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Theorem pntibnd 24366
Description: Lemma for pnt 24387. Establish smallness of  R on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntibnd  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )
Distinct variable groups:    x, z,
y    u, k, x, y, z    e, c, k, l, u, x, y, z, R    e, a,
k, u, x, y, z
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntibnd
Dummy variables  n  m  v  b  d 
f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrmax 24337 . 2  |-  E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d
31pntpbnd 24361 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)
4 reeanv 2929 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) )  <->  ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) ) )
5 2rp 11251 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
6 rpmulcl 11268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
75, 6mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
8 2re 10623 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
9 1lt2 10720 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
10 rplogcl 23488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
118, 9, 10mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
12 rpaddcl 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  ( log `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  e.  RR+ )
137, 11, 12sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  e.  RR+ )
1413ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) ) )  -> 
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR+ )
15 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  RR+  ->  d  e.  RR+ )
16 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )
171, 15, 16pntibndlem1 24362 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1
) )
1817ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) ) )  -> 
( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
19 elioore 11610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR )
20 eliooord 11638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
2120simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  e )
2219, 21elrpd 11282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR+ )
2322rphalfcld 11297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  RR+ )
2423rpred 11285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  RR )
2523rpgt0d 11288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  ( e  /  2
) )
26 1red 9602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
27 rphalflt 11273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  RR+  ->  ( e  /  2 )  < 
e )
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  <  e )
2920simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  <  1 )
3024, 19, 26, 28, 29lttrd 9740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  <  1 )
31 0xr 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
32 1re 9586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
3332rexri 9637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR*
34 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( e  /  2
)  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
e  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( e  /  2
)  /\  ( e  /  2 )  <  1 ) ) )
3531, 33, 34mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
e  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( e  /  2
)  /\  ( e  /  2 )  <  1 ) )
3624, 25, 30, 35syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
3736adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1
) )
38 oveq2 6250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
b  /  f )  =  ( b  / 
( e  /  2
) ) )
3938fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( exp `  ( b  / 
f ) )  =  ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) )
4039oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo )  =  ( ( exp `  ( b  /  (
e  /  2 ) ) ) [,) +oo ) )
41 breq2 4363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) )
4241anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  ( ( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( e  /  2
) ) ) )
4342rexbidv 2872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4443ralbidv 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4540, 44raleqbidv 2972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( A. m  e.  (
( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4645rexbidv 2872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( e  /  2
) ) ) )
4746rspcv 3114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( A. f  e.  (
0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
f )  ->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4837, 47syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  ->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
49 simp-4l 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
d  e.  RR+ )
50 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
d )
51 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  d )  -> 
b  e.  RR+ )
5251ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
b  e.  RR+ )
53 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( b  /  (
e  /  2 ) ) )  =  ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) )
54 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  =  ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )
55 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
e  e.  ( 0 (,) 1 ) )
56 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
g  e.  RR+ )
57 simprr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  A. m  e.  (
( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) )
581, 49, 16, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57pntibndlem3 24365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  ( g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
5958rexlimdvaa 2851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
6048, 59syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
6160ralrimdva 2777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  d )  -> 
( A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
6261impr 623 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) ) )  ->  A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
63 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  (
c  /  e )  =  ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  /  e
) )
6463fveq2d 5822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( exp `  ( c  / 
e ) )  =  ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) )
6564oveq1d 6257 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo )  =  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  /  e
) ) [,) +oo ) )
6665raleqdv 2964 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
6766rexbidv 2872 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
6867ralbidv 2798 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
69 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
l  x.  e )  =  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )
7069oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
1  +  ( l  x.  e ) )  =  ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) ) )
7170oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) )
7271breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) )
7372anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
7471oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) )
7574raleqdv 2964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( z [,] (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
7673, 75anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
7776rexbidv 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
7877ralbidv 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
7978rexralbidv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8079ralbidv 2798 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8168, 80rspc2ev 3129 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR+  /\  (
( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1 ) A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
8214, 18, 62, 81syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) ) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
8382ex 435 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8483rexlimivv 2855 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
x (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
854, 84sylbir 216 . 2  |-  ( ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
d  /\  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
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b  /  f ) ) [,) +oo ) A. v  e.  (
g (,) +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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862, 3, 85mp2an 676 1  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2708   E.wrex 2709   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488   +oocpnf 9616   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9804    / cdiv 10213   NNcn 10553   2c2 10603   3c3 10604   4c4 10605   RR+crp 11246   (,)cioo 11579   [,)cico 11581   [,]cicc 11582   abscabs 13234   expce 14050   logclog 23439  ψcchp 23954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-disj 4331  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-mod 12040  df-seq 12157  df-exp 12216  df-fac 12403  df-bc 12431  df-hash 12459  df-shft 13067  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-limsup 13462  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-o1 13490  df-lo1 13491  df-sum 13689  df-ef 14057  df-e 14058  df-sin 14059  df-cos 14060  df-pi 14062  df-dvds 14242  df-gcd 14405  df-prm 14559  df-pc 14723  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-cmp 20337  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757  df-log 23441  df-cxp 23442  df-em 23853  df-cht 23958  df-vma 23959  df-chp 23960  df-ppi 23961  df-mu 23962
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