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Theorem pnrmopn 20346
Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnrmopn  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Distinct variable groups:    A, f    f, J

Proof of Theorem pnrmopn
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pnrmtop 20344 . . . 4  |-  ( J  e. PNrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32opncld 20035 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  (
Clsd `  J )
)
41, 3sylan 473 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
5 pnrmcld 20345 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
64, 5syldan 472 . 2  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
71ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
8 elmapi 7498 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  ->  g : NN --> J )
98adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 6034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  J )
112opncld 20035 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( g `  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
127, 10, 11syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( U. J  \ 
( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
13 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )
1412, 13fmptd 6058 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
15 fvex 5888 . . . . . . 7  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
16 nnex 10616 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1715, 16elmap 7505 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
1814, 17sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
)
19 iundif2 4363 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `
 x ) )
20 ffn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN --> J  -> 
g  Fn  NN )
21 fniinfv 5937 . . . . . . . . 9  |-  ( g  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
229, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
2322difeq2d 3583 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
2419, 23syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
25 uniexg 6599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e. PNrm  ->  U. J  e.  _V )
26 difexg 4569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e. PNrm  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
2827ralrimivw 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e. PNrm  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2928adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
30 dfiun2g 4328 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) } )
3129, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) } )
3213rnmpt 5096 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) }
3332unieqi 4225 . . . . . . 7  |-  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) }
3431, 33syl6eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3524, 34eqtr3d 2465 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
36 rneq 5076 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  ran  f  =  ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3736unieqd 4226 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3837eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) ) )
3938rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4018, 35, 39syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4140ad2ant2r 751 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  f )
42 difeq2 3577 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
4342eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) ) )
44 elssuni 4245 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
45 dfss4 3707 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4644, 45sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  J  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4743, 46sylan9eqr 2485 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4847ad2ant2l 750 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4948eqeq1d 2424 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  A  =  U. ran  f ) )
5049rexbidv 2939 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f  <->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
) )
5141, 50mpbid 213 . 2  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) A  = 
U. ran  f )
526, 51rexlimddv 2921 1  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   U.cuni 4216   |^|cint 4252   U_ciun 4296   |^|_ciin 4297    |-> cmpt 4479   ran crn 4851    Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    ^m cmap 7477   NNcn 10610   Topctop 19904   Clsdccld 20018  PNrmcpnrm 20315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-map 7479  df-nn 10611  df-top 19908  df-cld 20021  df-nrm 20320  df-pnrm 20322
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