MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt2 Structured version   Unicode version

Theorem pnt2 23641
Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt2
StepHypRef Expression
1 2re 10615 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 11630 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chprpcl 23325 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR+ )
63simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
7 0red 9607 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
81a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  e.  RR )
9 2pos 10637 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  <  2 )
113simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  <_  x )
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 9751 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
136, 12elrpd 11264 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
145, 13rpdivcld 11283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR+ )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
16 chtrpcl 23292 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
173, 16sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
185, 17rpdivcld 11283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) )  e.  RR+ )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2013ssriv 3513 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+ )
22 pnt3 23640 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
2421, 23rlimres2 13359 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
25 chpchtlim 23507 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1 )
27 ax-1ne0 9571 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  =/=  0
)
2919rpne0d 11271 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  =/=  0
)
3015, 19, 24, 26, 28, 29rlimdiv 13443 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  ~~> r  ( 1  /  1 ) )
31 rpre 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
32 chpcl 23241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3433recnd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3513, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3613rpcnne0d 11275 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
375rpcnne0d 11275 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0 ) )
3817rpcnne0d 11275 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( (
theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
39 divdivdiv 10255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
)  /\  ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
4035, 36, 37, 38, 39syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x ) )  /  ( x  x.  (ψ `  x )
) ) )
416recnd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  CC )
4241, 35mulcomd 9627 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( x  x.  (ψ `  x
) )  =  ( (ψ `  x )  x.  x ) )
4342oveq2d 6310 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x ) )  /  ( (ψ `  x )  x.  x
) ) )
44 chtcl 23226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4531, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4645recnd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
4713, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
48 divcan5 10256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
4947, 36, 37, 48syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( (ψ `  x )  x.  x
) )  =  ( ( theta `  x )  /  x ) )
5040, 43, 493eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) )  =  ( ( theta `  x
)  /  x ) )
5150mpteq2ia 4534 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )
52 resmpt 5328 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x ) ) )
5320, 52ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x ) )
5451, 53eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,) +oo ) )
55 1div1e1 10247 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5630, 54, 553brtr3g 4483 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  ~~> r  1 )
57 rerpdivcl 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
5845, 57mpancom 669 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
5958adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6059recnd 9632 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
61 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )
6260, 61fmptd 6055 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) ) : RR+ --> CC )
63 rpssre 11240 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
6463a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
651a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
6662, 64, 65rlimresb 13363 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <-> 
( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,) +oo )
)  ~~> r  1 ) )
6756, 66mpbird 232 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
6867trud 1388 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3481   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510    |` cres 5006   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503    x. cmul 9507   +oocpnf 9635    < clt 9638    <_ cle 9639    / cdiv 10216   2c2 10595   RR+crp 11230   [,)cico 11541    ~~> r crli 13283   thetaccht 23207  ψcchp 23209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-o1 13288  df-lo1 13289  df-sum 13484  df-ef 13677  df-e 13678  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-dvds 13860  df-gcd 14016  df-prm 14089  df-pc 14232  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-cmp 19732  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-cxp 22788  df-em 23165  df-cht 23213  df-vma 23214  df-chp 23215  df-ppi 23216  df-mu 23217
This theorem is referenced by:  pnt  23642
  Copyright terms: Public domain W3C validator