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9 pntlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  C  e.  RR+ )
1110rpcnd 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  C  e.  CC )
125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  CC  C_  CC )
13 cncfmptc 21941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1411, 12, 12, 13syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
15 3nn0 10894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN0
162expcn 21902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1715, 16mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
182cncfcn1 21940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1917, 18syl6eleqr 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
2014, 19mulcncf 22396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
212, 4, 8, 20cncfmpt2f 21944 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
22 pntlem3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
23 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  C_  ( 0 [,] A
)
2422, 23eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  ( 0 [,] A
)
25 0re 9650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
26 pntlem3.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2726rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
28 iccssre 11723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
2925, 27, 28sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
3024, 29syl5ss 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  RR )
31 0xr 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
3326rpxrd 11349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3426rpge0d 11352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
35 ubicc2 11756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,] A
) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] A ) )
37 1rp 11313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
38 1re 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
39 elicopnf 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_ 
z ) ) )
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_  z ) ) )
4140simprbda 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR )
42 0red 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
4338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
44 0lt1 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  1
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  1 )
4640simplbda 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  z )
4742, 43, 41, 45, 46ltletrd 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  z )
4841, 47elrpd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR+ )
49 pntlem3.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
51 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( R `  x )  =  ( R `  z ) )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
5351, 52oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 z )  / 
z ) )
5453fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
5554breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
5655rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  ->  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
5748, 50, 56sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  <_  A )
5857ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
59 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  1  ->  (
y [,) +oo )  =  ( 1 [,) +oo ) )
6059raleqdv 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  1  ->  ( A. z  e.  (
y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A  <->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6160rspcev 3182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
6237, 58, 61sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A )
63 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  A  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
6463rexralbidv 2944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  A  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6564, 22elrab2 3230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  T  <->  ( A  e.  ( 0 [,] A
)  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6636, 62, 65sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  T )
67 ne0i 3767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
69 elicc2 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7025, 27, 69sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7170biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) )
7271simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  0  <_  t )
7372a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7473ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7522raleqi 3026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } 0  <_  w )
76 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  t  ->  (
0  <_  w  <->  0  <_  t ) )
7776ralrab2 3236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7875, 77bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7974, 78sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. w  e.  T 
0  <_  w )
80 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8180ralbidv 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  T  x  <_  w  <->  A. w  e.  T  0  <_  w ) )
8281rspcev 3182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  T  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
8325, 79, 82sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
84 infrecl 10597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8530, 68, 83, 84syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8685recnd 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC )
8786adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC )
88 elrp 11311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+  <->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
8988biimpri 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  )
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
9085, 89sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
91 3z 10977 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ZZ
92 rpexpcl 12297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 )  e.  RR+ )
9390, 91, 92sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 )  e.  RR+ )
9410, 93rpmulcld 11364 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR+ )
95 cncfi 21924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\ inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC  /\  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9621, 87, 94, 95syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9785ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
98 rphalfcl 11334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
9998adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( s  /  2
)  e.  RR+ )
10097, 99ltaddrpd 11378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) ) )
10199rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( s  /  2
)  e.  RR )
10297, 101readdcld 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
10397, 102ltnled 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  < 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <->  -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
104100, 103mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) )
105 ax-resscn 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
10630, 105syl6ss 3476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
107106ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  CC )
108 ssralv 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T 
C_  CC  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
11030ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
111110sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  u  e.  RR )
112102adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  e.  RR )
113111, 112ltnled 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <->  -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
11485ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
115101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
116114, 115resubcld 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  e.  RR )
11797, 99ltsubrpd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2
) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
118117adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
11930ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  T  C_  RR )
12083ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
121 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  u  e.  T )
122 infrelb 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  u )
123119, 120, 121, 122syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  u )
124116, 114, 111, 118, 123ltletrd 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  <  u )
125111, 114, 115absdifltd 13495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
)  <->  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2 ) )  <  u  /\  u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) ) ) ) )
126125biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u  /\  u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
) ) )
127124, 126mpand 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
) ) )
128 rphalflt 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  < 
s )
129128ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( s  /  2 )  < 
s )
130111, 114resubcld 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
131130recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) )  e.  CC )
132131abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  e.  RR )
133 rpre 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
134133ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  s  e.  RR )
135 lttr 9717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  e.  RR  /\  ( s  /  2
)  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
)  /\  ( s  /  2 )  < 
s )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
136132, 115, 134, 135syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  (
s  /  2 )  /\  ( s  / 
2 )  <  s
)  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
137129, 136mpan2d 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
( s  /  2
)  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
138127, 137syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  <  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s ) )
139113, 138sylbird 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( -.  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u  ->  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  <  s ) )
140139con1d 127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( -.  ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  <  s  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
141111recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  u  e.  CC )
142 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  p  =  u )
143 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  u  ->  (
p ^ 3 )  =  ( u ^
3 ) )
144143oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )
145142, 144oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  u  ->  (
p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) )  =  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) ) )
146 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  =  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )
147 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e. 
_V
148145, 146, 147fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
149141, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  =  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) ) )
15087ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC )
151 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  ->  p  = inf ( T ,  RR ,  <  )
)
152 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
( p ^ 3 )  =  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )
153152oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
( C  x.  (
p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )
154151, 153oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  = inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  =  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
155 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  e.  _V
156154, 146, 155fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  CC  ->  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) )  =  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
157150, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  )
)  =  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
158149, 157oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  =  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
159158fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  =  ( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
160159breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )  < 
( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
1619rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
162161ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  C  e.  RR )
163 reexpcl 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( u ^ 3 )  e.  RR )
164111, 15, 163sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u ^ 3 )  e.  RR )
165162, 164remulcld 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( C  x.  ( u ^ 3 ) )  e.  RR )
166111, 165resubcld 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e.  RR )
16715a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  3  e.  NN0 )
168114, 167reexpcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 )  e.  RR )
169162, 168remulcld 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^
3 ) )  e.  RR )
170114, 169resubcld 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  e.  RR )
171166, 170, 169absdifltd 13495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  <  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  <  (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
172169recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^
3 ) )  e.  CC )
173150, 172npcand 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  = inf ( T ,  RR ,  <  ) )
174173breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  <  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  <->  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
175 pntlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
176175ad4ant14 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e.  T )
177 infrelb 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
178119, 120, 176, 177syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
179114, 166, 178lensymd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  -.  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
180179pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  < inf ( T ,  RR ,  <  )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
181174, 180sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  <  ( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
182181adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  <  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  <  (
(inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
183171, 182sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  (inf ( T ,  RR ,  <  )  -  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
184160, 183sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) )  ->  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
185140, 184jad 165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T
)  ->  ( (
( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
186185ralimdva 2830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
18768ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
18883ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
189 infregelb 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  / 
2 ) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. u  e.  T  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
190110, 187, 188, 102, 189syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  / 
2 ) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. u  e.  T  (inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
191186, 190sylibrd 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
192109, 191syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
(inf ( T ,  RR ,  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
193104, 192mtod 180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  - inf ( T ,  RR ,  <  )
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
194193nrexdv 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  -.  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  - inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T ,  RR ,  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  (inf ( T ,  RR ,  <  ) ^ 3 ) ) ) )
19596, 194pm2.65da 578 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
196195adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) )
19730adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
19868adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
19983adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
200133adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR )
201 infregelb 10601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  s  e.  RR )  ->  (
s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
202197, 198, 199, 200, 201syl31anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
20322raleqi 3026 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t } s  <_  w )
204 breq2 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  t  ->  (
s  <_  w  <->  s  <_  t ) )
205204ralrab2 3236 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
206203, 205bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
207202, 206syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) ) )
208 rpgt0 11320 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  < 
s )
209208adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  <  s )
210 0red 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
21185adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
212 ltletr 9732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\ inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  s  /\  s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) )  -> 
0  < inf ( T ,  RR ,  <  )
) )
213210, 200, 211, 212syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
0  <  s  /\  s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  ) )  ->  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
214209, 213mpand 679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_ inf ( T ,  RR ,  <  )  ->  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
215207, 214sylbird 238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t )  ->  0  < inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
216196, 215mtod 180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
217 rexanali 2875 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  <->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
218216, 217sylibr 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t ) )
219 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( R `  z )  =  ( R `  x ) )
220 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
221219, 220oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 x )  /  x ) )
222221fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) ) )
223222breq1d 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
224223cbvralv 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  <->  A. x  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  t )
225 rpre 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
226225ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  RR )
227 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  <_  x )
228 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
229228rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR )
230 elicopnf 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( y [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x ) ) )
231229, 230syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  ( y [,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x )
) )
232226, 227, 231mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( y [,) +oo ) )
233 pntlem3.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
234233pntrval 24398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
235234ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
236235oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( R `  x )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  -  x )  /  x ) )
237 chpcl 24049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
238226, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
239238recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
240 rpcn 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
241240ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  CC )
242 rpne0 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
243242ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  =/=  0 )
244239, 241, 241, 243divsubdird 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  -  x )  /  x
)  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) ) )
245241, 243dividd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
246245oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )
247236, 244, 2463eqtrrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  =  ( ( R `  x )  /  x ) )
248247fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  =  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) ) )
249248breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
250 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  -.  s  <_  t )
251250ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  -.  s  <_  t )
25229ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
253252ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
254 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
t  e.  ( 0 [,] A ) )
255254adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  ( 0 [,] A
) )
256253, 255sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  RR )
257 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR+ )
258257rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR )
259256, 258ltnled 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( t  <  s  <->  -.  s  <_  t ) )
260251, 259mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  <  s )
261225, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
262 rerpdivcl 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
263261, 262mpancom 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
264263ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
265 resubcl 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  /  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 )  e.  RR )
266264, 38, 265sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  RR )
267266recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  CC )
268267abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  e.  RR )
269 lelttr 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  e.  RR  /\  t  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
270268, 256, 258, 269syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
271260, 270mpan2d 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) )
272249, 271sylbird 238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
273232, 272embantd 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
x  e.  ( y [,) +oo )  -> 
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
274273exp32 608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  <_  x  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  ( y [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
275274com24 90 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  ( y [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
276275ralimdv2 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
277224, 276syl5bi 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
278277reximdva 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
279278anassrs 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  -.  s  <_ 
t )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
280279impancom 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t )  ->  ( -.  s  <_ 
t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
281280expimpd 606 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
282281rexlimdva 2914 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,) +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
283218, 282mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
284 ssrexv 3526 . . . 4  |-  ( RR+  C_  RR  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
2851, 283, 284mpsyl 65 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
286285ralrimiva 2836 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
287263recnd 9676 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
288287rgen 2781 . . . 4  |-  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC
289288a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x )  e.  CC )
2901a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
291 1cnd 9666 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
292289, 290, 291rlim2 13559 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
293286, 292mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6305  infcinf 7964   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   2c2 10666   3c3 10667   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   RR+crp 11309   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ^cexp 12278   abscabs 13297    ~~> r crli 13548   TopOpenctopn 15319  ℂfldccnfld 18969    Cn ccn 20238    tX ctx 20573   -cn->ccncf 21906  ψcchp 24017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-vma 24022  df-chp 24023
This theorem is referenced by:  pntleml  24447
  Copyright terms: Public domain W3C validator