Theorem pntibndlem1 22722

Description: Lemma for pntibnd 22726. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntibndlem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntibndlem1.l	|- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 |- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )
2		4nn 10468	. . . . . 6 |- 4 e. NN
3		nnrp 10987	. . . . . 6 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
4		rpreccl 11001	. . . . . 6 |- ( 4 e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. RR+ )
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( 1 / 4 ) e. RR+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
7		3nn 10467	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
8		nnrp 10987	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 3 e. RR+
10		rpaddcl 10998	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( A + 3 ) e. RR+ )
11	6, 9, 10	sylancl 655	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 3 ) e. RR+ )
12		rpdivcl 11000	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR+ /\ ( A + 3 ) e. RR+ ) -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) e. RR+ )
13	5, 11, 12	sylancr 656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) e. RR+ )
14	1, 13	syl5eqel 2517	. . 3 |- ( ph -> L e. RR+ )
15	14	rpred 11014	. 2 |- ( ph -> L e. RR )
16	14	rpgt0d 11017	. 2 |- ( ph -> 0 < L )
17		rpcn 10986	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 4 ) e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. CC )
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. CC
19	18	div1i 10046	. . . . 5 |- ( ( 1 / 4 ) / 1 ) = ( 1 / 4 )
20		rpre 10984	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 4 ) e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. RR )
21	5, 20	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. RR )
22		3re 10382	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
24	11	rpred 11014	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + 3 ) e. RR )
25		1lt4 10480	. . . . . . . . 9 |- 1 < 4
26		4re 10385	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
27		4pos 10404	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 4
28		recgt1 10215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
29	26, 27, 28	mp2an 665	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
30	25, 29	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) < 1
31		1lt3 10477	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
32	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) e. RR
33		1re 9372	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
34	32, 33, 22	lttri 9487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 4 ) < 1 /\ 1 < 3 ) -> ( 1 / 4 ) < 3 )
35	30, 31, 34	mp2an 665	. . . . . . 7 |- ( 1 / 4 ) < 3
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) < 3 )
37		ltaddrp 11010	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 3 < ( 3 + A ) )
38	22, 6, 37	sylancr 656	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 < ( 3 + A ) )
39		3cn 10383	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
40	6	rpcnd 11016	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
41		addcom 9542	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 3 + A ) = ( A + 3 ) )
42	39, 40, 41	sylancr 656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 3 + A ) = ( A + 3 ) )
43	38, 42	breqtrd 4304	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 < ( A + 3 ) )
44	21, 23, 24, 36, 43	lttrd 9519	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) < ( A + 3 ) )
45	19, 44	syl5eqbr 4313	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) )
46	33	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
47		0lt1 9849	. . . . . 6 |- 0 < 1
48	47	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < 1 )
49	11	rpregt0d 11020	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + 3 ) e. RR /\ 0 < ( A + 3 ) ) )
50		ltdiv23 10210	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A + 3 ) e. RR /\ 0 < ( A + 3 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) <-> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 ) )
51	21, 46, 48, 49, 50	syl121anc 1216	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) <-> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 ) )
52	45, 51	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 )
53	1, 52	syl5eqbr 4313	. 2 |- ( ph -> L < 1 )
54		0xr 9417	. . 3 |- 0 e. RR*
55	33	rexri 9423	. . 3 |- 1 e. RR*
56		elioo2 11328	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( L e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( L e. RR /\ 0 < L /\ L < 1 ) ) )
57	54, 55, 56	mp2an 665	. 2 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( L e. RR /\ 0 < L /\ L < 1 ) )
58	15, 16, 53, 57	syl3anbrc 1165	1 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   RR*cxr 9404   < clt 9405   - cmin 9582   / cdiv 9980   NNcn 10309   3c3 10359   4c4 10360   RR+crp 10978   (,)cioo 11287  ψcchp 22314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-rp 10979  df-ioo 11291

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  22723  pntibndlem2  22724  pntibnd  22726