Theorem pnrmopn 20346

Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pnrmopn	|- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Distinct variable groups:   A, f   f, J

Proof of Theorem pnrmopn

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnrmtop 20344	. . . 4 |- ( J e. PNrm -> J e. Top )
2		eqid 2422	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	opncld 20035	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
4	1, 3	sylan 473	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
5		pnrmcld 20345	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
6	4, 5	syldan 472	. 2 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
7	1	ad2antrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> J e. Top )
8		elmapi 7498	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( J ^m NN ) -> g : NN --> J )
9	8	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> g : NN --> J )
10	9	ffvelrnda 6034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. J )
11	2	opncld 20035	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( g ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
13		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) )
14	12, 13	fmptd 6058	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
15		fvex 5888	. . . . . . 7 |- ( Clsd ` J ) e. _V
16		nnex 10616	. . . . . . 7 |- NN e. _V
17	15, 16	elmap 7505	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) <-> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
18	14, 17	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) )
19		iundif2 4363	. . . . . . 7 |- U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) )
20		ffn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( g : NN --> J -> g Fn NN )
21		fniinfv 5937	. . . . . . . . 9 |- ( g Fn NN -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
22	9, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
23	22	difeq2d 3583	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
24	19, 23	syl5eq 2475	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
25		uniexg 6599	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. PNrm -> U. J e. _V )
26		difexg 4569	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. PNrm -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2840	. . . . . . . . 9 |- ( J e. PNrm -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
29	28	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
30		dfiun2g 4328	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
32	13	rnmpt 5096	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
33	32	unieqi 4225	. . . . . . 7 |- U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
34	31, 33	syl6eqr 2481	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
35	24, 34	eqtr3d 2465	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
36		rneq 5076	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ran f = ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
37	36	unieqd 4226	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> U. ran f = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
38	37	eqeq2d 2436	. . . . . 6 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) )
39	38	rspcev 3182	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) /\ ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
40	18, 35, 39	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
41	40	ad2ant2r 751	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
42		difeq2 3577	. . . . . . . 8 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
43	42	eqcomd 2430	. . . . . . 7 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ |^| ran g ) = ( U. J \ ( U. J \ A ) ) )
44		elssuni 4245	. . . . . . . 8 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
45		dfss4 3707	. . . . . . . 8 |- ( A C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
46	44, 45	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
47	43, 46	sylan9eqr 2485	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
48	47	ad2ant2l 750	. . . . 5 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
49	48	eqeq1d 2424	. . . 4 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> A = U. ran f ) )
50	49	rexbidv 2939	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f ) )
51	41, 50	mpbid 213	. 2 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )
52	6, 51	rexlimddv 2921	1 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   \ cdif 3433   C_ wss 3436   U.cuni 4216   |^|cint 4252   U_ciun 4296   |^|_ciin 4297   |-> cmpt 4479   ran crn 4851   Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   ^m cmap 7477   NNcn 10610   Topctop 19904   Clsdccld 20018  PNrmcpnrm 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-map 7479  df-nn 10611  df-top 19908  df-cld 20021  df-nrm 20320  df-pnrm 20322

This theorem is referenced by: (None)