MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem pntibndlem1 22956
Description: Lemma for pntibnd 22960. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
2 4nn 10584 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
3 nnrp 11103 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4 rpreccl 11117 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
7 3nn 10583 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
8 nnrp 11103 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  3  e.  RR+
10 rpaddcl 11114 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
116, 9, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
12 rpdivcl 11116 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR+  /\  ( A  +  3 )  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  4
)  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
135, 11, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
1514rpred 11130 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
1614rpgt0d 11133 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  L )
17 rpcn 11102 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  CC )
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
1918div1i 10162 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  4 )  /  1 )  =  ( 1  /  4
)
20 rpre 11100 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR )
215, 20mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
22 3re 10498 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
2411rpred 11130 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR )
25 1lt4 10596 . . . . . . . . 9  |-  1  <  4
26 4re 10501 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
27 4pos 10520 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
28 recgt1 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
2926, 27, 28mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
3025, 29mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  4 )  <  1
31 1lt3 10593 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
33 1re 9488 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3432, 33, 22lttri 9603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  4
)  <  1  /\  1  <  3 )  -> 
( 1  /  4
)  <  3 )
3530, 31, 34mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  <  3
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  3 )
37 ltaddrp 11126 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
3  <  ( 3  +  A ) )
3822, 6, 37sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <  ( 3  +  A ) )
39 3cn 10499 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
406rpcnd 11132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
41 addcom 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4239, 40, 41sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4338, 42breqtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  <  ( A  +  3 ) )
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 9635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  ( A  +  3 ) )
4519, 44syl5eqbr 4425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  1
)  <  ( A  +  3 ) )
4633a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 9965 . . . . . 6  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
4911rpregt0d 11136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
3 )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  3 ) ) )
50 ltdiv23 10326 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  +  3 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  3 ) ) )  -> 
( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5245, 51mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 )
531, 52syl5eqbr 4425 . 2  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
54 0xr 9533 . . 3  |-  0  e.  RR*
5533rexri 9539 . . 3  |-  1  e.  RR*
56 elioo2 11444 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2an 672 . 2  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) )
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1172 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388   RR*cxr 9520    < clt 9521    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   3c3 10475   4c4 10476   RR+crp 11094   (,)cioo 11403  ψcchp 22548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-rp 11095  df-ioo 11407
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  22957  pntibndlem2  22958  pntibnd  22960
  Copyright terms: Public domain W3C validator