Theorem pntibndlem1 23646

Description: Lemma for pntibnd 23650. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntibndlem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntibndlem1.l	|- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 |- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )
2		4nn 10701	. . . . . 6 |- 4 e. NN
3		nnrp 11238	. . . . . 6 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
4		rpreccl 11252	. . . . . 6 |- ( 4 e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. RR+ )
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( 1 / 4 ) e. RR+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
7		3nn 10700	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
8		nnrp 11238	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 3 e. RR+
10		rpaddcl 11249	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( A + 3 ) e. RR+ )
11	6, 9, 10	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 3 ) e. RR+ )
12		rpdivcl 11251	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR+ /\ ( A + 3 ) e. RR+ ) -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) e. RR+ )
13	5, 11, 12	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) e. RR+ )
14	1, 13	syl5eqel 2535	. . 3 |- ( ph -> L e. RR+ )
15	14	rpred 11265	. 2 |- ( ph -> L e. RR )
16	14	rpgt0d 11268	. 2 |- ( ph -> 0 < L )
17		rpcn 11237	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 4 ) e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. CC )
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. CC
19	18	div1i 10278	. . . . 5 |- ( ( 1 / 4 ) / 1 ) = ( 1 / 4 )
20		rpre 11235	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 4 ) e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. RR )
21	5, 20	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. RR )
22		3re 10615	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
24	11	rpred 11265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + 3 ) e. RR )
25		1lt4 10713	. . . . . . . . 9 |- 1 < 4
26		4re 10618	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
27		4pos 10637	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 4
28		recgt1 10447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
29	26, 27, 28	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
30	25, 29	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) < 1
31		1lt3 10710	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
32	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) e. RR
33		1re 9598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
34	32, 33, 22	lttri 9713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 4 ) < 1 /\ 1 < 3 ) -> ( 1 / 4 ) < 3 )
35	30, 31, 34	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 1 / 4 ) < 3
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) < 3 )
37		ltaddrp 11261	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 3 < ( 3 + A ) )
38	22, 6, 37	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 < ( 3 + A ) )
39		3cn 10616	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
40	6	rpcnd 11267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
41		addcom 9769	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 3 + A ) = ( A + 3 ) )
42	39, 40, 41	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 3 + A ) = ( A + 3 ) )
43	38, 42	breqtrd 4461	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 < ( A + 3 ) )
44	21, 23, 24, 36, 43	lttrd 9746	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) < ( A + 3 ) )
45	19, 44	syl5eqbr 4470	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) )
46	33	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
47		0lt1 10081	. . . . . 6 |- 0 < 1
48	47	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < 1 )
49	11	rpregt0d 11271	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + 3 ) e. RR /\ 0 < ( A + 3 ) ) )
50		ltdiv23 10442	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A + 3 ) e. RR /\ 0 < ( A + 3 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) <-> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 ) )
51	21, 46, 48, 49, 50	syl121anc 1234	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) <-> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 ) )
52	45, 51	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 )
53	1, 52	syl5eqbr 4470	. 2 |- ( ph -> L < 1 )
54		0xr 9643	. . 3 |- 0 e. RR*
55	33	rexri 9649	. . 3 |- 1 e. RR*
56		elioo2 11579	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( L e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( L e. RR /\ 0 < L /\ L < 1 ) ) )
57	54, 55, 56	mp2an 672	. 2 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( L e. RR /\ 0 < L /\ L < 1 ) )
58	15, 16, 53, 57	syl3anbrc 1181	1 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   RR*cxr 9630   < clt 9631   - cmin 9810   / cdiv 10212   NNcn 10542   3c3 10592   4c4 10593   RR+crp 11229   (,)cioo 11538  ψcchp 23238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-rp 11230  df-ioo 11542

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  23647  pntibndlem2  23648  pntibnd  23650