MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt2 Structured version   Unicode version

Theorem pnt2 22874
Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt2
StepHypRef Expression
1 2re 10403 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 11397 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chprpcl 22558 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR+ )
63simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
7 0red 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
81a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  e.  RR )
9 2pos 10425 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  <  2 )
113simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  <_  x )
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 9543 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
136, 12elrpd 11037 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
145, 13rpdivcld 11056 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR+ )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
16 chtrpcl 22525 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
173, 16sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
185, 17rpdivcld 11056 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) )  e.  RR+ )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2013ssriv 3372 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+ )
22 pnt3 22873 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
2421, 23rlimres2 13051 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
25 chpchtlim 22740 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1 )
27 ax-1ne0 9363 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  =/=  0
)
2919rpne0d 11044 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  =/=  0
)
3015, 19, 24, 26, 28, 29rlimdiv 13135 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  ~~> r  ( 1  /  1 ) )
31 rpre 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
32 chpcl 22474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3433recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3513, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3613rpcnne0d 11048 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
375rpcnne0d 11048 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0 ) )
3817rpcnne0d 11048 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
39 divdivdiv 10044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
)  /\  ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
4035, 36, 37, 38, 39syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x ) )  /  ( x  x.  (ψ `  x )
) ) )
416recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  CC )
4241, 35mulcomd 9419 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( x  x.  (ψ `  x
) )  =  ( (ψ `  x )  x.  x ) )
4342oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x ) )  /  ( (ψ `  x )  x.  x
) ) )
44 chtcl 22459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4531, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4645recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
4713, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
48 divcan5 10045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
4947, 36, 37, 48syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( (ψ `  x )  x.  x
) )  =  ( ( theta `  x )  /  x ) )
5040, 43, 493eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) )  =  ( ( theta `  x
)  /  x ) )
5150mpteq2ia 4386 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )
52 resmpt 5168 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x ) ) )
5320, 52ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x ) )
5451, 53eqtr4i 2466 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,) +oo ) )
55 1div1e1 10036 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5630, 54, 553brtr3g 4335 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  ~~> r  1 )
57 rerpdivcl 11030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
5845, 57mpancom 669 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
5958adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6059recnd 9424 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
61 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )
6260, 61fmptd 5879 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) ) : RR+ --> CC )
63 rpssre 11013 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
6463a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
651a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
6662, 64, 65rlimresb 13055 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <-> 
( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  ~~> r  1 ) )
6756, 66mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
6867trud 1378 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2618    C_ wss 3340   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362    |` cres 4854   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    x. cmul 9299   +oocpnf 9427    < clt 9430    <_ cle 9431    / cdiv 10005   2c2 10383   RR+crp 11003   [,)cico 11314    ~~> r crli 12975   thetaccht 22440  ψcchp 22442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-o1 12980  df-lo1 12981  df-sum 13176  df-ef 13365  df-e 13366  df-sin 13367  df-cos 13368  df-pi 13370  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-pc 13916  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354  df-log 22020  df-cxp 22021  df-em 22398  df-cht 22446  df-vma 22447  df-chp 22448  df-ppi 22449  df-mu 22450
This theorem is referenced by:  pnt  22875
  Copyright terms: Public domain W3C validator