MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem pntibndlem1 23646
Description: Lemma for pntibnd 23650. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
2 4nn 10701 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
3 nnrp 11238 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4 rpreccl 11252 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
7 3nn 10700 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
8 nnrp 11238 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  3  e.  RR+
10 rpaddcl 11249 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
116, 9, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
12 rpdivcl 11251 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR+  /\  ( A  +  3 )  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  4
)  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
135, 11, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2535 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
1514rpred 11265 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
1614rpgt0d 11268 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  L )
17 rpcn 11237 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  CC )
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
1918div1i 10278 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  4 )  /  1 )  =  ( 1  /  4
)
20 rpre 11235 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR )
215, 20mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
22 3re 10615 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
2411rpred 11265 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR )
25 1lt4 10713 . . . . . . . . 9  |-  1  <  4
26 4re 10618 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
27 4pos 10637 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
28 recgt1 10447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
2926, 27, 28mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
3025, 29mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  4 )  <  1
31 1lt3 10710 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
33 1re 9598 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3432, 33, 22lttri 9713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  4
)  <  1  /\  1  <  3 )  -> 
( 1  /  4
)  <  3 )
3530, 31, 34mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  <  3
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  3 )
37 ltaddrp 11261 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
3  <  ( 3  +  A ) )
3822, 6, 37sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <  ( 3  +  A ) )
39 3cn 10616 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
406rpcnd 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
41 addcom 9769 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4239, 40, 41sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4338, 42breqtrd 4461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  <  ( A  +  3 ) )
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 9746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  ( A  +  3 ) )
4519, 44syl5eqbr 4470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  1
)  <  ( A  +  3 ) )
4633a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 10081 . . . . . 6  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
4911rpregt0d 11271 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
3 )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  3 ) ) )
50 ltdiv23 10442 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  +  3 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  3 ) ) )  -> 
( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5245, 51mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 )
531, 52syl5eqbr 4470 . 2  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
54 0xr 9643 . . 3  |-  0  e.  RR*
5533rexri 9649 . . 3  |-  1  e.  RR*
56 elioo2 11579 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2an 672 . 2  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) )
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1181 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   RR*cxr 9630    < clt 9631    - cmin 9810    / cdiv 10212   NNcn 10542   3c3 10592   4c4 10593   RR+crp 11229   (,)cioo 11538  ψcchp 23238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-rp 11230  df-ioo 11542
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  23647  pntibndlem2  23648  pntibnd  23650
  Copyright terms: Public domain W3C validator