Theorem pnrmopn 17361

Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pnrmopn	|- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Distinct variable groups:   A, f   f, J

Proof of Theorem pnrmopn

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnrmtop 17359	. . . 4 |- ( J e. PNrm -> J e. Top )
2		eqid 2404	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	opncld 17052	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
4	1, 3	sylan 458	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
5		pnrmcld 17360	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
6	4, 5	syldan 457	. 2 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
7	1	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> J e. Top )
8		elmapi 6997	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( J ^m NN ) -> g : NN --> J )
9	8	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> g : NN --> J )
10	9	ffvelrnda 5829	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. J )
11	2	opncld 17052	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( g ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
13		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) )
14	12, 13	fmptd 5852	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
15		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( Clsd ` J ) e. _V
16		nnex 9962	. . . . . . 7 |- NN e. _V
17	15, 16	elmap 7001	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) <-> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
18	14, 17	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) )
19		iundif2 4118	. . . . . . 7 |- U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) )
20		ffn 5550	. . . . . . . . 9 |- ( g : NN --> J -> g Fn NN )
21		fniinfv 5744	. . . . . . . . 9 |- ( g Fn NN -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
22	9, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
23	22	difeq2d 3425	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
24	19, 23	syl5eq 2448	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
25		uniexg 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. PNrm -> U. J e. _V )
26		difexg 4311	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. PNrm -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2750	. . . . . . . . 9 |- ( J e. PNrm -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
29	28	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
30		dfiun2g 4083	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
32	13	rnmpt 5075	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
33	32	unieqi 3985	. . . . . . 7 |- U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
34	31, 33	syl6eqr 2454	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
35	24, 34	eqtr3d 2438	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
36		rneq 5054	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ran f = ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
37	36	unieqd 3986	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> U. ran f = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
38	37	eqeq2d 2415	. . . . . 6 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) )
39	38	rspcev 3012	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) /\ ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
40	18, 35, 39	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
41	40	ad2ant2r 728	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
42		difeq2 3419	. . . . . . . 8 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
43	42	eqcomd 2409	. . . . . . 7 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ |^| ran g ) = ( U. J \ ( U. J \ A ) ) )
44		elssuni 4003	. . . . . . . 8 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
45		dfss4 3535	. . . . . . . 8 |- ( A C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
46	44, 45	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
47	43, 46	sylan9eqr 2458	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
48	47	ad2ant2l 727	. . . . 5 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
49	48	eqeq1d 2412	. . . 4 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> A = U. ran f ) )
50	49	rexbidv 2687	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f ) )
51	41, 50	mpbid 202	. 2 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )
52	6, 51	rexlimddv 2794	1 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   U.cuni 3975   |^|cint 4010   U_ciun 4053   |^|_ciin 4054   e. cmpt 4226   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ^m cmap 6977   NNcn 9956   Topctop 16913   Clsdccld 17035  PNrmcpnrm 17330

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-map 6979  df-nn 9957  df-top 16918  df-cld 17038  df-nrm 17335  df-pnrm 17337