MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnpcan2d Structured version   Unicode version

Theorem pnpcan2d 9978
Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pnpcan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  C )  -  ( B  +  C )
)  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem pnpcan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 pnpcan2 9869 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
)  -  ( B  +  C ) )  =  ( A  -  B ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  C )  -  ( B  +  C )
)  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6294   CCcc 9500    + caddc 9505    - cmin 9815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-ltxr 9643  df-sub 9817
This theorem is referenced by:  modvalp1  11992  modcyc  12009  crre  12922  amgm2  13177  addcn2  13391  iseralt  13482  telfsumo  13591  4sqlem10  14336  pcoass  21369  ipcau2  21522  ovolshftlem1  21765  ptolemy  22732  chordthmlem2  23007  chordthmlem4  23009  heron  23012  quart1lem  23029  sinasin  23063  asinsin  23066  2efiatan  23092  atantayl2  23112  basellem3  23199  basellem8  23204  lgslem1  23414  lgseisenlem1  23467  chpdifbndlem1  23581  pntpbnd2  23615  pntlemr  23630  addeqxfrd  27351  subfacp1lem1  28416  limcperiod  31461  fperdvper  31539  wallispilem3  31658  fourierdlem65  31763
  Copyright terms: Public domain W3C validator