Theorem pnrmopn 20408

Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pnrmopn	|- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Distinct variable groups:   A, f   f, J

Proof of Theorem pnrmopn

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnrmtop 20406	. . . 4 |- ( J e. PNrm -> J e. Top )
2		eqid 2462	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	opncld 20097	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
4	1, 3	sylan 478	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
5		pnrmcld 20407	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
6	4, 5	syldan 477	. 2 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
7	1	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> J e. Top )
8		elmapi 7519	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( J ^m NN ) -> g : NN --> J )
9	8	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> g : NN --> J )
10	9	ffvelrnda 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. J )
11	2	opncld 20097	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( g ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
13		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) )
14	12, 13	fmptd 6069	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
15		fvex 5898	. . . . . . 7 |- ( Clsd ` J ) e. _V
16		nnex 10643	. . . . . . 7 |- NN e. _V
17	15, 16	elmap 7526	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) <-> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
18	14, 17	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) )
19		iundif2 4359	. . . . . . 7 |- U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) )
20		ffn 5751	. . . . . . . . 9 |- ( g : NN --> J -> g Fn NN )
21		fniinfv 5947	. . . . . . . . 9 |- ( g Fn NN -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
22	9, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
23	22	difeq2d 3563	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
24	19, 23	syl5eq 2508	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
25		uniexg 6615	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. PNrm -> U. J e. _V )
26		difexg 4565	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. PNrm -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2815	. . . . . . . . 9 |- ( J e. PNrm -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
29	28	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
30		dfiun2g 4324	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
32	13	rnmpt 5099	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
33	32	unieqi 4221	. . . . . . 7 |- U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
34	31, 33	syl6eqr 2514	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
35	24, 34	eqtr3d 2498	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
36		rneq 5079	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ran f = ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
37	36	unieqd 4222	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> U. ran f = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
38	37	eqeq2d 2472	. . . . . 6 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) )
39	38	rspcev 3162	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) /\ ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
40	18, 35, 39	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
41	40	ad2ant2r 758	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
42		difeq2 3557	. . . . . . . 8 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
43	42	eqcomd 2468	. . . . . . 7 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ |^| ran g ) = ( U. J \ ( U. J \ A ) ) )
44		elssuni 4241	. . . . . . . 8 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
45		dfss4 3689	. . . . . . . 8 |- ( A C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
46	44, 45	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
47	43, 46	sylan9eqr 2518	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
48	47	ad2ant2l 757	. . . . 5 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
49	48	eqeq1d 2464	. . . 4 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> A = U. ran f ) )
50	49	rexbidv 2913	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f ) )
51	41, 50	mpbid 215	. 2 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )
52	6, 51	rexlimddv 2895	1 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   C_ wss 3416   U.cuni 4212   |^|cint 4248   U_ciun 4292   |^|_ciin 4293   |-> cmpt 4475   ran crn 4854   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   ^m cmap 7498   NNcn 10637   Topctop 19966   Clsdccld 20080  PNrmcpnrm 20377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-map 7500  df-nn 10638  df-top 19970  df-cld 20083  df-nrm 20382  df-pnrm 20384

This theorem is referenced by: (None)