MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem2a Structured version   Unicode version

Theorem pntibndlem2a 23496
Description: Lemma for pntibndlem2 23497. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem2.10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2a  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Distinct variable groups:    u, a, x, E    u, L, x    N, a, u, x    u, A, x    u, C, x   
u, R, x    u, Z, x    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, a)    A( a)    B( x, u, a)    C( a)    R( a)    K( x, u, a)    L( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntibndlem2a
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnred 10540 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3 1red 9600 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 ioossre 11575 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
5 pntibnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
6 pntibndlem1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
7 pntibndlem1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
85, 6, 7pntibndlem1 23495 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
94, 8sseldi 3495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
10 pntibndlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
114, 10sseldi 3495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
129, 11remulcld 9613 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
133, 12readdcld 9612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR )
1413, 2remulcld 9613 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )
15 elicc2 11578 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )  ->  ( u  e.  ( N [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
162, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <-> 
( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
1716biimpa 484 1  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   3c3 10575   4c4 10576   RR+crp 11209   (,)cioo 11518   [,]cicc 11521   abscabs 13017   expce 13648   logclog 22663  ψcchp 23087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-rp 11210  df-ioo 11522  df-icc 11525
This theorem is referenced by:  pntibndlem2  23497
  Copyright terms: Public domain W3C validator