Theorem pntibndlem2 24159

Description: Lemma for pntibnd 24161. The main work, after eliminating all the quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntibndlem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntibndlem1.l	|- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )
pntibndlem3.2	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntibndlem3.3	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntibndlem3.k	|- K = ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) )
pntibndlem3.c	|- C = ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) )
pntibndlem3.4	|- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6	|- ( ph -> Z e. RR+ )
pntibndlem2.10	|- ( ph -> N e. NN )
pntibndlem2.5	|- ( ph -> T e. RR+ )
pntibndlem2.6	|- ( ph -> A. x e. ( 1 (,) +oo ) A. y e. ( x [,] ( 2 x. x ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` x ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - x ) ) + ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) ) )
pntibndlem2.7	|- X = ( ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) + Z )
pntibndlem2.8	|- ( ph -> M e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
pntibndlem2.9	|- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
pntibndlem2.11	|- ( ph -> ( ( Y < N /\ N <_ ( ( M / 2 ) x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) <_ ( E / 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem2	|- ( ph -> E. z e. RR+ ( ( Y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( M x. Y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )

Distinct variable groups:   u, a, x, y, z, E   u, L, x, z   N, a, u, x, y, z   u, A, x   u, C, x, y   u, R, x, y, z   z, M   x, T, y   z, Y   u, Z, x, y   ph, u

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, a)   A( y, z, a)   B( x, y, z, u, a)   C( z, a)   R( a)   T( z, u, a)   K( x, y, z, u, a)   L( y, a)   M( x, y, u, a)   X( x, y, z, u, a)   Y( x, y, u, a)   Z( z, a)

Proof of Theorem pntibndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem2.10	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnrpd 11304	. 2 |- ( ph -> N e. RR+ )
3		pntibndlem2.11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Y < N /\ N <_ ( ( M / 2 ) x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
4	3	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> ( Y < N /\ N <_ ( ( M / 2 ) x. Y ) ) )
5	4	simpld 459	. . 3 |- ( ph -> Y < N )
6		1red 9643	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
7		ioossre 11642	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
8		pntibnd.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
9		pntibndlem1.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR+ )
10		pntibndlem1.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )
11	8, 9, 10	pntibndlem1 24157	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
12	7, 11	sseldi 3442	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR )
13		pntibndlem3.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
14	7, 13	sseldi 3442	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
15	12, 14	remulcld 9656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR )
16	6, 15	readdcld 9655	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR )
17	1	nnred 10593	. . . . 5 |- ( ph -> N e. RR )
18	16, 17	remulcld 9656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) e. RR )
19		2re 10648	. . . . 5 |- 2 e. RR
20		remulcl 9609	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
21	19, 17, 20	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
22		pntibndlem3.c	. . . . . . . . . 10 |- C = ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) )
23		pntibndlem3.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR+ )
24	23	rpred 11306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
25		remulcl 9609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
26	19, 24, 25	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. B ) e. RR )
27		2rp 11272	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
29	28	relogcld 23304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` 2 ) e. RR )
30	26, 29	readdcld 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) ) e. RR )
31	22, 30	syl5eqel 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR )
32		eliooord 11640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
33	13, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
34	33	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < E )
35	14, 34	elrpd 11303	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. RR+ )
36	31, 35	rerpdivcld 11333	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C / E ) e. RR )
37	36	reefcld 14034	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) e. RR )
38		pnfxr 11376	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
39		icossre 11661	. . . . . . 7 |- ( ( ( exp ` ( C / E ) ) e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) C_ RR )
40	37, 38, 39	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) C_ RR )
41		pntibndlem2.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
42	40, 41	sseldd 3445	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
43		ioossre 11642	. . . . . 6 |- ( X (,) +oo ) C_ RR
44		pntibndlem2.9	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
45	43, 44	sseldi 3442	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. RR )
46	42, 45	remulcld 9656	. . . 4 |- ( ph -> ( M x. Y ) e. RR )
47	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR )
48		eliooord 11640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
50	49	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < L )
51	12, 50	elrpd 11303	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. RR+ )
52	51	rpge0d 11310	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ L )
53	49	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L < 1 )
54	35	rpge0d 11310	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ E )
55	33	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E < 1 )
56	12, 6, 14, 6, 52, 53, 54, 55	ltmul12ad 10529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L x. E ) < ( 1 x. 1 ) )
57		1t1e1 10726	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
58	56, 57	syl6breq 4436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L x. E ) < 1 )
59	15, 6, 6, 58	ltadd2dd 9777	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) < ( 1 + 1 ) )
60		df-2 10637	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
61	59, 60	syl6breqr 4437	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) < 2 )
62	16, 47, 2, 61	ltmul1dd 11357	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) < ( 2 x. N ) )
63	4	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> N <_ ( ( M / 2 ) x. Y ) )
64	42	recnd 9654	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
65	45	recnd 9654	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. CC )
66		rpcnne0 11284	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
67	27, 66	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
68		div23 10269	. . . . . . 7 |- ( ( M e. CC /\ Y e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( M x. Y ) / 2 ) = ( ( M / 2 ) x. Y ) )
69	64, 65, 67, 68	syl3anc 1232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M x. Y ) / 2 ) = ( ( M / 2 ) x. Y ) )
70	63, 69	breqtrrd 4423	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ ( ( M x. Y ) / 2 ) )
71	17, 46, 28	lemuldiv2d 11352	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) <_ ( M x. Y ) <-> N <_ ( ( M x. Y ) / 2 ) ) )
72	70, 71	mpbird 234	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. N ) <_ ( M x. Y ) )
73	18, 21, 46, 62, 72	ltletrd 9778	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) < ( M x. Y ) )
74		pntibndlem3.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
75		pntibndlem3.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) )
76	8, 9, 10, 74, 23, 75, 22, 13, 9, 1	pntibndlem2a 24158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u e. RR /\ N <_ u /\ u <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) )
77	76	simp1d 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> u e. RR )
78	2	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> N e. RR+ )
79	76	simp2d 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> N <_ u )
80	77, 78, 79	rpgecld 11341	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> u e. RR+ )
81	8	pntrf 24131	. . . . . . . . . 10 |- R : RR+ --> RR
82	81	ffvelrni 6010	. . . . . . . . 9 |- ( u e. RR+ -> ( R ` u ) e. RR )
83	80, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( R ` u ) e. RR )
84	83, 80	rerpdivcld 11333	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` u ) / u ) e. RR )
85	84	recnd 9654	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` u ) / u ) e. CC )
86	85	abscld 13418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) e. RR )
87	81	ffvelrni 6010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR+ -> ( R ` N ) e. RR )
88	2, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R ` N ) e. RR )
89	88, 1	nndivred 10627	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( R ` N ) / N ) e. RR )
90	89	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` N ) / N ) e. RR )
91	90	recnd 9654	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` N ) / N ) e. CC )
92	85, 91	subcld 9969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) e. CC )
93	92	abscld 13418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) e. RR )
94	91	abscld 13418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) e. RR )
95	93, 94	readdcld 9655	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) + ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) ) e. RR )
96	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> E e. RR )
97	85, 91	abs2difd 13439	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) - ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) )
98	86, 94, 93	lesubaddd 10191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) - ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) <-> ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ ( ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) + ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) ) ) )
99	97, 98	mpbid 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ ( ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) + ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) ) )
100	96	rehalfcld 10828	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( E / 2 ) e. RR )
101	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> N e. RR )
102	77, 101	resubcld 10030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u - N ) e. RR )
103	102, 78	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u - N ) / N ) e. RR )
104		3re 10652	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. RR
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 3 e. RR )
106	86, 105	readdcld 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) e. RR )
107	103, 106	remulcld 9656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) e. RR )
108		pntibndlem2.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. RR+ )
109	108	rpred 11306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR )
110	109	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> T e. RR )
111		1red 9643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 1 e. RR )
112		4nn 10738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. NN
113		nnrp 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
114	112, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 4 e. RR+ )
115	35, 114	rpdivcld 11323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E / 4 ) e. RR+ )
116	108, 115	rpdivcld 11323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T / ( E / 4 ) ) e. RR+ )
117	116	rpred 11306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T / ( E / 4 ) ) e. RR )
118	117	reefcld 14034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) e. RR )
119	118	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) e. RR )
120		efgt1 14062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T / ( E / 4 ) ) e. RR+ -> 1 < ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) )
121	116, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 < ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) )
122	121	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 1 < ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) )
123		pntibndlem2.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) + Z )
124		pntibndlem3.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Z e. RR+ )
125	124	rpred 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Z e. RR )
126	118, 125	readdcld 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) + Z ) e. RR )
127	123, 126	syl5eqel 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. RR )
128	118, 124	ltaddrpd 11335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) < ( ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) + Z ) )
129	128, 123	syl6breqr 4437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) < X )
130		eliooord 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. ( X (,) +oo ) -> ( X < Y /\ Y < +oo ) )
131	44, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X < Y /\ Y < +oo ) )
132	131	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X < Y )
133	118, 127, 45, 129, 132	lttrd 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) < Y )
134	118, 45, 17, 133, 5	lttrd 9779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) < N )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( exp ` ( T / ( E / 4 ) ) ) < N )
136	111, 119, 101, 122, 135	lttrd 9779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 1 < N )
137	101, 136	rplogcld 23310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( log ` N ) e. RR+ )
138	110, 137	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T / ( log ` N ) ) e. RR )
139	107, 138	readdcld 9655	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) e. RR )
140		peano2re 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) e. RR )
141	86, 140	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) e. RR )
142	103, 141	remulcld 9656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) e. RR )
143		chpcl 23781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> (ψ ` u ) e. RR )
144	77, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> (ψ ` u ) e. RR )
145		chpcl 23781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> (ψ ` N ) e. RR )
146	101, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> (ψ ` N ) e. RR )
147	144, 146	resubcld 10030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) e. RR )
148	147, 78	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) e. RR )
149	142, 148	readdcld 9655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) e. RR )
150	103, 86	remulcld 9656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) e. RR )
151	88	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( R ` N ) e. RR )
152	83, 151	resubcld 10030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) e. RR )
153	152	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) e. CC )
154	153	abscld 13418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) e. RR )
155	154, 78	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) e. RR )
156	150, 155	readdcld 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) ) e. RR )
157	103, 84	remulcld 9656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) e. RR )
158	157	renegcld 10029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) e. RR )
159	158	recnd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) e. CC )
160	152, 78	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) e. RR )
161	160	recnd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) e. CC )
162	159, 161	abstrid 13438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) + ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) ) <_ ( ( abs ` -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( abs ` ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) ) )
163	77	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> u e. CC )
164	101	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> N e. CC )
165	78	rpne0d 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> N =/= 0 )
166	163, 164, 164, 165	divsubdird 10402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u - N ) / N ) = ( ( u / N ) - ( N / N ) ) )
167	164, 165	dividd 10361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( N / N ) = 1 )
168	167	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u / N ) - ( N / N ) ) = ( ( u / N ) - 1 ) )
169	166, 168	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u - N ) / N ) = ( ( u / N ) - 1 ) )
170	169	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( ( u / N ) - 1 ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) )
171	77, 78	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u / N ) e. RR )
172	171	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u / N ) e. CC )
173		1cnd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 1 e. CC )
174	172, 173, 85	subdird 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u / N ) - 1 ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( ( u / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) - ( 1 x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) )
175	80	rpcnne0d 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u e. CC /\ u =/= 0 ) )
176	78	rpcnne0d 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
177	83	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( R ` u ) e. CC )
178		dmdcan 10297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( u e. CC /\ u =/= 0 ) /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) /\ ( R ` u ) e. CC ) -> ( ( u / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( R ` u ) / N ) )
179	175, 176, 177, 178	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( R ` u ) / N ) )
180	85	mulid2d 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 1 x. ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( R ` u ) / u ) )
181	179, 180	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) - ( 1 x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) = ( ( ( R ` u ) / N ) - ( ( R ` u ) / u ) ) )
182	170, 174, 181	3eqtrd 2449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( ( R ` u ) / N ) - ( ( R ` u ) / u ) ) )
183	182	negeqd 9852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) = -u ( ( ( R ` u ) / N ) - ( ( R ` u ) / u ) ) )
184	83, 78	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` u ) / N ) e. RR )
185	184	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` u ) / N ) e. CC )
186	185, 85	negsubdi2d 9985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> -u ( ( ( R ` u ) / N ) - ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` u ) / N ) ) )
187	183, 186	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) = ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` u ) / N ) ) )
188	151	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( R ` N ) e. CC )
189	177, 188, 164, 165	divsubdird 10402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) = ( ( ( R ` u ) / N ) - ( ( R ` N ) / N ) ) )
190	187, 189	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) + ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) = ( ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` u ) / N ) ) + ( ( ( R ` u ) / N ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) )
191	85, 185, 91	npncand 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` u ) / N ) ) + ( ( ( R ` u ) / N ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) = ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) )
192	190, 191	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) + ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) = ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) )
193	192	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) + ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) ) = ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) )
194	157	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) e. CC )
195	194	absnegd 13431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) = ( abs ` ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) )
196	103	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u - N ) / N ) e. CC )
197	196, 85	absmuld 13436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) = ( ( abs ` ( ( u - N ) / N ) ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) )
198	77, 101	subge0d 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 0 <_ ( u - N ) <-> N <_ u ) )
199	79, 198	mpbird 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 0 <_ ( u - N ) )
200	102, 78, 199	divge0d 11342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 0 <_ ( ( u - N ) / N ) )
201	103, 200	absidd 13405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( u - N ) / N ) ) = ( ( u - N ) / N ) )
202	201	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( u - N ) / N ) ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) = ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) )
203	195, 197, 202	3eqtrd 2449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) = ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) )
204	153, 164, 165	absdivd 13437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / ( abs ` N ) ) )
205	78	rprege0d 11313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( N e. RR /\ 0 <_ N ) )
206		absid 13280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) -> ( abs ` N ) = N )
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` N ) = N )
208	207	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / ( abs ` N ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) )
209	204, 208	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) )
210	203, 209	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` -u ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( abs ` ( ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) / N ) ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) ) )
211	162, 193, 210	3brtr3d 4426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) <_ ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) ) )
212	102, 147	readdcld 9655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) e. RR )
213	212, 78	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) / N ) e. RR )
214	147	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) e. CC )
215	164, 163	subcld 9969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( N - u ) e. CC )
216	214, 215	abstrid 13438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( N - u ) ) ) <_ ( ( abs ` ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) + ( abs ` ( N - u ) ) ) )
217	8	pntrval 24130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. RR+ -> ( R ` u ) = ( (ψ ` u ) - u ) )
218	80, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( R ` u ) = ( (ψ ` u ) - u ) )
219	8	pntrval 24130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. RR+ -> ( R ` N ) = ( (ψ ` N ) - N ) )
220	78, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( R ` N ) = ( (ψ ` N ) - N ) )
221	218, 220	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) = ( ( (ψ ` u ) - u ) - ( (ψ ` N ) - N ) ) )
222	144	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> (ψ ` u ) e. CC )
223	146	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> (ψ ` N ) e. CC )
224		subadd4 9901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( (ψ ` u ) e. CC /\ (ψ ` N ) e. CC ) /\ ( u e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) - ( u - N ) ) = ( ( (ψ ` u ) + N ) - ( (ψ ` N ) + u ) ) )
225		sub4 9902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( (ψ ` u ) e. CC /\ (ψ ` N ) e. CC ) /\ ( u e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) - ( u - N ) ) = ( ( (ψ ` u ) - u ) - ( (ψ ` N ) - N ) ) )
226		addsub4 9900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( (ψ ` u ) e. CC /\ N e. CC ) /\ ( (ψ ` N ) e. CC /\ u e. CC ) ) -> ( ( (ψ ` u ) + N ) - ( (ψ ` N ) + u ) ) = ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( N - u ) ) )
227	226	an42s 830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( (ψ ` u ) e. CC /\ (ψ ` N ) e. CC ) /\ ( u e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( ( (ψ ` u ) + N ) - ( (ψ ` N ) + u ) ) = ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( N - u ) ) )
228	224, 225, 227	3eqtr3d 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (ψ ` u ) e. CC /\ (ψ ` N ) e. CC ) /\ ( u e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - u ) - ( (ψ ` N ) - N ) ) = ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( N - u ) ) )
229	222, 223, 163, 164, 228	syl22anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - u ) - ( (ψ ` N ) - N ) ) = ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( N - u ) ) )
230	221, 229	eqtr2d 2446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( N - u ) ) = ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) )
231	230	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( N - u ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) )
232		chpwordi 23814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. RR /\ u e. RR /\ N <_ u ) -> (ψ ` N ) <_ (ψ ` u ) )
233	101, 77, 79, 232	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> (ψ ` N ) <_ (ψ ` u ) )
234	146, 144, 233	abssubge0d 13414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) = ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) )
235	101, 77, 79	abssuble0d 13415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( N - u ) ) = ( u - N ) )
236	234, 235	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) + ( abs ` ( N - u ) ) ) = ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( u - N ) ) )
237	102	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u - N ) e. CC )
238	214, 237	addcomd 9818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) + ( u - N ) ) = ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) )
239	236, 238	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) + ( abs ` ( N - u ) ) ) = ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) )
240	216, 231, 239	3brtr3d 4426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) <_ ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) )
241	154, 212, 78, 240	lediv1dd 11360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) <_ ( ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) / N ) )
242	155, 213, 150, 241	leadd2dd 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) ) <_ ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) / N ) ) )
243	150	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) e. CC )
244	148	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) e. CC )
245	243, 196, 244	addassd 9650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( u - N ) / N ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( ( u - N ) / N ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) ) )
246	86	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) e. CC )
247	196, 246, 173	adddid 9652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( ( u - N ) / N ) x. 1 ) ) )
248	196	mulid1d 9645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. 1 ) = ( ( u - N ) / N ) )
249	248	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( ( u - N ) / N ) x. 1 ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( u - N ) / N ) ) )
250	247, 249	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( u - N ) / N ) ) )
251	250	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) = ( ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( u - N ) / N ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) )
252	237, 214, 164, 165	divdird 10401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) / N ) = ( ( ( u - N ) / N ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) )
253	252	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) / N ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( ( u - N ) / N ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) ) )
254	245, 251, 253	3eqtr4d 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( ( u - N ) + ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) ) / N ) ) )
255	242, 254	breqtrrd 4423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) ) + ( ( abs ` ( ( R ` u ) - ( R ` N ) ) ) / N ) ) <_ ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) )
256	93, 156, 149, 211, 255	letrd 9775	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) <_ ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) )
257		remulcl 9609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( u - N ) / N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) e. RR )
258	19, 103, 257	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) e. RR )
259	258, 138	readdcld 9655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) e. RR )
260		remulcl 9609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR /\ ( u - N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( u - N ) ) e. RR )
261	19, 102, 260	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 2 x. ( u - N ) ) e. RR )
262	101, 137	rerpdivcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( N / ( log ` N ) ) e. RR )
263	110, 262	remulcld 9656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) e. RR )
264	261, 263	readdcld 9655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) e. RR )
265	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) e. RR )
266	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
267	76	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> u <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) )
268		ltle 9706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) < 2 -> ( 1 + ( L x. E ) ) <_ 2 ) )
269	16, 19, 268	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) < 2 -> ( 1 + ( L x. E ) ) <_ 2 ) )
270	61, 269	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) <_ 2 )
271	270	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 1 + ( L x. E ) ) <_ 2 )
272	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR )
273	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 2 e. RR )
274	272, 273, 78	lemul1d 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) <_ 2 <-> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) <_ ( 2 x. N ) ) )
275	271, 274	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) <_ ( 2 x. N ) )
276	77, 265, 266, 267, 275	letrd 9775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> u <_ ( 2 x. N ) )
277		elicc2 11645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR ) -> ( u e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) <-> ( u e. RR /\ N <_ u /\ u <_ ( 2 x. N ) ) ) )
278	101, 266, 277	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) <-> ( u e. RR /\ N <_ u /\ u <_ ( 2 x. N ) ) ) )
279	77, 79, 276, 278	mpbir3and 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> u e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) )
280		1re 9627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
281	280	rexri 9678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR*
282		elioopnf 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. RR* -> ( N e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( N e. RR /\ 1 < N ) ) )
283	281, 282	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( N e. RR /\ 1 < N ) )
284	101, 136, 283	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> N e. ( 1 (,) +oo ) )
285		pntibndlem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. ( 1 (,) +oo ) A. y e. ( x [,] ( 2 x. x ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` x ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - x ) ) + ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) ) )
286	285	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> A. x e. ( 1 (,) +oo ) A. y e. ( x [,] ( 2 x. x ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` x ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - x ) ) + ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) ) )
287		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = N -> x = N )
288		oveq2 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = N -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. N ) )
289	287, 288	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> ( x [,] ( 2 x. x ) ) = ( N [,] ( 2 x. N ) ) )
290		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = N -> (ψ ` x ) = (ψ ` N ) )
291	290	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = N -> ( (ψ ` y ) - (ψ ` x ) ) = ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) )
292		oveq2 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = N -> ( y - x ) = ( y - N ) )
293	292	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = N -> ( 2 x. ( y - x ) ) = ( 2 x. ( y - N ) ) )
294		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = N -> ( log ` x ) = ( log ` N ) )
295	287, 294	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = N -> ( x / ( log ` x ) ) = ( N / ( log ` N ) ) )
296	295	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = N -> ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) = ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) )
297	293, 296	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = N -> ( ( 2 x. ( y - x ) ) + ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) )
298	291, 297	breq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> ( ( (ψ ` y ) - (ψ ` x ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - x ) ) + ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) ) <-> ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) ) )
299	289, 298	raleqbidv 3020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = N -> ( A. y e. ( x [,] ( 2 x. x ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` x ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - x ) ) + ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) ) <-> A. y e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) ) )
300	299	rspcv 3158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( 1 (,) +oo ) -> ( A. x e. ( 1 (,) +oo ) A. y e. ( x [,] ( 2 x. x ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` x ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - x ) ) + ( T x. ( x / ( log ` x ) ) ) ) -> A. y e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) ) )
301	284, 286, 300	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> A. y e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) )
302		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> (ψ ` y ) = (ψ ` u ) )
303	302	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) = ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) )
304		oveq1 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( y - N ) = ( u - N ) )
305	304	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( 2 x. ( y - N ) ) = ( 2 x. ( u - N ) ) )
306	305	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) )
307	303, 306	breq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) <-> ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) ) )
308	307	rspcv 3158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) -> ( A. y e. ( N [,] ( 2 x. N ) ) ( (ψ ` y ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( y - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) -> ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) ) )
309	279, 301, 308	sylc 61	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) <_ ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) )
310	147, 264, 78, 309	lediv1dd 11360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) <_ ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) / N ) )
311	261	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 2 x. ( u - N ) ) e. CC )
312	108	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> T e. RR+ )
313	312	rpred 11306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> T e. RR )
314	313, 262	remulcld 9656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) e. RR )
315	314	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) e. CC )
316		divdir 10273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) e. CC /\ ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) / N ) = ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) / N ) + ( ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) / N ) ) )
317	311, 315, 176, 316	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) / N ) = ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) / N ) + ( ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) / N ) ) )
318		2cnd 10651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> 2 e. CC )
319	318, 237, 164, 165	divassd 10398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( 2 x. ( u - N ) ) / N ) = ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) )
320	110	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> T e. CC )
321	137	rpcnne0d 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( log ` N ) e. CC /\ ( log ` N ) =/= 0 ) )
322		div12 10272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T e. CC /\ N e. CC /\ ( ( log ` N ) e. CC /\ ( log ` N ) =/= 0 ) ) -> ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) = ( N x. ( T / ( log ` N ) ) ) )
323	320, 164, 321, 322	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) = ( N x. ( T / ( log ` N ) ) ) )
324	323	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) / N ) = ( ( N x. ( T / ( log ` N ) ) ) / N ) )
325	312, 137	rpdivcld 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T / ( log ` N ) ) e. RR+ )
326	325	rpcnd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T / ( log ` N ) ) e. CC )
327	326, 164, 165	divcan3d 10368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( N x. ( T / ( log ` N ) ) ) / N ) = ( T / ( log ` N ) ) )
328	324, 327	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) / N ) = ( T / ( log ` N ) ) )
329	319, 328	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) / N ) + ( ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) / N ) ) = ( ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) )
330	317, 329	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. ( u - N ) ) + ( T x. ( N / ( log ` N ) ) ) ) / N ) = ( ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) )
331	310, 330	breqtrd 4421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) <_ ( ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) )
332	148, 259, 142, 331	leadd2dd 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) <_ ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) ) )
333	142	recnd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) e. CC )
334	258	recnd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) e. CC )
335	138	recnd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( T / ( log ` N ) ) e. CC )
336	333, 334, 335	addassd 9650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) ) )
337		2cn 10649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
338		mulcom 9610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( u - N ) / N ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) = ( ( ( u - N ) / N ) x. 2 ) )
339	337, 196, 338	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) = ( ( ( u - N ) / N ) x. 2 ) )
340	339	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( ( u - N ) / N ) x. 2 ) ) )
341	141	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) e. CC )
342	196, 341, 318	adddid 9652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) + 2 ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( ( u - N ) / N ) x. 2 ) ) )
343	246, 173, 318	addassd 9650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) + 2 ) = ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + ( 1 + 2 ) ) )
344		1p2e3 10703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + 2 ) = 3
345	344	oveq2i 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + ( 1 + 2 ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 )
346	343, 345	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) + 2 ) = ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) )
347	346	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) + 2 ) ) = ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) )
348	340, 342, 347	3eqtr2d 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) ) = ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) )
349	348	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) )
350	336, 349	eqtr3d 2447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( 2 x. ( ( u - N ) / N ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) ) = ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) )
351	332, 350	breqtrd 4421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 1 ) ) + ( ( (ψ ` u ) - (ψ ` N ) ) / N ) ) <_ ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) )
352	93, 149, 139, 256, 351	letrd 9775	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` u ) / u ) - ( ( R ` N ) / N ) ) ) <_ ( ( ( ( u - N ) / N ) x. ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) + 3 ) ) + ( T / ( log ` N ) ) ) )
353	100	rehalfcld 10828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( E / 2 ) / 2 ) e. RR )
354	77, 272, 78	ledivmul2d 11356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u / N ) <_ ( 1 + ( L x. E ) ) <-> u <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) )
355	267, 354	mpbird 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u / N ) <_ ( 1 + ( L x. E ) ) )
356		ax-1cn 9582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
357	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( L x. E ) e. RR )
358	357	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( L x. E ) e. CC )
359		addcom 9802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( L x. E ) e. CC ) -> ( 1 + ( L x. E ) ) = ( ( L x. E ) + 1 ) )
360	356, 358, 359	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( 1 + ( L x. E ) ) = ( ( L x. E ) + 1 ) )
361	355, 360	breqtrd 4421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( u / N ) <_ ( ( L x. E ) + 1 ) )
362	171, 111, 357	lesubaddd 10191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( ( u / N ) - 1 ) <_ ( L x. E ) <-> ( u / N ) <_ ( ( L x. E ) + 1 ) ) )
363	361, 362	mpbird 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. N ) ) ) -> ( ( u / N ) - 1 ) <_ ( L x. E ) )
364	169, 363	eqbrtrd 4417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N [,] (