MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem2a Structured version   Unicode version

Theorem pntibndlem2a 24158
Description: Lemma for pntibndlem2 24159. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
pntibndlem3.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntibndlem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntibndlem3.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  ( E  / 
2 ) ) )
pntibndlem3.c  |-  C  =  ( ( 2  x.  B )  +  ( log `  2 ) )
pntibndlem3.4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
pntibndlem2.10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2a  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Distinct variable groups:    u, a, x, E    u, L, x    N, a, u, x    u, A, x    u, C, x   
u, R, x    u, Z, x    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, a)    A( a)    B( x, u, a)    C( a)    R( a)    K( x, u, a)    L( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntibndlem2a
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnred 10593 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3 1red 9643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 ioossre 11642 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
5 pntibnd.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
6 pntibndlem1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
7 pntibndlem1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
85, 6, 7pntibndlem1 24157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
94, 8sseldi 3442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
10 pntibndlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
114, 10sseldi 3442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
129, 11remulcld 9656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
133, 12readdcld 9655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( L  x.  E ) )  e.  RR )
1413, 2remulcld 9656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )
15 elicc2 11645 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  N
)  e.  RR )  ->  ( u  e.  ( N [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
162, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) )  <-> 
( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) ) )
1716biimpa 484 1  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( N [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )  ->  ( u  e.  RR  /\  N  <_  u  /\  u  <_  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529    <_ cle 9661    - cmin 9843    / cdiv 10249   NNcn 10578   2c2 10628   3c3 10629   4c4 10630   RR+crp 11267   (,)cioo 11584   [,]cicc 11587   abscabs 13218   expce 14008   logclog 23236  ψcchp 23749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-rp 11268  df-ioo 11588  df-icc 11591
This theorem is referenced by:  pntibndlem2  24159
  Copyright terms: Public domain W3C validator