Theorem pntlem3 24445

Description: Lemma for pnt 24450. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem3.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem3.A	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntlem3.1	|- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
pntlem3.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem3.3	|- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
pntlem3	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Distinct variable groups:   x, t, y, z, A   u, a, x, y, z   u, C   u, t, R, x, y, z   t, a   u, T, x   ph, t, x, y, u, z

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( u, a)   C( x, y, z, t, a)   R( a)   T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3

Dummy variables s w p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11319	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	subcn 21896	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
5		ssid 3483	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
6		cncfmptid 21942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
7	5, 5, 6	mp2an 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		pntlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR+ )
10	9	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> C e. RR+ )
11	10	rpcnd 11350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> C e. CC )
12	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> CC C_ CC )
13		cncfmptc 21941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
14	11, 12, 12, 13	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15		3nn0 10894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. NN0
16	2	expcn 21902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. NN0 -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
17	15, 16	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
18	2	cncfcn1 21940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
19	17, 18	syl6eleqr 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	14, 19	mulcncf 22396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
21	2, 4, 8, 20	cncfmpt2f 21944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
22		pntlem3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
23		ssrab2 3546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } C_ ( 0 [,] A )
24	22, 23	eqsstri 3494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ ( 0 [,] A )
25		0re 9650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
26		pntlem3.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR+ )
27	26	rpred 11348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
28		iccssre 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
29	25, 27, 28	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
30	24, 29	syl5ss 3475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ RR )
31		0xr 9694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR*
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 e. RR* )
33	26	rpxrd 11349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
34	26	rpge0d 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ A )
35		ubicc2 11756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A e. ( 0 [,] A ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. ( 0 [,] A ) )
37		1rp 11313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR+
38		1re 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
39		elicopnf 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. RR -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
41	40	simprbda 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR )
42		0red 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
43	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
44		0lt1 10143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 1
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < 1 )
46	40	simplbda 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ z )
47	42, 43, 41, 45, 46	ltletrd 9802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < z )
48	41, 47	elrpd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR+ )
49		pntlem3.A	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
50	49	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
51		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( R ` x ) = ( R ` z ) )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> x = z )
53	51, 52	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( R ` z ) / z ) )
54	53	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) = ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) )
55	54	breq1d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
56	55	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
57	48, 50, 56	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
58	57	ralrimiva 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
59		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 1 -> ( y [,) +oo ) = ( 1 [,) +oo ) )
60	59	raleqdv 3028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 1 -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A <-> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
61	60	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
62	37, 58, 61	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
63		breq2 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = A -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
64	63	rexralbidv 2944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = A -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
65	64, 22	elrab2 3230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. T <-> ( A e. ( 0 [,] A ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
66	36, 62, 65	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. T )
67		ne0i 3767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. T -> T =/= (/) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
69		elicc2 11706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
70	25, 27, 69	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
71	70	biimpa 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) )
72	71	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> 0 <_ t )
73	72	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
74	73	ralrimiva 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
75	22	raleqi 3026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w )
76		breq2 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = t -> ( 0 <_ w <-> 0 <_ t ) )
77	76	ralrab2 3236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
78	75, 77	bitri 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
79	74, 78	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. w e. T 0 <_ w )
80		breq1 4426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
81	80	ralbidv 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( A. w e. T x <_ w <-> A. w e. T 0 <_ w ) )
82	81	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. T 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
83	25, 79, 82	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
84		infrecl 10597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
85	30, 68, 83, 84	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
86	85	recnd 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
87	86	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
88		elrp 11311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (inf ( T , RR , < ) e. RR+ <-> (inf ( T , RR , < ) e. RR /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
89	88	biimpri 209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (inf ( T , RR , < ) e. RR /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR+ )
90	85, 89	sylan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR+ )
91		3z 10977	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. ZZ
92		rpexpcl 12297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (inf ( T , RR , < ) e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR+ )
93	90, 91, 92	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR+ )
94	10, 93	rpmulcld 11364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR+ )
95		cncfi 21924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) /\ inf ( T , RR , < ) e. CC /\ ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
96	21, 87, 94, 95	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
97	85	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
98		rphalfcl 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) e. RR+ )
99	98	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR+ )
100	97, 99	ltaddrpd 11378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) )
101	99	rpred 11348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR )
102	97, 101	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
103	97, 102	ltnled 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
104	100, 103	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) )
105		ax-resscn 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
106	30, 105	syl6ss 3476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ CC )
107	106	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ CC )
108		ssralv 3525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T C_ CC -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
110	30	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
111	110	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. RR )
112	102	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
113	111, 112	ltnled 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
114	85	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
115	101	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) e. RR )
116	114, 115	resubcld 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) e. RR )
117	97, 99	ltsubrpd 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < inf ( T , RR , < ) )
118	117	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < inf ( T , RR , < ) )
119	30	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> T C_ RR )
120	83	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
121		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. T )
122		infrelb 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ u )
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ u )
124	116, 114, 111, 118, 123	ltletrd 9802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u )
125	111, 114, 115	absdifltd 13495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) <-> ( (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) ) ) )
126	125	biimprd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
127	124, 126	mpand 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
128		rphalflt 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) < s )
129	128	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) < s )
130	111, 114	resubcld 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - inf ( T , RR , < ) ) e. RR )
131	130	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - inf ( T , RR , < ) ) e. CC )
132	131	abscld 13497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) e. RR )
133		rpre 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
134	133	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> s e. RR )
135		lttr 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) e. RR /\ ( s / 2 ) e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
136	132, 115, 134, 135	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
137	129, 136	mpan2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
138	127, 137	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
139	113, 138	sylbird 238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
140	139	con1d 127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
141	111	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. CC )
142		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> p = u )
143		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = u -> ( p ^ 3 ) = ( u ^ 3 ) )
144	143	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. ( u ^ 3 ) ) )
145	142, 144	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = u -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
146		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) = ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) )
147		ovex 6333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. _V
148	145, 146, 147	fvmpt 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
149	141, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
150	87	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
151		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> p = inf ( T , RR , < ) )
152		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( p ^ 3 ) = (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) )
153	152	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) )
154	151, 153	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
155		ovex 6333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) e. _V
156	154, 146, 155	fvmpt 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (inf ( T , RR , < ) e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
157	150, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
158	149, 157	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) = ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
159	158	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
160	159	breq1d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) <-> ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
161	9	rpred 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
162	161	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> C e. RR )
163		reexpcl 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
164	111, 15, 163	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
165	162, 164	remulcld 9678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( u ^ 3 ) ) e. RR )
166	111, 165	resubcld 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. RR )
167	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> 3 e. NN0 )
168	114, 167	reexpcld 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR )
169	162, 168	remulcld 9678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR )
170	114, 169	resubcld 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) e. RR )
171	166, 170, 169	absdifltd 13495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) <-> ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
172	169	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. CC )
173	150, 172	npcand 9997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) = inf ( T , RR , < ) )
174	173	breq2d 4435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) <-> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) ) )
175		pntlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
176	175	ad4ant14 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
177		infrelb 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
178	119, 120, 176, 177	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
179	114, 166, 178	lensymd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> -. ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) )
180	179	pm2.21d 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
181	174, 180	sylbid 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
182	181	adantld 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
183	171, 182	sylbid 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
184	160, 183	sylbid 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
185	140, 184	jad 165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
186	185	ralimdva 2830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
187	68	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
188	83	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
189		infregelb 10601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR ) -> ( (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
190	110, 187, 188, 102, 189	syl31anc 1267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
191	186, 190	sylibrd 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
192	109, 191	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
193	104, 192	mtod 180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
194	193	nrexdv 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> -. E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
195	96, 194	pm2.65da 578	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 < inf ( T , RR , < ) )
196	195	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. 0 < inf ( T , RR , < ) )
197	30	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
198	68	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
199	83	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
200	133	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> s e. RR )
201		infregelb 10601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ s e. RR ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
202	197, 198, 199, 200, 201	syl31anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
203	22	raleqi 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w )
204		breq2 4427	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = t -> ( s <_ w <-> s <_ t ) )
205	204	ralrab2 3236	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
206	203, 205	bitri 252	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
207	202, 206	syl6bb 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) ) )
208		rpgt0 11320	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR+ -> 0 < s )
209	208	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 < s )
210		0red 9651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 e. RR )
211	85	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
212		ltletr 9732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ s e. RR /\ inf ( T , RR , < ) e. RR ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ inf ( T , RR , < ) ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
213	210, 200, 211, 212	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ inf ( T , RR , < ) ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
214	209, 213	mpand 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
215	207, 214	sylbird 238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
216	196, 215	mtod 180	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
217		rexanali 2875	. . . . . 6 |- ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) <-> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
218	216, 217	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) )
219		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( R ` z ) = ( R ` x ) )
220		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> z = x )
221	219, 220	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( R ` z ) / z ) = ( ( R ` x ) / x ) )
222	221	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
223	222	breq1d 4433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
224	223	cbvralv 3054	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t )
225		rpre 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
226	225	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. RR )
227		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y <_ x )
228		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR+ )
229	228	rpred 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR )
230		elicopnf 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
231	229, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
232	226, 227, 231	mpbir2and 930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. ( y [,) +oo ) )
233		pntlem3.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
234	233	pntrval 24398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
235	234	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
236	235	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) )
237		chpcl 24049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
238	226, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
239	238	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
240		rpcn 11317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
241	240	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. CC )
242		rpne0 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
243	242	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x =/= 0 )
244	239, 241, 241, 243	divsubdird 10429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) )
245	241, 243	dividd 10388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x / x ) = 1 )
246	245	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
247	236, 244, 246	3eqtrrd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) = ( ( R ` x ) / x ) )
248	247	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
249	248	breq1d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
250		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> -. s <_ t )
251	250	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> -. s <_ t )
252	29	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
253	252	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
254		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
255	254	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
256	253, 255	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. RR )
257		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR+ )
258	257	rpred 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR )
259	256, 258	ltnled 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( t < s <-> -. s <_ t ) )
260	251, 259	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t < s )
261	225, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. RR )
262		rerpdivcl 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (ψ ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
263	261, 262	mpancom 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
264	263	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
265		resubcl 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( (ψ ` x ) / x ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
266	264, 38, 265	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
267	266	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. CC )
268	267	abscld 13497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR )
269		lelttr 9731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR /\ t e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
270	268, 256, 258, 269	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
271	260, 270	mpan2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
272	249, 271	sylbird 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
273	232, 272	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
274	273	exp32 608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y <_ x -> ( x e. RR+ -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
275	274	com24 90	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( x e. RR+ -> ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
276	275	ralimdv2 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
277	224, 276	syl5bi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
278	277	reximdva 2897	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
279	278	anassrs 652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ -. s <_ t ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
280	279	impancom 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t ) -> ( -. s <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
281	280	expimpd 606	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
282	281	rexlimdva 2914	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
283	218, 282	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
284		ssrexv 3526	. . . 4 |- ( RR+ C_ RR -> ( E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
285	1, 283, 284	mpsyl 65	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
286	285	ralrimiva 2836	. 2 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
287	263	recnd 9676	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
288	287	rgen 2781	. . . 4 |- A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC
289	288	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
290	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
291		1cnd 9666	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
292	289, 290, 291	rlim2 13559	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 <-> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
293	286, 292	mpbird 235	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6305  infcinf 7964   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   + caddc 9549   x. cmul 9551   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681   < clt 9682   <_ cle 9683   - cmin 9867   / cdiv 10276   2c2 10666   3c3 10667   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   RR+crp 11309   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ^cexp 12278   abscabs 13297   ~~> r crli 13548   TopOpenctopn 15319  ℂ_fldccnfld 18969   Cn ccn 20238   tX ctx 20573   -cn->ccncf 21906  ψcchp 24017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-vma 24022  df-chp 24023

This theorem is referenced by:  pntleml  24447