Theorem pntibndlem1 24438

Description: Lemma for pntibnd 24442. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntibndlem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntibndlem1.l	|- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem1	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )

Proof of Theorem pntibndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem1.l	. . . 4 |- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )
2		4nn 10758	. . . . . 6 |- 4 e. NN
3		nnrp 11300	. . . . . 6 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
4		rpreccl 11315	. . . . . 6 |- ( 4 e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. RR+ )
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( 1 / 4 ) e. RR+
6		pntibndlem1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
7		3nn 10757	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
8		nnrp 11300	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 3 e. RR+
10		rpaddcl 11312	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( A + 3 ) e. RR+ )
11	6, 9, 10	sylancl 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + 3 ) e. RR+ )
12		rpdivcl 11314	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR+ /\ ( A + 3 ) e. RR+ ) -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) e. RR+ )
13	5, 11, 12	sylancr 674	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) e. RR+ )
14	1, 13	syl5eqel 2533	. . 3 |- ( ph -> L e. RR+ )
15	14	rpred 11330	. 2 |- ( ph -> L e. RR )
16	14	rpgt0d 11333	. 2 |- ( ph -> 0 < L )
17		rpcn 11299	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 4 ) e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. CC )
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. CC
19	18	div1i 10323	. . . . 5 |- ( ( 1 / 4 ) / 1 ) = ( 1 / 4 )
20		rpre 11297	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 4 ) e. RR+ -> ( 1 / 4 ) e. RR )
21	5, 20	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) e. RR )
22		3re 10671	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
24	11	rpred 11330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + 3 ) e. RR )
25		1lt4 10770	. . . . . . . . 9 |- 1 < 4
26		4re 10674	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
27		4pos 10693	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 4
28		recgt1 10490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) -> ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 ) )
29	26, 27, 28	mp2an 683	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < 4 <-> ( 1 / 4 ) < 1 )
30	25, 29	mpbi 213	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) < 1
31		1lt3 10767	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
32	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 4 ) e. RR
33		1re 9628	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
34	32, 33, 22	lttri 9746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 4 ) < 1 /\ 1 < 3 ) -> ( 1 / 4 ) < 3 )
35	30, 31, 34	mp2an 683	. . . . . . 7 |- ( 1 / 4 ) < 3
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) < 3 )
37		ltaddrp 11325	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 3 < ( 3 + A ) )
38	22, 6, 37	sylancr 674	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 < ( 3 + A ) )
39		3cn 10672	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
40	6	rpcnd 11332	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
41		addcom 9805	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 3 + A ) = ( A + 3 ) )
42	39, 40, 41	sylancr 674	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 3 + A ) = ( A + 3 ) )
43	38, 42	breqtrd 4398	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 < ( A + 3 ) )
44	21, 23, 24, 36, 43	lttrd 9782	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 4 ) < ( A + 3 ) )
45	19, 44	syl5eqbr 4407	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) )
46	33	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
47		0lt1 10124	. . . . . 6 |- 0 < 1
48	47	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < 1 )
49	11	rpregt0d 11336	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + 3 ) e. RR /\ 0 < ( A + 3 ) ) )
50		ltdiv23 10485	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. RR /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( A + 3 ) e. RR /\ 0 < ( A + 3 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) <-> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 ) )
51	21, 46, 48, 49, 50	syl121anc 1276	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 4 ) / 1 ) < ( A + 3 ) <-> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 ) )
52	45, 51	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) ) < 1 )
53	1, 52	syl5eqbr 4407	. 2 |- ( ph -> L < 1 )
54		0xr 9673	. . 3 |- 0 e. RR*
55	33	rexri 9679	. . 3 |- 1 e. RR*
56		elioo2 11666	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( L e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( L e. RR /\ 0 < L /\ L < 1 ) ) )
57	54, 55, 56	mp2an 683	. 2 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( L e. RR /\ 0 < L /\ L < 1 ) )
58	15, 16, 53, 57	syl3anbrc 1193	1 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 986   = wceq 1447   e. wcel 1890   class class class wbr 4373   |-> cmpt 4432   ` cfv 5560  (class class class)co 6275   CCcc 9523   RRcr 9524   0cc0 9525   1c1 9526   + caddc 9528   RR*cxr 9660   < clt 9661   - cmin 9846   / cdiv 10257   NNcn 10597   3c3 10648   4c4 10649   RR+crp 11291   (,)cioo 11624  ψcchp 24030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570  ax-cnex 9581  ax-resscn 9582  ax-1cn 9583  ax-icn 9584  ax-addcl 9585  ax-addrcl 9586  ax-mulcl 9587  ax-mulrcl 9588  ax-mulcom 9589  ax-addass 9590  ax-mulass 9591  ax-distr 9592  ax-i2m1 9593  ax-1ne0 9594  ax-1rid 9595  ax-rnegex 9596  ax-rrecex 9597  ax-cnre 9598  ax-pre-lttri 9599  ax-pre-lttrn 9600  ax-pre-ltadd 9601  ax-pre-mulgt0 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-riota 6237  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6680  df-1st 6780  df-2nd 6781  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-er 7349  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-pnf 9663  df-mnf 9664  df-xr 9665  df-ltxr 9666  df-le 9667  df-sub 9848  df-neg 9849  df-div 10258  df-nn 10598  df-2 10656  df-3 10657  df-4 10658  df-rp 11292  df-ioo 11628

This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  24439  pntibndlem2  24440  pntibnd  24442