Theorem pnrmopn 20011

Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pnrmopn	|- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Distinct variable groups:   A, f   f, J

Proof of Theorem pnrmopn

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnrmtop 20009	. . . 4 |- ( J e. PNrm -> J e. Top )
2		eqid 2454	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	opncld 19701	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
4	1, 3	sylan 469	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
5		pnrmcld 20010	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
6	4, 5	syldan 468	. 2 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
7	1	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> J e. Top )
8		elmapi 7433	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( J ^m NN ) -> g : NN --> J )
9	8	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> g : NN --> J )
10	9	ffvelrnda 6007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. J )
11	2	opncld 19701	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( g ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
13		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) )
14	12, 13	fmptd 6031	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
15		fvex 5858	. . . . . . 7 |- ( Clsd ` J ) e. _V
16		nnex 10537	. . . . . . 7 |- NN e. _V
17	15, 16	elmap 7440	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) <-> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
18	14, 17	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) )
19		iundif2 4382	. . . . . . 7 |- U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) )
20		ffn 5713	. . . . . . . . 9 |- ( g : NN --> J -> g Fn NN )
21		fniinfv 5907	. . . . . . . . 9 |- ( g Fn NN -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
22	9, 20, 21	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
23	22	difeq2d 3608	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
24	19, 23	syl5eq 2507	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
25		uniexg 6570	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. PNrm -> U. J e. _V )
26		difexg 4585	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. PNrm -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2869	. . . . . . . . 9 |- ( J e. PNrm -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
29	28	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
30		dfiun2g 4347	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
32	13	rnmpt 5237	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
33	32	unieqi 4244	. . . . . . 7 |- U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
34	31, 33	syl6eqr 2513	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
35	24, 34	eqtr3d 2497	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
36		rneq 5217	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ran f = ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
37	36	unieqd 4245	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> U. ran f = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
38	37	eqeq2d 2468	. . . . . 6 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) )
39	38	rspcev 3207	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) /\ ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
40	18, 35, 39	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
41	40	ad2ant2r 744	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
42		difeq2 3602	. . . . . . . 8 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
43	42	eqcomd 2462	. . . . . . 7 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ |^| ran g ) = ( U. J \ ( U. J \ A ) ) )
44		elssuni 4264	. . . . . . . 8 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
45		dfss4 3729	. . . . . . . 8 |- ( A C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
46	44, 45	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
47	43, 46	sylan9eqr 2517	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
48	47	ad2ant2l 743	. . . . 5 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
49	48	eqeq1d 2456	. . . 4 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> A = U. ran f ) )
50	49	rexbidv 2965	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f ) )
51	41, 50	mpbid 210	. 2 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )
52	6, 51	rexlimddv 2950	1 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   U.cuni 4235   |^|cint 4271   U_ciun 4315   |^|_ciin 4316   |-> cmpt 4497   ran crn 4989   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ^m cmap 7412   NNcn 10531   Topctop 19561   Clsdccld 19684  PNrmcpnrm 19980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-map 7414  df-nn 10532  df-top 19566  df-cld 19687  df-nrm 19985  df-pnrm 19987

This theorem is referenced by: (None)