MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pntibndlem1 24438
Description: Lemma for pntibnd 24442. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
2 4nn 10758 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
3 nnrp 11300 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4 rpreccl 11315 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
7 3nn 10757 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
8 nnrp 11300 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  3  e.  RR+
10 rpaddcl 11312 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
116, 9, 10sylancl 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
12 rpdivcl 11314 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR+  /\  ( A  +  3 )  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  4
)  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
135, 11, 12sylancr 674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
1514rpred 11330 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
1614rpgt0d 11333 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  L )
17 rpcn 11299 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  CC )
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
1918div1i 10323 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  4 )  /  1 )  =  ( 1  /  4
)
20 rpre 11297 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR )
215, 20mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
22 3re 10671 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
2411rpred 11330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR )
25 1lt4 10770 . . . . . . . . 9  |-  1  <  4
26 4re 10674 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
27 4pos 10693 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
28 recgt1 10490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
2926, 27, 28mp2an 683 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
3025, 29mpbi 213 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  4 )  <  1
31 1lt3 10767 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
33 1re 9628 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3432, 33, 22lttri 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  4
)  <  1  /\  1  <  3 )  -> 
( 1  /  4
)  <  3 )
3530, 31, 34mp2an 683 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  <  3
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  3 )
37 ltaddrp 11325 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
3  <  ( 3  +  A ) )
3822, 6, 37sylancr 674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <  ( 3  +  A ) )
39 3cn 10672 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
406rpcnd 11332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
41 addcom 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4239, 40, 41sylancr 674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4338, 42breqtrd 4398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  <  ( A  +  3 ) )
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 9782 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  ( A  +  3 ) )
4519, 44syl5eqbr 4407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  1
)  <  ( A  +  3 ) )
4633a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 10124 . . . . . 6  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
4911rpregt0d 11336 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
3 )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  3 ) ) )
50 ltdiv23 10485 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  +  3 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  3 ) ) )  -> 
( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1276 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5245, 51mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 )
531, 52syl5eqbr 4407 . 2  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
54 0xr 9673 . . 3  |-  0  e.  RR*
5533rexri 9679 . . 3  |-  1  e.  RR*
56 elioo2 11666 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2an 683 . 2  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) )
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1193 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 986    = wceq 1447    e. wcel 1890   class class class wbr 4373    |-> cmpt 4432   ` cfv 5560  (class class class)co 6275   CCcc 9523   RRcr 9524   0cc0 9525   1c1 9526    + caddc 9528   RR*cxr 9660    < clt 9661    - cmin 9846    / cdiv 10257   NNcn 10597   3c3 10648   4c4 10649   RR+crp 11291   (,)cioo 11624  ψcchp 24030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570  ax-cnex 9581  ax-resscn 9582  ax-1cn 9583  ax-icn 9584  ax-addcl 9585  ax-addrcl 9586  ax-mulcl 9587  ax-mulrcl 9588  ax-mulcom 9589  ax-addass 9590  ax-mulass 9591  ax-distr 9592  ax-i2m1 9593  ax-1ne0 9594  ax-1rid 9595  ax-rnegex 9596  ax-rrecex 9597  ax-cnre 9598  ax-pre-lttri 9599  ax-pre-lttrn 9600  ax-pre-ltadd 9601  ax-pre-mulgt0 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-riota 6237  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-er 7349  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-pnf 9663  df-mnf 9664  df-xr 9665  df-ltxr 9666  df-le 9667  df-sub 9848  df-neg 9849  df-div 10258  df-nn 10598  df-2 10656  df-3 10657  df-4 10658  df-rp 11292  df-ioo 11628
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  24439  pntibndlem2  24440  pntibnd  24442
  Copyright terms: Public domain W3C validator