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Theorem pnt3 24529
Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt3
Dummy variables  a 
b  c  e  f  g  k  l  r  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . 3  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )
21pntrmax 24481 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b
31pntibnd 24510 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )
4 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  b  e.  RR+ )
5 simplr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  (
( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  =  ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
) )
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  r  =  x )
86, 7oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r )  =  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )
98fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  =  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) ) )
109breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
)
1110cbvralv 3005 . . . . . . . 8  |-  ( A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
125, 11sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 x )  /  x ) )  <_ 
b )
13 simprll 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
14 simprlr 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )
15 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( b  +  1 )  =  ( b  +  1 )
16 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )
17 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
18 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
y  <  z  <->  y  <  g ) )
19 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) )
2019breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) )
2118, 20anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  z  =  g )
2322, 19oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) )
2423raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( g [,] (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
2521, 24anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
2625cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( y  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
27 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
y  <  g  <->  f  <  g ) )
28 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  f  ->  (
k  x.  y )  =  ( k  x.  f ) )
2928breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) )
3027, 29anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  f  ->  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) ) )
3130anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( y  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3231rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  f  ->  ( E. g  e.  RR+  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3326, 32syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3433cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( r (,) +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
35 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  x  ->  (
r (,) +oo )  =  ( x (,) +oo ) )
3635raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  ( A. f  e.  (
r (,) +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,) +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
) )
3734, 36syl5bb 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  ( A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,) +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
) )
3837ralbidv 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. f  e.  (
x (,) +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3938cbvrexv 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. f  e.  (
x (,) +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
4039ralbii 2823 . . . . . . . 8  |-  ( A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. f  e.  (
x (,) +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
4117, 40sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,) +oo ) A. f  e.  ( x (,) +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
421, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41pntleml 24528 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 )
4342expr 626 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1
) ) )  -> 
( A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  (
r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 ) )
4443rexlimdvva 2878 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b )  ->  ( E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1 ) A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,) +oo ) A. y  e.  ( r (,) +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 ) )
453, 44mpi 20 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
4645rexlimiva 2868 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 )
472, 46ax-mp 5 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 376    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   3c3 10682  ;cdc 11074   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   abscabs 13374    ~~> r crli 13626   expce 14191  ψcchp 24098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105  df-mu 24106
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