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Theorem pnrmopn 19638
Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnrmopn  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Distinct variable groups:    A, f    f, J

Proof of Theorem pnrmopn
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pnrmtop 19636 . . . 4  |-  ( J  e. PNrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32opncld 19328 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  (
Clsd `  J )
)
41, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
5 pnrmcld 19637 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
64, 5syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
71ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
8 elmapi 7440 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  ->  g : NN --> J )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 6021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  J )
112opncld 19328 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( g `  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
127, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( U. J  \ 
( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
13 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )
1412, 13fmptd 6045 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
15 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
16 nnex 10542 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1715, 16elmap 7447 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
1814, 17sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
)
19 iundif2 4392 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `
 x ) )
20 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN --> J  -> 
g  Fn  NN )
21 fniinfv 5926 . . . . . . . . 9  |-  ( g  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
229, 20, 213syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
2322difeq2d 3622 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
2419, 23syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
25 uniexg 6581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e. PNrm  ->  U. J  e.  _V )
26 difexg 4595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e. PNrm  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
2827ralrimivw 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e. PNrm  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
30 dfiun2g 4357 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) } )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) } )
3213rnmpt 5248 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) }
3332unieqi 4254 . . . . . . 7  |-  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) }
3431, 33syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3524, 34eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
36 rneq 5228 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  ran  f  =  ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3736unieqd 4255 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3837eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) ) )
3938rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4018, 35, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4140ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  f )
42 difeq2 3616 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
4342eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) ) )
44 elssuni 4275 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
45 dfss4 3732 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4644, 45sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  J  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4743, 46sylan9eqr 2530 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4847ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4948eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  A  =  U. ran  f ) )
5049rexbidv 2973 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f  <->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
) )
5141, 50mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) A  = 
U. ran  f )
526, 51rexlimddv 2959 1  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   |^|cint 4282   U_ciun 4325   |^|_ciin 4326    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   NNcn 10536   Topctop 19189   Clsdccld 19311  PNrmcpnrm 19607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-map 7422  df-nn 10537  df-top 19194  df-cld 19314  df-nrm 19612  df-pnrm 19614
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