MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem pntibndlem1 22722
Description: Lemma for pntibnd 22726. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntibndlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntibndlem1.l  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4  |-  L  =  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )
2 4nn 10468 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
3 nnrp 10987 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4 rpreccl 11001 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
7 3nn 10467 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
8 nnrp 10987 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  3  e.  RR+
10 rpaddcl 10998 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
116, 9, 10sylancl 655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR+ )
12 rpdivcl 11000 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR+  /\  ( A  +  3 )  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  4
)  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
135, 11, 12sylancr 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
1514rpred 11014 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
1614rpgt0d 11017 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  L )
17 rpcn 10986 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  CC )
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
1918div1i 10046 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  4 )  /  1 )  =  ( 1  /  4
)
20 rpre 10984 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  4 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  4 )  e.  RR )
215, 20mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  e.  RR )
22 3re 10382 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
2411rpred 11014 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  3 )  e.  RR )
25 1lt4 10480 . . . . . . . . 9  |-  1  <  4
26 4re 10385 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
27 4pos 10404 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
28 recgt1 10215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 ) )
2926, 27, 28mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  4  <->  ( 1  /  4 )  <  1 )
3025, 29mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  4 )  <  1
31 1lt3 10477 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
33 1re 9372 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3432, 33, 22lttri 9487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  4
)  <  1  /\  1  <  3 )  -> 
( 1  /  4
)  <  3 )
3530, 31, 34mp2an 665 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  4 )  <  3
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  3 )
37 ltaddrp 11010 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
3  <  ( 3  +  A ) )
3822, 6, 37sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <  ( 3  +  A ) )
39 3cn 10383 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
406rpcnd 11016 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
41 addcom 9542 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4239, 40, 41sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  +  A
)  =  ( A  +  3 ) )
4338, 42breqtrd 4304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  <  ( A  +  3 ) )
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 9519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  4
)  <  ( A  +  3 ) )
4519, 44syl5eqbr 4313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  1
)  <  ( A  +  3 ) )
4633a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 9849 . . . . . 6  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
4911rpregt0d 11020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
3 )  e.  RR  /\  0  <  ( A  +  3 ) ) )
50 ltdiv23 10210 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  +  3 )  e.  RR  /\  0  < 
( A  +  3 ) ) )  -> 
( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  4 )  / 
1 )  <  ( A  +  3 )  <-> 
( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 ) )
5245, 51mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
4 )  /  ( A  +  3 ) )  <  1 )
531, 52syl5eqbr 4313 . 2  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
54 0xr 9417 . . 3  |-  0  e.  RR*
5533rexri 9423 . . 3  |-  1  e.  RR*
56 elioo2 11328 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2an 665 . 2  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( L  e.  RR  /\  0  < 
L  /\  L  <  1 ) )
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1165 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272   RR*cxr 9404    < clt 9405    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   3c3 10359   4c4 10360   RR+crp 10978   (,)cioo 11287  ψcchp 22314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-rp 10979  df-ioo 11291
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  22723  pntibndlem2  22724  pntibnd  22726
  Copyright terms: Public domain W3C validator