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Theorem pnrmopn 18945
Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnrmopn  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Distinct variable groups:    A, f    f, J

Proof of Theorem pnrmopn
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pnrmtop 18943 . . . 4  |-  ( J  e. PNrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32opncld 18635 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  (
Clsd `  J )
)
41, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
5 pnrmcld 18944 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
64, 5syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
71ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
8 elmapi 7232 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  ->  g : NN --> J )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 5841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  J )
112opncld 18635 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( g `  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
127, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( U. J  \ 
( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
13 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )
1412, 13fmptd 5865 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
15 fvex 5699 . . . . . . 7  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
16 nnex 10326 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1715, 16elmap 7239 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
1814, 17sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
)
19 iundif2 4235 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `
 x ) )
20 ffn 5557 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN --> J  -> 
g  Fn  NN )
21 fniinfv 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( g  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
229, 20, 213syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
2322difeq2d 3472 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
2419, 23syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
25 uniexg 6375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e. PNrm  ->  U. J  e.  _V )
26 difexg 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e. PNrm  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
2827ralrimivw 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e. PNrm  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
30 dfiun2g 4200 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) } )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) } )
3213rnmpt 5083 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) }
3332unieqi 4098 . . . . . . 7  |-  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) }
3431, 33syl6eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3524, 34eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
36 rneq 5063 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  ran  f  =  ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3736unieqd 4099 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3837eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) ) )
3938rspcev 3071 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4018, 35, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4140ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  f )
42 difeq2 3466 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
4342eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) ) )
44 elssuni 4119 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
45 dfss4 3582 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4644, 45sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  J  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4743, 46sylan9eqr 2495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4847ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4948eqeq1d 2449 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  A  =  U. ran  f ) )
5049rexbidv 2734 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f  <->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
) )
5141, 50mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) A  = 
U. ran  f )
526, 51rexlimddv 2843 1  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    C_ wss 3326   U.cuni 4089   |^|cint 4126   U_ciun 4169   |^|_ciin 4170    e. cmpt 4348   ran crn 4839    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   NNcn 10320   Topctop 18496   Clsdccld 18618  PNrmcpnrm 18914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-map 7214  df-nn 10321  df-top 18501  df-cld 18621  df-nrm 18919  df-pnrm 18921
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